培优专题2_勾股定理及应用(含解答)-[1]

1 勾股定理 点击一 勾股定理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a b 斜边为 c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方 因此 在运用勾股定理计算三角形的边长时 要注意如下三点 1 注意勾股定理的使用条件 只对直角三角形适用 而不适用于锐角三角形和钝角 三角形 2 注意分清斜边和直角边 避免盲目代入公式致错 3 注意勾股定理公式的变形 在直角三角形中 已知任意两边 可求第三边长 即 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 点击二 学会用拼图法验证勾股定理 拼图法验证勾股定理的基本思想是 借助于图形的面积来验证 依据是对图形经过割补 拼接后面积不变的原理 如 利用四个如图 1 所示的直角三角形三角形 拼出如图 2 所示的三个图形 请读者证明 如上图示 在图 1 中 利用图 1 边长为 a b c 的四个直角三角形拼成的一个以 c 为边长的正方形 则图 2 1 中的小正方形的边长为 b a 面积为 b a 2 四个直 角三角形的面积为 4 ab 2ab 2 1 a b c 图 1 1 2 3 2 A B C 由图 1 可知 大正方形的面积 四个直角三角形的面积 小正方形的的面积 即 c2 b a 2 2ab 则 a2 b2 c2问题得证 请同学们自己证明图 2 3 点击三 在数轴上表示无理数 将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题 第一步 利用勾股定 理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段 斜边 长的平方 注意一般其中一条线段的 长是整数 第二步 以数轴原点为直角三角形斜边的顶点 构造直角三角形 第三步 以数 轴原点圆心 以斜边长为半径画弧 即可在数轴上找到表示该无理数的点 点击四 直角三角形边与面积的关系及应用 直角三角形有许多属性 除边与边 边与角 角与角的关系外 边与面积也有内的联 系 设 为直角三角形的两条直角边 为斜边 为面积 于是有 abcS 222 2abaabb 222 abc 1 244 2 ababS 所以 即 22 4abcS 22 1 4 Sabc 也就是说 直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一 利 用该公式来计算直角三角形的有关面积 周长 斜边上的高等问题 显得十分简便 点击五 熟练掌握勾股定理的各种表达形式 如图 2 在 Rt中 0 A B C 的对边分别为 a b c ABC 90 C 则 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 点击六 勾股定理的应用 1 已知直角三角形的两条边 求第三边 2 已知直角三角形的一边 求另两条边的关系 3 用于推导线段平方关系的问题等 4 用勾股定理 在数轴上作出表示 的点 即作出长为的线段 235n 针对练习 1 下列说法正确的是 A 若 a b c是 ABC的三边 则a2 b2 c2 B 若 a b c是 Rt ABC的三边 则a2 b2 c2 C 若 a b c是 Rt ABC的三边 则a2 b2 c2 90 A 3 1 A 0 1 2 1 D 若 a b c是 Rt ABC的三边 则a2 b2 c2 90 C 2 一个直角三角形中 两直角边长分别为 3 和 4 下列说法正确的是 A 斜边长为 25 B 三角形周长为 25 C 斜边长为 5 D 三角形面积为 20 3 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形ABC中 边长为无 理数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 4 如图 数轴上的点 A 所表示的数为 x 则 x2 10 的立方根为 A 10 B 10 C 2 D 222 5 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍 则斜边扩大到原来的 A 2 倍B 4 倍C 6 倍D 8 倍 6 小明想知道学校旗杆的高 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1 m 当它把绳子的下端 拉开 5 m 后 发现下端刚好接触地面 则旗杆的高为 A 8cm B 10cm C 12cm D 14cm 7 ABC中 AB 15 AC 13 高AD 12 则 ABC的周长为 A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 33 8 如图 直线 上有三个正方形 若的面积分别labc ac 为 5 和 11 则的面积为 b 4 6 16 55 9 已知直角三角形的周长为 2 斜边上的中线为 1 求它的面积 7 10 直角三角形的面积为 120 斜边长为 26 求它的周长 a b c l 4 11 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D AB 13cm AC 于 BC 之和等于 17cm 求 CD 的长 类型之一 勾股定理 例 1 如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是 13cm 和 5cm 那么这个直角三角 形的面积是 cm2 解析 欲求直角三角形的面积 已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长 则求得另 一直角边的长即可 根据勾股定理公式的变形 可求得 解 由勾股定理 得 132 52 144 所以另一条直角边的长为 12 所以这个直角三角形的面积是 12 5 30 cm2 2 1 例 2 如图 3 1 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到 顶点 B 则它走过的最短路程为 A B C 3a D a3a 21 a5 解析 本题显然与例 2 属同种类型 思路相同 但正方体的 各棱长相等 因此只有一种展开图 解 将正方体侧面展开得 如图 3 由图知 AC 2a BC a 根据勾股定理得 a5a5a a2 AB 222 故选 D 类型之二 类型之二 类型之二 在数轴上表示无理数 例 3 在数轴上作出表示的点 10 解析 根据在数轴上表示无理数的方法 需先把视为直角三角形斜边的长 再确定10 出两直角边的长度后即可在数轴上作出 A B C 图 3 A B 图 3 5 解 以为斜边的直角三角形的两直角边可以是 3 和 1 所以需在数轴上找出两段分10 别长为 3 和 1 的线段 如图所示 然后即可确定斜边长 再用圆规在数轴上作出长为 的线段即可 10 下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用 例 5 阅读材料 第七届国际数学教育大会的会徽 它的主题图案是由一连串如图所示 的直角三角形演化而成的 设其中的第一个直角三角形 OA1A2是等腰三角形 且 OA1 A1A2 A2A3 A3A4 A8A9 1 请你先把图中其它 8 条线段的长计算出 来 填在下面的表格中 然后再计算这 8 条线段的长的乘积 OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8 解 这 8 条线段的长的232567223 乘积是7072 例 6 2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 勾 股圆方图 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 如图所 示 如果大正方形的面积是 13 小正方形的面积是 1 直角三角形的较短直角边为 a 较 长直角边为 b 那么的值为 2 ba A 13 B 19 C 25 D 169 解析 由勾股定理 结合题意得 a2 b2 13 由题意 得 b a 2 1 由 得 a2 b2 2ab 1 把 代入 得 13 2ab 1 2ab 12 a b 2 a2 b2 2ab 13 12 25 因此 选 C 6 说明 2002 年 8 月 20 日 28 日 我国在首都北京成功举办了第 24 届国际数学家大会 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会 也是多年来在我国举行的最重要的一次国 际会议 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷 进入了数学大国的行列 并向着新世 纪成为数学强国迈开了步伐 这次大会的会标如下图所示 它取材于我国三国时期 公元 3 世纪 赵爽所著的 勾股圆方图注 类型之四 勾股定理的应用 一 求边长 例 1 已知 如图 在 ABC 中 ACB 90 AB 5cm BC 3cm CD AB 于 D 求 CD 的长 二 求面积 例 2 1 观察图形思考并回答问题 图中每个小方格代表一个单位面积 观察图 1 1 正方形 A 中含有 个小方格 即 A 的面积是 个单位面积 正方形 B 中含有 个小方格 即 B 的面积是 个单位面积 正方形 C 中含有 个小方格 即 C 的面积是 个单位面积 在图 1 2 中 正方形 A B C 中各含有多少个小方格 它们的面积各是多少 7 你能发现图 1 1 中三个正方形 A B C 的面积之间有什么关系吗 图 1 2 中的呢 2 做一做 观察图 1 3 图 1 4 并填写下表 三个正方形 A B C 的面积之间有什么关系 3 议一议 你能用三角形的边长表示正方形的面积吗 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗 分别以 5 厘米 12 厘米为直角边作出一个直角三角形 并测量斜边的长度 中的 规律对这个三角形仍然成立吗 解析 注意到图中每个小方格代表一个单位面积 通过观察图形不能得到答案 9 9 9 9 18 18 A 中含 4 个 B 中含 4 个 C 中含 8 个 面积分别为 4 4 8 8 A 与 B 的面积之和等于 C 图 1 2 中也是 A 与 B 的面积之和等于 C 2 答案 答案 3 答案 设直角三角形三边长分别为 a b c 如图 成立 三 作线段 例 3 作长为 的线段 解析 作法 1 作直角边长为 1 单位长 的等腰直角三角形 ACB 如图 2 以斜边 AB 为一直角边 作另一直角边长为 1 的直角三角形 ABB1 3 顺次这样作下去 最后作到直角三角形 AB2B3 这时斜边 AB AB1 AB2 AB3的长度 就是 证明 根据勾股定理 在 Rt ACB 中 AB 0 AB 其他同理可证 9 点评 由勾股定理 直角边长为 1 的等腰直角三角形 斜边长就等于 直角边长为 1 的直角三角形的斜边长就是 类似地也可作出 将上图无限地向两个方 向画下去就可得到 勾股树 请你试试看 四 证明平方关系 例 4 已知 如图 在 ABC 中 90CE AD是BC边上的中线 ABDE 于E 求证 222 BEAEAC 解析 根据勾股定理 在 ACDRt 中 222 CDADAC 在 ADERt 中 222 DEAEAD 在BDERt 中 222 BEBDDE 22222222 CDBEBDAECDDEAEAC 又 CDBD 222 BEAEAC 点评 证明线段的平方差或和 常常要考虑到运用勾股定理 若无直角三角形 则可通过 作垂线的方法 构成直角三角形 以便为运用勾股定理创造必要的条件 五 实际应用 例 5 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风 暴 有极强的破坏力 如图 据气象观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台 风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20 千米 风力就会减弱一级 该台风中 心现正以 15 千米 时的速度沿北偏东 30 方向往 C 移动 且台风中心风力不变 若城市所受 风力达到或走过四级 则称为受台风影响 1 该城市是否会受到这交台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风影响 那么台风影响该城市持续时间有多少 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 A B D C E 10 解析 1 由点 A 作 AD BC 于 D 则 AD 就为城市 A 距台风中心的最短距离 在 Rt ABD 中 B 30 AB 220 AD AB 110 2 1 由题意知 当 A 点距台风 12 4 20 160 千米 时 将会受到台风影响 故该城市会受到这次台风的影响 2 由题意知 当 A 点距台风中心不超过 60 千米时 将会受到台风的影响 则 AE AF 160 当台风中心从 E 到 F 处时 该城市都会受到这次台风的影响 由勾股定理得 EF 2DE 60 15 因为这次台风中心以 15 千米 时的速度移动 所以这次台风影响该城市的持续时间为小时 154 15 1560 3 当台风中心位于 D 处时 A 城市所受这次台风的风力最大 其最大风力为 12 6 5 级 20 110 一 选择题 11 C A B D 1 有六根细木棒 它们的长度分别是 2 4 6 8 10 12 单位 cm 从中取出三根首 尾顺次连结搭成一个直角三角形 则这三根细木棒的长度分别为 A 2 4 8 B 4 8 10 C 6 8 10 D 8 10 12 2 木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具 那么他要选择的三根木条的长度应符 合下列哪一组数据 A 25 48 80 B 15 17 62 C 25 59 74 D 32 60 68 3 如果直角三角形的三条边 2 4 a 那么 a 的取值可以有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 4 已知直角三角形中 30 角所对的直角边长是 2 厘米 则斜边的长是 A 2 厘米 B 4 厘米 C 6 厘米 D 8 厘米 5 如图 直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作 S S S 则 S S S 12312 之间的关系是 3 A S S S B S S 1 的代数式表示 a b c 2 猜想 以 a b c 为边的三角形是否为直角三角形 并证明你的猜想 2 若正整数 a b c 满足方程 a2 b2 c2 则称这一组正整数 a b c 为 商高数 下面列举五组 商高数 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 12 16 20 注意这五组 商高数 的结构有如下规律 根据以上规律 回答以下问题 1 商高数的三个数中 有几个偶数 几个奇数 2 写出各数都大于 30 的两组商高数 3 用两个正整数 m n m n 表示一组商高数 并证明你的结论 3 阅读并填空 寻求某些勾股数的规律 14 对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后 就得到了一组新的勾股数 例如 我们把它扩大 2 倍 3 倍 就分别得到和 若 222 543 222 1086 222 15129 把它扩大 11 倍 就得到 若把它扩大倍 就得到 对于任意一个大于 1 的奇数 存在着下列勾股数 若勾股数为 3 4 5 因为 则有 222 453 5432 若勾股数为 5 12 13 则有 131252 若勾股数为 7 24 25 则有 若勾股数为 为奇数 则有 用来表示 mmn 2 mmn 当时 则 此时勾股数为 17 mn 对于大于 4 的偶数 若勾股数为 6 8 10 因为 则有 请找出这些勾股数之间的关系 并用适 222 8106 当的字母表示出它的规律来 并求当偶数为 24 的勾股数 4 一个直立的火柴盒在桌面上倒下 启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法 如图 火柴盒的一个侧面倒下到的位置 连结 设 请利ABCDAB C D CC ABa BCb ACc 用四边形的面积证明勾股定理 BCC D 222 abc 5 如图是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标中的图案 其中四边形 ABCD 和 EF 都是正方形 证 ABF DAE 6 仔细观察图形 认真分析各式 然后解答问题 a b D A B A D C A A B C bc 第 4 题图 A A B B C C D D E E F F G G H H 1 S1 A2 S2 A3 S3S4 S5 A6 A5 A4 A1 O 1 1 1 1 1 15 2 3 4 3 2 2 31 2 2 1 21 1 3 2 2 2 1 2 S SS 1 请用含有 n n 是正整数 的等式表示上述变化规律 2 推算出 OA10的长 3 求出的值 2 10 2 3 2 2 2 1 SSSS 一 选择题 1 如图 字母 A 所代表的的正方形的面积为 数字表示该正方形的面积 A 13B 85C 8D 都不对 2 在 Rt ABC 中 有两边的长分别为 3 和 4 则第三边的长 A 5B C 5 或D 5 或7711 3 等腰三角形底边上的高是 8 周长是 32 则三角形的面积是 A 56B 48C 40D 32 4 若线段 a b c 能构成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4B 3 4 6C 5 12 13D 4 6 7 5 一个长方形的长是宽的 2 倍 其对角线的长是 5cm 则长方形的面积 A B C D 2 5cm 2 25cm 2 10cm 2 75cm 6 一个三角形三个内角之比为 1 2 1 其相对应三边之比为 A 1 2 1B C 1 4 1D 12 1 21 2 1 7 斜边长 25 一条直角边长为 7 的直角三角形面积为 16 A 81B 82C 83D 84 8 若直角三角形中 有一个锐角为 且斜边与较短直角边之和为 18 则斜边长为 30 A 4cmB 6cmC 8cmD 12cm 9 如图 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC DE AB 于 E 下面等式错误的是 A AC2 DC2 AD2B AD2 DE2 AE2 C AD2 DE2 AC2D BD2 BE2 BC2 4 1 10 图是 2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标 由 4 个全等的直角三角形拼合而成 若 图中大小正方形面积分别是 62和 4 则直角三角形的两条直角边长分别为 2 1 A 6 4B 62 4C 62 4D 6 4 2 1 2 1 2 1 2 1 二 填空 1 在 ABC 中 C 90 a b c 分别为 A B C 的对边 1 若 a 6 c 10 则 b 2 若 a 12 b 5 则 c 3 若 c 25 b 15 则 a 4 若 a 16 b 34 则 b 2 三边长分别为 1 1 1 的三角形是 角三角形 3 在 ABC 中 AB 10 AC 8 BC 6 则 ABC 的面积是 4 如图要修一个育苗棚 棚宽 a 3m 高 b 4m 底 d 10m 覆盖顶上的塑料薄膜的面积为 2 m 17 5 如图点 C 是以为 AB 直径的半圆上的一点 则图中阴影部分的4 3 90 BCACACB 面积 是 6 在 Rt ABC 中 且 BC 136 则 AC 3 5 90 ACABC 7 直角三角形的一直角边为 8cm 斜边为 10cm 则这个直角三角形的面积是 斜边 上的高为 8 ABC 中 则 a b c 30 90aC 9 三角形三个内角之比为 1 2 3 它的最长边为 a 那么以其余两边为边所作的正方形面 积分别 为 10 有两根木条 长分别为 60cm 和 80cm 现再截一根木条做一个钝角三角形 则第三根木 条 x 长度的取值范围 三解答题 1 如如图要建一个苗圃 它的宽是 a 4 8 厘米 高 b 3 6 米 苗圃总长是 10 米 1 求苗圃的占地面积 2 覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米 2 如图在四边形 ABCD 中 求正方形 DCEF12 3 4 90 90 BCABADCBDBAD 的面积 18 3 如图在锐角 ABC 中 高 AD 12 AC 13 BC 14 求 AB 的长 4 八年级学生准备测量校园人工湖的深度 他们把一根竹竿插到离湖边 1 米的水底 只见 竹竿高出水面 1 尺 把竹竿的顶端拉向湖边 底端不变 竿顶和湖沿的水面刚好平齐 求湖 水的深度和竹竿的长 5 如图己知在 ABC 中 垂直平分 AB E 为垂足交 BC 于DEBC 15 90 D BD 16cm 求 AC 长 6 某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园 如图米 80 90 ACACB BC 60 米 若线段 CD 为一条水渠 且 D 在边 AB 上 己知水渠的造价是 10 元 米 则点 D 在 距 A 点多远 水渠的造价最低 最低价是多少 19 勾股定理及应用 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠 在西方数学史上称之为 毕达哥拉斯定理 例 1 已知一直角三角形的斜边长是 2 周长是 2 求这个三角形的面积 6 分析 由斜边长是 2 周长是 2 易知两直角边的和是 又由勾股定理可知两直66 角边的平方和为 4 列关于两直角边的方程 只需求出两直角边长的积 即可求得三角形的 面积 本题中用到数学解题中常用的 设而不求 的技巧 要熟练掌握 解 设直角三角形的两直角边为 a b 根据题意列方程得 222 2 226 ab ab 即 22 4 6 ab ab 式两边同时平方再减去 式得 2ab 2 ab 1 2 1 2 S 1 2 因此 这个三角形的面积为 1 2 练习 1 1 已知 如图 2 1 AD 4 CD 3 ADC 90 AB 13 ACB 90 求图形中阴影部 分的面积 20 B A C D 2 1 2 已知 长方形 ABCD AB CD AD BC AB 2 AD DC 长方形 ABCD 的面积为 S 沿 长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形 求这个新长方形的对角线的长 3 若线段 a b c 能组成直角三角形 则它们的比值可以是 A 1 2 4 B 1 3 5 C 3 4 7 D 5 12 13 例 2 如图 2 2 把一张长方形纸片 ABCD 折叠起来 使其对角顶点 A C 重合 若其长 BC 为 a 宽 AB 为 b 则折叠后不重合部分的面积是多少 分析 图形沿 EF 折叠后 A C 重合 可知四边形 AFED 与四边形 CFED 全等 则对应 边 角相等 AF FC 且 FC AE 则 ABF AD E 由三角形面积公式不难求出不重合 部分的面积 解 图形沿 EF 折叠后 A C 重合 四边形 AFED 与 CFED 关于 EF 对称 则四边形 AFED 四边形 CFED AFE CFE AF FC D D B 90 AB CD AD AD BC AEF EFC AEF AFE 则 AE AF Rt ABF Rt AD E 在 Rt ABF 中 B 90 AB2 BF2 AF2 2 2 21 设 BF x b2 x2 a x 2 x 22 2 ab a S 2S ABF 2 bx 2 b 1 2 1 2 22 2 ab a 22 2 b ab a 练习 2 1 如图 2 3 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠 使点 C 落在 C 的位置上 已知 AB 3 BC 7 重合部分 EBD 的面积为 2 如图 2 4 一架长 2 5m 的梯子 斜放在墙上 梯子的底部 B 离墙脚 O 的距离是 0 7m 当梯子的顶部 A 向下滑 0 4m 到 A 时 梯子的底部向外移动多少米 2 4 3 如图 2 5 长方形 ABCD 中 AB 3 BC 4 若将该矩形折叠 使 C 点与 A 点重合 则折叠后痕迹 EF 的长为 A 3 74 B 3 75 C 3 76 D 3 77 2 5 2 3 22 例 3 试判断 三边长分别为 2n2 2n 2n 1 2n2 2n 1 n 为正整数 的三角形是否是直角 三角形 分析 先确定最大边 再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形 解 n 为正整数 2n2 2n 1 2n2 2n 2n2 2n 1 2n2 2n 1 0 2n2 2n 1 2n 1 2n2 2n 1 2n 1 2n2 0 2n2 2n 1 为三角形中的最大边 又 2n2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n2 2n 2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n2 2n 1 2 2n2 2n 2 2n 1 2 这个三角形是直角三角形 练习 3 1 若 ABC 的三边 a b c 满足 a2 b2 c2 50 6a 8b 10c 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形 2 如图 2 6 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC BC 猜想 1 4 AF 与 EF 的位置关系 并说明理由 2 6 3 ABC 中的三边分别是 m2 1 2m m2 1 m 1 那么 A ABC 是直角三角形 且斜边长为 m2 1 B ABC 是直角三角形 且斜边长为 2m C ABC 是直角三角形 但斜边长由 m 的大小而定 D ABC 不是直角三角形 23 例 4 已知 如图 2 7 所示 ABC 中 D 是 AB 的中点 若 AC 12 BC 5 CD 6 5 求证 ABC 是直角三角形 分析 欲证 ABC 是直角三角形 在已知两边 AC BC 的情况下求边 AB 的长 比较困 难 但注意到 CD 是边 AB 的中线 我们延长 CD 到 E 使 DE CD 从而有 BDE ADC 这 样 AC BC 2CD 就作为 BCE 的三边 再用勾股定理的逆定理去判定 证明 延长 CD 到 E 使 DE CD 连结 BE AD BD CD ED ADC BDE ADC BDE SAS BE AC 12 A DBE AC BE 在 BCE 中 BC2 BE2 52 122 169 CE2 2CD 2 2 6 5 2 169 BC2 BE2 CE2 EBC 90 又 AC BE ACB 180 EBC 90 ABC 是直角三角形 练习 4 1 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b2c2 a2 b2 试判断 ABC 的形状 先阅读下列解题过程 解 a2c2 b2c2 a4 b4 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 ABC 为直角三角形 问 1 上述推理过程 出现错误的一步是 2 本题的正确结论是 2 7 24 2 如图 2 8 ABC 的三边分别为 AC 5 BC 12 AB 13 将 ABC 沿 AD 折叠 使 AC 落 在 AB 上 求折痕 AD 的长 3 如图 2 9 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内一点 满足 PA 3 PB 1 PC 2 求 BPC 的度数 例 5 如图 2 10 ABC 中 AB AC 20 BC 32 D 是 BC 上一点 且 AD AC 求 BD 的 长 分析 若作 AE BC 于 E 如图 2 11 利用勾股定理可求出 AE 12 AD 是 Rt ADC 的直 角边 AD CD AC 若设 DE x 借助于 AD 这个 桥 可以列出方程 解 作 AE BC 于 E AB AC AE BC BE EC BC 32 16 1 2 1 2 在 Rt AEC 中 AE2 AC2 CE2 202 162 144 AE 12 设 DE x 则在 Rt ADE 中 AD2 AE2 DE2 144 x2 在 Rt ACD 中 AD2 CD2 AC2 16 x 2 202 144 x2 16 x 2 202 解得 x 9 BD BE DE 16 9 7 练习 5 1 如图 2 12 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 MD AB 于 D 求证 AD2 AC2 BD2 2 10 2 11 25 2 12 2 如图 2 13 AB AD AB 3 BC 12 CD 13 AD 4 求四边形 ABCD 的面积 2 13 3 如图 2 14 长方体的高为 3cm 底面是正方形 边长为 2cm 现有绳子从 A 出发 沿长方形表面到达 C 处 问绳子最短是多少厘米 2 14 勾股定理及应用 答案 练习 1 1 24 提示 利用勾股定理即可求出 2 长方形的对称轴有 2 条 要分别讨论 1 以 A B 为对称点 如图 S AB BC AB 2 BC AD 2 S 根据对称性得 DF AB 1 1 2 由于 D 90 据勾股定理得 26 AF 2 22 1 4 S ADDF 1 2 2 4S 2 以 A D 为对称点 如图 BF BC 1 24 S 由 B 90 据勾股定理得 AF 3 D 2 22 4 16 S ABBF 2 1 64 4 S 练习 2 1 提示 利用 Rt ABE 的勾股定理即可求出 2 0 8m 3 B 21 4 练习 3 1 B 2 AF EF 提示 连结 AE 设正方形的边长为 a 则 DF FC EC 在 Rt 2 a 4 a ADF 中 由勾股定理得 AF2 AD2 DF2 a2 2 a2 2 a5 4 同理 在 Rt ECF 中 EF2 2 2 a2 2 a 4 a5 16 在 Rt ABE 中 BE a 则 AE2 a2 a2 a2 3 4 9 16 25 16 a2 a2 a2 5 4 5 16 25 16 AF2 EF2 AE2 AFE 90 AF EF 3 A 点拨 利用勾股定理的逆定理来判定 练习 4 1 1 2 ABC 为直角三角形或等腰三角形 2 AC2 BC2 52 122 132 AB2 C 90 将 ABC 沿 AD 折叠 使 AC 落在 AB 上 C 的对称点为 E 如图 CD DE AC AE 5 则 ACD AED 27 又 BE AB AE 8 设 CD 为 x 则 x2 82 12 x 2 解之得 x AD2 52 2 AD 10 3 10 3 5 13 3 3 过点 C 作 CE CP 并截 CE CP 2 连结 PE BE 如图 ACB PCE 90 ACB PCB PCE PCB 即 ACP BCE PCA ECB SAS BE AP 3 在 Rt PCE 中 PE2 PC2 CE2 8 又 BP2 1 BE2 9 BE2 BP2 PE2 PBE 是直角三角形 其中 BPE 90 在 Rt PCE 中 PC CE CPE CEP 45 BPC CPE BPE 45 90 135 练习 5 1 连结 AM M 为 CB 的中点 CM MB 又 AC2 AM2 CM2 BD2 BM2 MD2 AC2 BD2 AM2 MD2 又 AD2 AM2 DM2 AD2 AC2 BD2 2 36 提示 连结 BD 利用勾股定理及逆定理即可求出 3 5cm 提示 将该长方体的右面翻折 使它与前面在同一平面 连结 AC 如图 此时线段 AC 的长度即为最短距离 AC 5 cm 22 3 22 28 勾股定理的逆定理 1 班级 姓名 号次 一 选择题 本题有 10 小题 每题 3 分 共 30 分 1 在 ABC 中 的对边分别为 且 则 ABC a b cabc ba 2 2 2 A 为直角 B 为直角 C 为直角 D 不能确定A B C 2 如图 下列三角形中是直角三角形的是 3 下列各命题的逆命题不成立的是 A 两直线平行 内错角相等 B 若 则ba ba C 对顶角相等 D 如果a b 那么a2 b2 4 下面四组数中 其中有一组与其他三组规律不同 这一组是 A 4 5 6 B 6 8 10 C 8 15 17 D 9 40 41 5 如图有五根小木棒 其长度分别为 7 15 20 24 25 现想把它们摆成两个直角三角形 则摆放正确的是 7 15 24 25 20 7 15 20 24 25 15 7 2520 24 25 720 24 15 A B C D A B C D 6 放学后 斌斌先去同学小华家玩了一回 再回到家里 已知学校 C 小华家 B 斌斌家 A 的两两距离如图所示 且小华家在学校的正东方向 则斌斌家在学校的 A 正东方向 B 正南方向 C 正西方向 D 正北方向 D 5 12 13 C 46 7 B 7 5 8 A 7 3 5 C 12 12 A B 13 1 2 12 12 5 12 12 第 5 题 A B C 第 9 题 29 7 已知 ABC 在下列条件 A B C A B C 3 4 5 m n 为正整数 222 cab 2 3 1 cba 2222 2 nmcmnbnma 且 m n 中 使 ABC 成为直角三角形的选法有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 8 如图 正方形小方格边长为 1 则网格中的 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 9 如图 在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH四条线段 其中能构成一个直 角三角形三边的线段是 A CD EF GH B AB EF GH C AB CD GH D AB CD EF 10 如图 ABC 的三边 BC 3 AC 4 AB 5 把 ABC 沿最长边 AB 翻折后得到 ABC 则 CC 的长等于 A B C D 5 6 5 12 5 13 5 24 二 填空题 本题有 10 小题 每题 2 分 共 20 分 11 在 ABC 中 若 则 B C 度 222 BCABAC 12 一个高 1 5 米 宽 0 8 米的长方形门框 需要在其相对的顶点间用一条木条加固 则需 木条长为 13 有六根细木棒 它们的长度分别为 2 4 6 8 10 12 单位 cm 从中取出三根首 尾顺次连接搭成一个直角三角形 则这三根木棒的长度分别为 14 已知 则由 为三边的三角形是 三角形 2 68100 xyz xyz 15 一个三角形的三边的比为 5 12 13 它的周长为 60cm 则它的面积是 16 传说 古埃及人曾用 拉绳 的方法画直角 现有一根长 12 厘米的绳子 请你利用它拉出 一个周长为 12 厘米的直角三角形 那么你拉出的直角三角形三边长度分别为 厘 米 其中的道理是 17 已知两条线段的长为 5cm和 2cm 当第三条线段的长为 cm 时 这三 条线段能组成一个直角三角形 第 8 题 C A C B 第 10 题 30 18 木工周师傅加工一个长方形桌面 测量得到桌面的长为 60cm 宽为 32cm 对角线为 68cm 这个桌面 填 合格 或 不合格 19 如图 ABC 中 D 是 BC 上的一点 若 AB 10 BD 6 AD 8 AC 17 则 ABC 的面积为 20 我们知道 以 3 4 5 为边长的三角形为直角三角形 所以称 3 4 5 为勾股数组 记为 3 4 5 类似地 还可得到下列勾股数组 8 6 10 15 8 17 24 10 26 等 请你写出上述四组勾股数的规律 用 含 n 的式子表示 三 解答题 本题有 7 小题 第 21 26 题每题 7 分 第 27 题 8 分 21 如图 供电所张师傅要安装电线杆 按要求 电线杆要与地面垂直 因此 从离地面8m 的处向地面拉一条长10m的钢绳 现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为6m 请问 张师傅的安装方法是否符合要求 请说明理由 22 ABC 中 AB 60cm BC 22cm BC 边上的中线 AD 61cm 试说明 ABC 是等腰三角形 23 如图 三个村庄 A B C 之间的距离分别为 AB 5km AC 12km BC 13km 村庄 D 在 CA 的 延长线上且 A D 之间的距离为 AD 6km 现从 B 修一条公路 BA 直达 AC 已知这条公路的 第 19 题 B A C D B 31 造价为 50000 元 请按上述标准计算出修 B C 之间的公路的最低造价是多少 精确到 1 元 24 如图 是一种四边形的零件 东东通过测量 获得了如下数据 AB 4cm BC 12cm CD 13cm AD 3cm 东东想计算这种零件的面积 你认为东东还需测 出哪些数据 请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积 25 如图 等腰 ABC中 底边BC 20 D为AB上一点 CD 16 BD 12 求 ABC的周长 26 如图 长方形 ABCD 中 AD 8cm CD 4cm 若点 P 是边 AD 上的一个动点 当 P 在什么位置时 PA PC 在 中 当点 P 在点 P 时 有 Q 是 AB 边上的一个动点 若时 CPAP 4 15 AQ 与垂直吗 为什么 QP CP 5 B 13 C 12 A 6 D A B C D D C A B 32 27 如图 南北向 MN 以西为我国领海 以东为公海 上午 9 时 50 分 我反走私 A 艇发现正东 方向有一走私艇 C 以 13 海里 时的速度偷偷向我领海驶来 便立即通知正在 MN 线上巡逻 的我国反走私艇 B 已知 A C 两艇的距离是 13 海里 A B 两艇的距离是 5 海里 反走私 艇测得离 C 艇的距离是 12 海里 若走私艇 C 的速度不变 最早会在什么时间进入我国领 海 四 选做题 本题 1 题 共 10 分 28 学习了勾股定理以后 有同学提出 在直角三角形中 三边满足 或许其他的 222 cba 三角形三边也有这样的关系 让我们来做一个实验 1 画出任意的一个锐角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 mm mm 较长的一条边长 mm a b c 比较 填写 或 222 cba 2 画出任意的一个钝角三角形 量出各边的长度 精确到 1 毫米 较短的两条边长分别是 mm mm 较长的一条边长 mm a b c 比较 填写 或 222 cba 3 根据以上的操作和结果 对这位同学提出的问题 你猜想的结论是 N A M C B 33 对你猜想与的两个关系 任选其中一个结论利用勾股定理证明 22 ab 2 c 1 C B A 2 CB A 3 C B A 参考答案 一 选择题 1 C 2 D 3 D 4 A 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 D 二 填空题 11 90 12 1 7 米 13 6cm 8cm 10cm 14 直角 15 120 16 3 4 5 如果三角形三边满足 则它是直角三角形 17 222 cba 18 合格 19 84 20 2129或 22 1 2 1nn n 三 解答题 21 符合要求 AB2 BC2 AC2 22 在 ABD 中 AD2 BD2 AB2 ABD 90 BD CD AD 垂直平分 BC AB AC 23 在 ABC 中 AB2 AC2 BC2 BAC 90 BAD 90 BD 最低造价是 元 6165 22 61 50000578102 24 还需测出 A 90 或 CBD 90 或 BD 5 写出一种即可 以 A 90 为例 A 90 BD CBD 90 534 22 222 BDCDBC cm 1111 4 312 536 2222 ABDBCDABCD SSSAB ADBC DB 四边形 25 设 AD x 则 AC AB x 6 BD2 CD2 BC2 BDC 90 ADC 90 x 9 ABC 的周长 6 9 2 20 50 2 22 66xx 34 26 设 AP x 则 PD 8 x PC x x 5 2 22 84xx 点 P 的位置在 AD 上 且离 A 点 5cm 处 理由 AP2 AQ2 CQ2 BQ2 BC2 82CPQP 2 QP 2 15 4 625 16 2 15 4 4 52 CQ2 1025 16 22 CPQP 625 16 1025 16 CPQP 27 设 MN 交 AC 于 E 则 BEC 900 又 AB2 BC2 52 122 169 132 AC2 ABC 是直角三角形 ABC 900 又 MN CE 走私艇 C 进入我领海的最近距离是 CE 则 CE2 BE2 144 13 CE 2 BE2 25 得 26CE 288 CE 0 85 小时 0 85 60 51 分 13 144 13 144 169 144 9 时 50 分 51 分 10 时 41 分 28 3 在锐角三角形中 三边满足 222 abc 在钝角三角形中 三边满足 222 abc 选第二个结论加以证明 如图 不妨设 ACB 为钝角 作 AD BC 于 D 点 则 D 点在 BC 的延长线上 AB2 AD2 BD2 AC2 AD2 CD2 AB2 AC2 BD2 CD2 BD CD BD CD BC2 即 c2 b2 a2 a2 b20 的三角形是否是直角三角形 分析 先确定最大边 解 2n2 2n 1 2n2 2n 1 0 2n2 2n 1 2n 1 2n2 0 n 0 2n2 2n 1 为三角形中的最大边 又 2n2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n2 2n 2 2n 1 2 4n4 8n3 8n2 4n 1 2n2 2n 1 2 2n2 2n 2 2n 1 2 根据勾股定理的逆定理 可以判定 此三角形为直角三角形 说明 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 称为勾股数 请同学们找出五组勾股数 3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 例 2 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 BC 上一点 且 EC 4 1 BC 如图 求证 EFA 90 证明 设正方形 ABCD 的边长为 4a 则 EC a BE 3a CF DF 2a 在 Rt ABE 中 由勾股定理得 AE2 AB2 BE2 4a 2 3a 2 25a2 A B D C F E 36 在 Rt ADF 中 由勾股定理得 AF2 AD2 DF2 4a 2 2a 2 20a2 在 Rt ECF 中 由勾股定理得 EF2 EC2 CF2 a2 2a 2 5a2 在 AFE AF2 EF2 20a2 5a2 25a2 又 AE2 25a2 AF2 EF2 AE2 由勾股定理的逆定理可知 AFE 为 Rt 且 AE 为最大边即 AFE 90 例 3 如图 已知 在 ABC 中 C 90 M 是 BC 的中点 MD AB 于 D 求证 AD2 AC2 BD2 分析 从求证式来看 想到如果能以 AD AC BD 为边构造一个三角形 进而证 明它是直角三角形 则问题即告解决 但是这个思路在具体构造三角形时会遇到困难 只好暂时放弃 另辟蹊径 略证 连结 AM 则 AC2 BD2 AC2 BM2 DM2 AC2 CM2 DM2 AM2 DM2 AD2 说明 在证明一个等式时 如果两条线段之间没有联系 可以将其中一个 或两个 通过勾 股定理进行转化 最后转化到一个直角三角形里面 从而得到证明 随堂练习 1 判断三边分别是下列各数的 ABC 是否为直角三角形 1 1 a 3 1 b 3 1 c 22 2 2 2 3 2 2 5 3 3 b 3a c 2a 2 已知 ABC 中 AB 17cm BC 30cm BC 边上的中线 AD 8cm 求证 ABC 是等腰三角形 3 已知 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 上一点 求证 AB2 AD2 BD DC 4 CD 是 ABC 的高 D 在边 AB 上 且有 CD2 AD DB 求证 ABC 为 Rt 5 若 ABC 的三边 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 6 已知 如图 DE m BC n EBC 与 DCB 互余 求 BD2 CD2 A B C M D B E C D 37 小结 在这个定理之前 我们判定一个三角形是直角三角形 只能用定义 即证明三角 形中有一个角是直角 或者一个三角形中有两条边互相垂直 勾股定理的逆定理所给出的判 定一个三角形是直角三角形的方法 与前面学过的判定方法不同 它需要通过代数运算 算 出来 勾股定理的逆定理 在作图中也有许多应用 可以用它来确定直角 作 业 P107 T9 10 B 组 T3 练习答案 1 1 是 2 是 3 是 2 证 ABD 为 Rt 3 作 AE BC 于 E 4 CD2 AC2 AD2 AD BD 5 配方即可 6 延长 BE CD 交于 F 利用勾股定理可得 BD2