2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算课时规范训练 新人教A版选修2-1

1 3 1 23 1 2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算 基础练习 1 若a a b b是平面 内的两个向量 则 a 内任一向量p p a a b b r r b 若存在 r r 使 a a b b 0 则 0 c 若a a b b不共线 则空间任一向量p p a a b b r r d 若a a b b不共线 则 内任一向量p p a a b b r r 答案 d 解析 当a a与b b共线时 a 项不正确 当a a与b b是相反向量 0 时 a a b b 0 故 b 项不正确 若a a与b b不共线 则平面 内任意向量可以用a a b b表示 对空间向量则不一定 故 c 项不正确 d 项正确 2 如图所示 在平行六面体abcda1b1c1d1中 m为ac与bd的交点 若 a a b b c c 则下列向量中与相等的向量是 a1b1 a1d1 a1a b1m a a a b b c cb a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 c a a b b c cd a a b b c c 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 a 解析 c c b b a a b1m b1b bm a1a 1 2 ad ab 1 2 1 2 3 在下列条件中 使点m与点a b c一定共面的是 a 2 b om oa ob oc om 1 5oa 1 3ob 1 2oc c 0d 0 ma mb mc om oa ob oc 答案 c 4 已知正方体abcda b c d e是底面a b c d 的中心 a a b b c c xa a yb b zc c 则 1 2aa 1 2ab 1 3ad ae 2 a x 2 y 1 z b x 1 y z 3 2 1 2 1 2 c x y z 1d x y z 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 答案 a 5 给出下列命题 若a b c d是空间任意四点 则有 0 ab bc cd da a a b b a a b b 是a a b b共线的充要条件 若 共线 则ab cd ab cd 对空间任意一点o与不共线的三点a b c 若 x y z 其中x y z r r op oa ob oc 则p a b c四点共面 其中正确命题的个数是 答案 1 解析 显然 正确 若a a b b共线 则 a a b b a a b b 或 a a b b a a b b 故 错误 若 共线 则直线ab cd可能重合 故 错误 只有当x y z 1 时 ab cd p a b c四点才共面 故 错误 6 已知o是空间任一点 a b c d四点满足任三点均不共线 但四点共面且 2x oa 3y 4z 则 2x 3y 4z bo co do 答案 1 解析 2x 3y 4z a b c d共面 2x 3y 4z 1 oa ob oc od 2x 3y 4z 1 7 如图 已知e f g h分别是空间四边形abcd边ab bc cd da的中点 1 用向量法证明 e f g h四点共面 3 2 用向量法证明 bd 平面efgh 证明 1 同理可得 e f g h四点 ef eb bf 1 2ab 1 2bc 1 2ac hg 1 2ac ef hg 共面 2 eh bd eh ah ae 1 2ad 1 2ab 1 2 ad ab 1 2bd 又eh 平面efgh bd 平面efgh bd 平面efgh 8 求证 向量e e1 e e2 e e3共面的充要条件是存在三个不全为零的实数 v使得 e e1 e e2 ve e3 0 证明 必要性 由共面向量定理 知当e e1 e e2 e e3共面时 存在实数 v 使得 e e1 e e2 v e e3 即 e e1 e e2 v e e3 0 取 1 v v 则有 e e1 e e2 ve e3 0 充分性 假设存在不全为零的三个实数 v 使 e e1 e e2 ve e3 0 不妨设 0 于是可得e e1 e e2 e e3 故由共面向量定理可知e e1 e e2 e e3共面 v 能力提升 9 已知向量a a b b且 a a 2b2b 5a5a 6b6b c 7a7a 2b2b 则一定共线的三点是 ab bc d a a b db a b c c b c dd a c d 答案 a 解析 5a a 6b b 7a7a 2b2b 2a2a 4b4b 2 与共线 又它们过同 bd bc cd ab bd ab 一点b a b d共线 故选 a 10 已知o a b c为空间不共面四点且向量a a b b 则与 oa ob oc oa ob oc a a b b共面的向量是 a b oa ob c d 或 oc oa ob 答案 c 解析 由a a b b 得 a a b b 与a a b b共面 故选 oa ob oc oa ob oc oc 1 2 1 2 oc c 11 已知a a b b c c是不共面的三个向量 且实数x y z使xa a yb b zc c 0 则 4 x2 y2 z2 答案 0 解析 由共面向量基本定理可知a a b b c c不共面时 要使xa a yb b zc c 0 必有 x y z 0 x2 y2 z2 0 12 已知三棱柱abca b c 如图 设 a a b b c c 在对角线ac 和棱 ab ac aa bc上分别取点m n 使 k k 0 k 1 求证 与向量a a和c c共面 am ac bn bc mn 解 k