第十一章全等三角形教材分析

第十一章全等三角形教案 第十一章第十一章 全等三角形全等三角形 简介简介 一 教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图 本章的学习目标如下 1 了解全等三角形的概念和性质 能够准确地辨认全等三角形中的对应元素 2 探索三角形全等的条件 能利用三角形全等进行证明 掌握综合法证明格式 3 了解角的平分线的性质 能利用三角形全等证明角的平分线的性质 会利用 角的平分线的性质进行证明 二 本章编写特点 一 注重探索结论 探究 1 两个三角形满足三条边对应相等 三个角对应相等这六个条件中的一 个或两个 两个三角形是否一定全等 探究 2 三边对应相等 两个三角形是否一定全等 探究 3 两边及其夹角对应相等 两个三角形是否一定全等 探究 4 两边及其中一边所对的角对应相等 两个三角形是否一定全等 探究 5 两角和它们的夹边对应相等 两个三角形是否一定全等 探究 6 两角和其中一个角的对边对应相等 两个三角形是否一定全等 探究 7 三个角对应相等 两个三角形是否一定全等 探究 8 斜边和一条直角边对应相等 两个直角三角形全等 二 注重推理能力的培养 1 注意减缓坡度 循序渐进 2 在不同的阶段 安排不同的练习内容 突出一个重点 每个阶段都提出明确 要求 便于教师掌握 3 注重分析思路 让学生学会思考问题 注重书写格式 让学生学会清楚地表 达思考的过程 三 注重联系实际 三 几个值得关注的问题 一 关于内容之间的联系 二 关于证明 全等三角形 一章首先让学生认识形状 大小相同的图形 给出全等三角形 的概念 然后让学生探索两个三角形全等的条件 并运用有关结论进行证明 最后掌握角的平分线的性质 本章教学时间约需 10 课时 具体分配如下 仅供参考 13 1 全等三角形 1 课时 13 2 三角形全等的条件 5 课时 13 3 角的平分线的性质 2 课时 数学活动 小结 2 课时 人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发 1 1 1 1 2 2 2 2 观观观观察下面两察下面两察下面两察下面两组图组图组图组图形 它形 它形 它形 它们们们们是不是全等是不是全等是不是全等是不是全等图图图图形 形 形 形 展 11 1 全等三角形 教学目标 1 通过实例理解全等形的概念和特征 并能识别图形的全等 2 知道全等三角形的有关概念 能正确找出对应顶点 对应边 对应角 掌握 全等三角形对应边 对应角相等的性质 3 运用性质进行简单的推理和计算 解决一些实际问题 4 让学生了解并体会图形变换思想 逐步培养学生动态研究几何图形的意识 重难点 全等三角形的有关概念和性质是重点 理解全等三角形的边 角间对 应关系是难点 教学过程 一 情景引入 同一张底片洗出的照片 观察 两个全等三角形 四边形 五边形 六边形 思考 每组的两个图形有什么特点 能够完全重合的两个图形叫做全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形 议一议 1 你还能说出生活中全等图形的例子吗 2 如果两个图形全等 它们的形状大小一定都相同吗 全等图形的特征 全等图形的形状和大小都相同 能够能够完全重合的两个完全重合的两个 三角形三角形 叫全等三角形叫全等三角形 记作记作 ABC DEF 读作读作 ABC 全等于全等于 DEF D A C B A B C D E F 互相重合的顶点叫对应顶点 互相重合的边叫对应边 互相重合的角叫对应角互相重合的顶点叫对应顶点 互相重合的边叫对应边 互相重合的角叫对应角 全等三角形的性质 全等三角形对应边相等 对应角相等 全等三角形的性质 全等三角形对应边相等 对应角相等 旋转 两个三角形的关系 AOC BOD 0 A B S O T M N 1 对应边是 OA 与 OB OC 与 OD AC 与 BD 2 AOC 的对应角是 BOD A 的对应角是 B 翻转 两个三角形关系 ABD ABC AD 的对应边是 AC AB 的对应边是 AB DAB 的对应角是 CAB 若已知 ABC DEF 则对应边有 AB 与 DE BC 与 EF AC 与 DF 对应角有 A 与 D B 与 E C 与 F 思考 1 请同学们认真想一想 全等三角形的对应边与对应角之间有什么关系 1 若 AOC BOD 对应边是 对应角是 A B O C D 2 若 ABD ACD 对应边是 对应角是 3 若 ABC CDA 对应边是 对应角是 B D A FC A BC D 从以上你能总结出找全等三角形的对应边 对应角的规律吗 找一找 请指出下列全等三角形的对应边和对应角 1 ABE ACF 对应角是 A 和 A ABE 和 ACF AEB 和 AFC 对应边是 AB 和 AC AE 和 AF BE 和 CF 2 BCE CBF 对应角是 BCE 和 CBF BEC 和 CFB CBE 和 BCF 对应 边是 CB 和 BC CE 和 BF CF 和 BE 3 BOF COE 随堂练习 1 1 全等用符号 表示 读作 2 若 BCE CBF 则 CBE BEC BE CE 3 判断题 1 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的周长相等 面积也相等 3 面积相等的三角形是全等三角形 4 周长相等的三角形是全等三角形 随堂练习 2 如图 ABC DBF 找出图中的对应边 对应角 答 B 的对应角是 C 的对应角是 BAC 的对应角是 AB 的对应边是 AC 的对应边是 BC 的对应边是 复习小结 1 回忆这节课 学习了全等三角形的哪些知识 全等三角形的概念 性质 表示方法 对应写法等 找全等三角形对应边 对应角的方法 1 有公共边的 公共边是对应边 2 有公共角的 公共角是对应角 3 有对顶角的 对顶角是对应角 4 两个全等三角形最大的边是对应边 最小的边是对应边 5 两个全等三角形最大的角是对应角 最小的角是对应角 A B C A BC 板书设计 课后反思 11 2 三角形全等的条件 三角形全等的条件 1 教学目标 1 经历探索三角形全等条件的过程 体会利用操作归纳获得数学结论的过程 2 掌握三角形全等的 边边边 条件 了解三角形的稳定性 3 通过对问题的共同探讨 培养学生的协作精神 教学重难点 指导学生分析问题 寻找判定三角形全等的条件是重点 三角形 全等条件的探索过程是那么点 教学过程 复习回顾 1 全等三角形的定义 2 已知 ABC A B C 问题 1 其中相等的边有 全等三角形的对应边相等 AB A B BC B C AC A C 问题 2 其中相等的角有 全等三角形的对应角相等 A A B B C C 两个三角形全等 三组对应边 三组对应角六个条件分别相等 问题 1 若两个三角形三组对应边 三组对应角分别相等 则这两个三角形是 否一定全等 两个三角形全等 三组对应边 三组对应角 六个条件分别相等 4cm 6cm 6cm 30 30 6cm A BC D 问题 2 两个三角形满足六个条件中的几个条件才能确保这两个三角形全等呢 探究一 1 给定一个条件 1 一条边 失 败 2 一个角 失 败 2 给定两个条件 1 两边 失 败 4cm 6cm 2 一边一角 失 败 3 两角 失 败 30 20 30 20 千万别泄气哦 俗话说 失败是成功之母 我们继续探究 千万别泄气哦 俗话说 失败是成功之母 我们继续探究 探究二探究二 三边对应相等的两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 可以简写成 边边边边边边 或或 SSS 给定三个条件 给定三个条件 1 三边 三边 2 两边一角 两边一角 3 一边两角 一边两角 4 三角 三角 动手画 先任意画一个动手画 先任意画一个 ABC 再画一个 再画一个 A B C 使得 使得 A B AB B C BC A C AC 观察所得的两个三角形是否全等 观察所得的两个三角形是否全等 想一想 我们曾经做过这样的实验 将三根木条钉成一个三角形木架 这个三想一想 我们曾经做过这样的实验 将三根木条钉成一个三角形木架 这个三 角形木架的形状 大小就不变了 即三角形具有稳定性 你能解释其中的道理角形木架的形状 大小就不变了 即三角形具有稳定性 你能解释其中的道理 吗 吗 应用举例应用举例 例例 1 如图所示 如图所示 ABC 是一个钢架 是一个钢架 AB AC AD 是连接点是连接点 A 与与 BC 中点中点 D 的支架 的支架 求证 求证 ABD ACD 证明 证明 D 是是 BC 的中点的中点 BD CD 在在 ABD 和和 ACD 中中 AB AC BD CD AD AD ABD ACD SSS 像上述判断两个三角形全等的推理过程 像上述判断两个三角形全等的推理过程 叫做证明三角形全等 叫做证明三角形全等 证明两个三角形全等的书写格式 证明两个三角形全等的书写格式 1 准备条件 证全等时要用的间接条件要先证好 准备条件 证全等时要用的间接条件要先证好 AB DC BC AD AC AC ABC CDA SSS 在在 ABC和和 CDA中中 AC E F D B A B D C A B C D A B C D E F 2 写出在哪两个三角形中 写出在哪两个三角形中 3 摆出三个条件用括号括起来 摆出三个条件用括号括起来 4 写出全等结论 写出全等结论 SSS 公理的书写方式公理的书写方式 D A B C 思考思考 已知如图所示 已知如图所示 AC FE BC DE AD FB 要用 要用 边边边边边边 证明证明 ABC FDE 需要那些条件 如何证明 需要那些条件 如何证明 AC E F D B 练一练练一练 工人师傅常用角尺平分一个任意角 做法如下 如图 工人师傅常用角尺平分一个任意角 做法如下 如图 AOB 是一个任意角 在边是一个任意角 在边 OA OB 上分别取上分别取 OM ON 移动角尺 使角尺两边相同的刻度分别与移动角尺 使角尺两边相同的刻度分别与 M N 重合 过角重合 过角 尺顶点尺顶点 C 的射线的射线 OC 便是便是 AOB 的平分线 为什么 的平分线 为什么 变式 如图是用图规与直尺画已知角的平分线的示意图 变式 如图是用图规与直尺画已知角的平分线的示意图 作法如下 作法如下 1 以 以 A 为圆心画弧 分别交角的两边于点为圆心画弧 分别交角的两边于点 B 和点和点C 2 分别以点 分别以点 B C 为圆心 相同长度为半径画为圆心 相同长度为半径画两两 条弧 条弧 两弧交于点两弧交于点 D 3 画射线 画射线 AD AD 就是就是 BAC 的平分线 的平分线 你能说明该画法正确的理由你能说明该画法正确的理由 例例 2 如图 如图 AD BC AC BD 求证 求证 1 DAB CBA 2 ACD BDC 例例 3 如图 如图 AB CD AE DF CE BF 求证 求证 AE DF A B C DE 小结 经过本节课的学习 你有哪些收获 小结 经过本节课的学习 你有哪些收获 课外练习 已知三角形三条边分别是课外练习 已知三角形三条边分别是 4cm 5cm 7cm 画出这个三角形 画出这个三角形 板书设计 板书设计 课后反思 课后反思 11 2 三角形全等的条件 三角形全等的条件 2 教学目标 1 经历探索三角形全等条件的过程 培养学生观察分析图形能力 动手能力 2 在探索三角形全等条件极其运用的过程中 能够进行有条理的思考并进行简 单的推理论证 3 通过对问题的共同探讨 培养学生的协作精神 教学重难点 应用 边角边 证明两个三角形全等 进而得出线段或角相等是 重点 指导学生分析问题 寻找判定三角形全等的条件是难点 教学过程 创设情景 因铺设电线的需要 要在池塘两侧 A B 处各埋设一根 电线杆 如图 因无法直接量出 A B 两点的距离 现有一足够 的米尺 怎样测出 A B 两杆之间的距离呢 知识回顾 知识回顾 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为 边边边边边边 或或 SSS 用用 数学语言表述 数学语言表述 在在 ABC 和和 DEF 中中 AB DE BC EF B A 3 5 300 D EF A BC D EF AB 40 C 40 D E F DC AB 3 5 300 A BC CA FD ABC DEF SSS 探究探究 1 对于三个角对应相等的两个三角形全等吗 对于三个角对应相等的两个三角形全等吗 如图 如图 ABC 和和 ADE 中 如果中 如果 DE AB 则 则 A A B ADE C AED 但 但 ABC 和和 ADE 不重合 所以不全等 不重合 所以不全等 三个角对应相等的两个三角形不一定全等三个角对应相等的两个三角形不一定全等 探究探究 2 做一做 画做一做 画 ABC 使使 AB 3cm AC 4cm 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较 它们互相重合吗 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较 它们互相重合吗 若再加一个条件 使若再加一个条件 使 A 45 画出 画出 ABC 画法 画法 1 画画 MAN 45 2 在射线在射线 AM 上截取上截取 AB 3cm 3 在射线在射线 AN 上截取上截取 AC 4cm 4 连接连接 BC ABC 就是所求的三角形就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较 它们能互相重把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较 它们能互相重 合吗 合吗 问 如图问 如图 ABC 和和 DEF 中 中 AB DE 3 B E 300 BC EF 5 则它们完全重合 即则它们完全重合 即 ABC DEF 三角形全等判定方法三角形全等判定方法 1 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边边角边 或或 SAS 用符号语言描述为 用符号语言描述为 在在 ABC 与与 DEF 中中 AB DE B E BC EF ABC DEF SAS 练一练 练一练 分别找出各题中的全等三角形分别找出各题中的全等三角形 A B C D A B CD O AB C D EF D H 1 2 ABC EFD 根据根据 SAS ADC CBA 根据根据 SAS 例例 1 已知 如图 已知 如图 AB CB ABD CBD ABD 和和 CBD 全等吗 全等吗 分析分析 ABD CBD 边边 AB CB 已知已知 角角 ABD CBD 已知已知 边边 例题推广 例题推广 现在例现在例 1 的已知条件不改变的已知条件不改变 而问题改而问题改 变成变成 问问 AD CD BD 平分平分 ADC 吗 吗 练习练习 2 已知已知 AD CD BD 平分平分 ADC 问问 A C 吗 吗 补充题 补充题 例例 1如图如图 AC 与与 BD 相交于点相交于点 O 已知 已知 OA OC OB OD 说明 说明 AOB COD 的理由 的理由 例例 2 如图 如图 AC BD CAB DBA 你能判断你能判断 BC AD 吗 说明理由 吗 说明理由 归纳 判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等 而得到 探究新知 因铺设电线的需要 要在池塘两侧 A B 处各埋设一根电线杆 如图 因无法 直接量出 A B 两点的距离 现有一足够的米尺 请你设计一种方案 粗略测 出 A B 两杆之间的距离 小明的设计方案 先在池塘旁取一个能直接到达 A 和 B 处的点 C 连结 AC 并 延长至 D 点 使 AC DC 连结 BC 并延长至 E 点 使 BC EC 连结 CD 用 米尺测出 DE 的长 这个长度就等于 A B 两点的距离 请你说明理由 AC DC ACB DCE BC EC ACB DCE D E 3 5c m 2 5c m F 40 A B C 3 5 cm 40 2 5c2 5c m m B A CD AB DE 小明做了一个如图所示的风筝 其中 EDH FDH ED FD 将上述条件 标注在图中 小明不用测量就能知 道 EH FH 吗 与同桌进行交流 EDH FDH 根据 SAS 所以 EH FH 探究 2 以 2 5cm 3 5cm 为三角形的两边 长度为 2 5cm 的边所对的角为 40 情况又怎样 动手画一画 你发现了什么 结论 两边及其一边所对的角相等 两个三角形结论 两边及其一边所对的角相等 两个三角形不一定不一定全等全等 猜一猜 是不是二条边和一个角对应相等 这样的两个三角形一定全等吗 你能举例说明吗 如图 ABC 与 ABD 中 AB AB AC BD B B 他们全等吗 注 这个角一定要是这两边所夹的角 课堂小结 1 三角形全等的条件 两边和它们的夹角对应相等的 两个三角形全等 边角边或 SAS 2 用尺规作图 已知两边及其夹角的三角形画三角形 3 会判定三角形全等 作业 板书设计 课后反思 11 2 三角形全等的条件 三角形全等的条件 3 D B E A O C C A D B 1 4 C A D B 2 教学目标 1 探索并掌握两个三角形全等的条件 ASA AAS 并应用之判别两个三角 形是否全等 2 经历作图 比较 证明等探究过程 提高分析 作图 归纳 表达 逻辑推 理等能力 并通过对知识方法的总结 培养反思的习惯 培养理性思维 3 敢于面对教学活动中的困难 能通过合作交流解决遇到的困难 教学重难点 理解 掌握三角形全等的条件 ASA AAS 是重点 探究 ASA AAS 以及应用是难点 教学过程 复习 1 什么是全等三角形 2 判定两个三角形全等要具备什么条件 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 边角边 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等 创设情景 实例引入 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了 如图 你能制作一张与原来 同样大小的新教具 能恢复原来三角形的原貌吗 探究 1 先任意画出一个 ABC 再画一个 A B C 使 A B AB A A B B 把画好的 A B C 剪下 放到 ABC 上 它们全等吗 已知 任意 ABC 画一个 A B C 使 A B AB A A B B 画法 1 画 A B AB 2 在 A B 的同旁画 DA B A EB A B A D B E 交于点 C A B C 就是所要画的三角形 问 通过实验可以发现什么事实 探究反映的规律是 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 用数学符号表示 在 ABC 和 DEF 中 A D 已知 AB DF 已知 B F 已知 ABE A CD ASA 例题讲解 例 1 已知 点 D 在 AB 上 点 E 在 AC 上 BE 和 CD 相交于 点O AB AC D EF O A C D B C A D B 1 2 B C 求证 ABE ACD 例 2 如图 1 2 3 4 求证 AC AD 探究 2 在 ABC 和 DEF 中 A D B E BC EF ABC 与 DEF 全等吗 能利用角边角条件证明你的结论吗 A B C 有两角和它们中一角所对的边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角 边 或 AAS 证明 在 ABE 和 A CD 中 A A 已知 B C 已知 AE A D 已知 ABE A CD AAS 练习 1 如图 应填什么就有 ADC BOD A B 已知 已知 C D 已知 ADC BOD 2 已知 如图 1 2 C D 求证 AC AD 证明 在证明 在 ABD 和和 ABC 中中 1 2 已知 已知 D C 已知 已知 AB AB 公共边 公共边 ABD ABC AAS AC AD 全等三角形对应边相等 全等三角形对应边相等 A B C D E F 课堂小结 1 学习了角边角 角角边 2 注意角角边 角边角中两角与边的区别 3 会根据已知两角一边画三角形 4 进一步学会用推理证明 布置作业 板书设计 课后反思 11 2 三角形全等的条件 4 教学目标 1 探索出直角三角形全等的条件 HL 并掌握 能进行简单证明 2 经历作图 比较 证明等探究过程 提高归纳 表达 逻辑推理能力 3 通过探究交流 解决问题 获得成功体验 进一步激发学生探究的积极性 教学重难点 掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法 HL 是重点 熟练选 择判定方法判定两个直角三角形全等是难点 教学过程 回顾与思考 1 判定两个三角形全等方法 SSS SAS ASA AAS 2 如图 Rt ABC 中 直角边 BC AC 斜边 AB A B C 3 如图 AB BE 于 B DE BE 于 E 1 若 A D AB DE 则 ABC 与 DEF 全等 填 全等 或 不全等 根据 HL 用简写法 情景引入 如图 舞台背景的形状是两个直角三角形 工作人员想知道这两个 直角三角形是否全等 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量 1 你能帮他想个办法吗 C D AB 方法一 测量斜边和一个对应的锐角 AAS 方法二 测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角 ASA 或 AAS 做一做 已知线段 a c a c 和一个直角 利用尺规作一个 Rt ABC 使 C CB a AB c a c 想一想 怎样画呢 按照下面的步骤做一做 作 MCN 90 C M N 在射线 CM 上截取线段 CB a 以 B 为圆心 C 为半径画弧 交射 线 CN 于点 A C M N B A 连接 AB C M N B A ABC 就是所求作的三角形吗 剪下这个三角形 和其他同学所作的三角形进行比较 它们能重合吗 直角三角形全等的条件 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL 想一想 你能够用几种方法说明两个直角三角形全等 直角三角形是特殊的三角形 所以不仅有一般三角形判定全等的方法 SAS ASA AAS SSS 还有直角三角形特殊的判定方法 HL 练一练 1 如图 AC AD C D 是直角 将上述条件标注在图中 你能 说明 BC 与 BD 相等吗 解 在 Rt ACB 和 Rt ADB 中 则 AB AB AC AD Rt ACB Rt ADB HL BC BD 全等三角形对应边相等 2 如图 两根长度为 12 米的绳子 一端系在 C M N B 旗杆上 另一端分别固定在地面两个木桩上 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗 请说明你的理由 解 BD CD 因为 ADB ADC 90 AB AC AD AD 所以 Rt ABD Rt ACD HL 所以 BD CD 议一议 3 如图 有两个长度相同的滑梯 左 边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等 两个滑梯的倾斜角 ABC 和 DFE 的大小有什么关系 ABC DFE 90 解 在 Rt ABC 和 Rt DEF 中 则 BC EF AC DF Rt ABC Rt DEF HL ABC DEF 全等三角形对应角相等 DEF DFE 90 ABC DFE 90 小结 这节课你有什么收获呢 与你的同伴进行交流 作业 板书设计 课后反思 11 3 角的平分线的性质 1 教学目标 1 经历探索 猜想 证明的过程 进一步发展学生的推理证明意识和能力 2 能够利用三角形全等 证明角平分线的性质和判定 3 会用尺规作已知角的平分线 4 能对角平分线性质进行简单的推理 解决一些实际问题 教学重难点 角平分线的画法 性质和判定是重点 运用角平分线性质进行简 单的推理及解决实际问题 教学过程 D C B E O M N A B C O A O B E D P P C 1 2 试一试你能获得成功 1 如右图 是一个平分角的仪器 其中 AB AD BC DC 将点 A 放在角的顶 点 AB 和 AD 沿着角的两边放下 沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线 1 利用平分角的仪器 画出图中各角的角平分线 2 为什么 AE 一定是 A 的角平分线 你能说明它的道理吗 大胆地说出你的想法 证明 在 ACD 和 ACB 中 AD AB DC BC AC AC ACD ACB SSS CAD CAB AC 是 A 的角平分线 如何用尺规作角平分线 动动手 你也可以做到 2 尺规作角的平分线 画法 以 为圆心 适当长为半径作弧 交 于点 交 于点 N 分别以 为圆心 大于 1 2 的长 为半径作弧 两弧在 的内部交于 作射线 射线 即为所求 其实你能做得更好 3 练习 1 平分平角 AOB 通过上面的步骤得到射线 OC 以后 把它反向延长得到直线 直线 与 是什么关系 2 在 1 的基础上 作出一个 45 的 角 则我们得到作一条直线垂线的方法 相信自己 4 将 AOB 对折 再折出一个直角三角形 使第一条折痕为斜边 然后展开 观察 两次折叠形成的三条折痕 你能 得出什么结论 由此我们得到角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边距离相等 你能用三角形全等证明这个性质吗 已知 OC 平分 AOB 点 P 在 OC 上 PD OA 于点 D PE OB 于点 E 求证 PD PE 证明 OC 平分 AOB 1 2 又 PD OA PE OB PDO PEO 90 在 OPD 和