高级微观经济学数学准备

1 19 一 函数 1 凹 凸 函数 1 1 凸集 凸集 对于任意两点和 且对于每一个 当且仅当uS vS 0 1 为真时 集合为凸集 1 wuvS n SR 凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内 即该集合不存在任何孔 它的边缘 也不能有缩进 例如 平面中 一条线段就是一个凸集 而一个圆圈则不是 1 2 凹 凸 函数 介绍凸集是为了引入凹 凸 函数 不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集 我们可以先举个例子直观感受下凹 凸 函数的特征 比如函数就是一 2 44yxx 个凹函数 它在定义域内呈现出峰形 函数就是一个凸函数 它在定义域 2 44yxx 内呈现谷底 现在具体给出凹 凸 函数的定义 对于函数 其定义域内任意两个不同的点和 当且仅当 fDR 1 x 2 x 1212 x 1 x x 1 x 0 1 tft ff ttt 时 函数 f 为凹函数 对于函数 其定义域内任意两个不同的点和 当且仅当 fDR 1 x 2 x 1212 x 1 x x 1 x 0 1 tft ff ttt 时 函数 f 为凸函数 若将不等号 和 分别变换成严格不等号 和 上述定义便成了 严格凹函数和严格凸函数的定义 因为凹函数的定义域为凸集 因此点也一定在函数的定义域内 12 x 1 xtt 我们可以利用凹 凸 函数和严格凹 凸 函数判断函数极值的情况 凹函数一定存 在绝对极大值 但绝对极大值可能不是唯一的 因为如果山峰包含一个平顶 则可能存在 多重绝对极大值 仅当我们限定它为严格凹形函数时 绝对值才可能是唯一的 1 3 凹 凸 函数与凸集的关系 首先我们必须区别凸集与凸函数的概念 根据定义 可知当 凸的 在描述集合时 它要求该集合不能出现任何孔 边缘也不 能有缩进 这不同于之前的凹 凸 函数 当 凸的 在描述函数时 它确定的是一条曲 线或曲面是如何弯曲的 但凹 凸 函数确实与凸集有关 除了定义域都要求是凸集之外 它们都可以引致一 个凸集 定理 是凹函数是凸集 x f x x x AyD fy Comment z1 这里有个问题 我的 概念有些模糊 二元的效用函数下 介无差异曲线凸向原点也保证其上等 值集为凸集 感觉那时上等值集是平 面上可以画出来的 但现在这里的上 等值集为凸集应该是三维的 两个凸 集有关系吗 2 19 是凸函数是凸集 x f x x x AyD fy 即 由函数上的点以及函数曲线 曲面 之下的点组成的集合若是凸集该函数为凹函 数 由函数上的点以及函数曲线 曲面 之上的点组成的集合若是凸集该函数为凸函 数 2 拟凹 拟凸 函数 不管是凹 凸 函数还是严格凹 凸 函数 它们对函数都有比较强的设定 但是通 常 理论研究的工作之一是为保证获得结果 识别出我们需要对函数进行的最弱的可行设 定 拟凹 拟凸 函数则是一个相对而言更弱的条件 拟凹 拟凸 函数的定义如下 对于函数 其定义域内任意两个不同的点和 当且仅当 fDR 1 x 2 x 1212 min x x x 1 x 0 1 fff ttforallt 时 函数 f 为拟凹函数 对于函数 其定义域内任意两个不同的点和 当且仅当 fDR 1 x 2 x 1212 max x x x 1 x 0 1 fff ttforallt 时 函数 f 为拟凸函数 若将不等号 和 分别变换成严格不等号 和 上述定义便适用 于严格拟凹函数和严格拟凸函数的定义 我们也可以通过更直观的方法检验函数的拟凹性和拟凸性 设 为函数在水平上的上等值集 00 x x x S yD fy x f 0 y 为函数在水平上的下等值集 00 x x x I yD fy x f 0 y 定理 对于值域内的所有 y 值 都是凸集是拟凹函数 y S fDR 对于值域内的所有 y 值 都是凸集是拟凸函数 y I fDR 经济学中常假设拟凹的效用函数 根据定理 拟凹的效用函数保证了其上等值集为凸 集 3 函数间关系 1 是 严格 凹函数是 严格 凸函数 x f x f 2 是 严格 拟凹函数是 严格 拟凸函数 x f x f 3 是 严格 凹函数是 严格 拟凹函数 反之不成立 x f x f 4 是 严格 凸函数是 严格 拟凸函数 反之不成立 x f x f 5 单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数 Comment z2 稳态值是指选择变量 的最优解还是指函数的 12 n x xx 最优解 产生疑问是 12 n f x xx 因为蒋中一那本书里提到的是稳定值 的概念 用的是后一种表述 前一种 表述是高微笔记上记的 3 19 6 凹 凸 函数相加仍为凹 凸 函数 拟凹和拟凸函数则没有类似关系 二 无约束的最优化问题 1 一元函数的无约束极值 本讲义将讨论的函数范围限定在二次连续可微函数的范围里 给定一个二次连续可微的一元函数 易知 它在处取得极值的一阶 yf x 0 xx 必要条件为 而该极值究竟是极大值还是极小值得看的符号 若 0fx fx 则为唯一的绝对极大值 若 则为唯一的绝对极小值 0fx 0 f x 0fx 0 f x 利用上述极值的导数条件 我们可以推导出极值的微分条件 即 极值的一阶必要条件 对于任意非零 函数的一阶全微分为 0dyfx dx dx 零 对于任意非零 我们也可以通过 222 d yd fx dxfx dxfx dx dx 计算函数的二阶全微分来判断极值的情况 综上 当函数为二次连续可微时 它取得极值的必要条件为 1 函数在取得绝对极大值 对于任意非零都成立 x 2 2 0 0 dyfx dx d yfxdx dx 2 函数在取得绝对极小值 对于任意非零都成立 x 2 2 0 0 dyfx dx d yfxdx dx 在满足必要条件的前提下 函数取得唯一的绝对极值时充分条件为 对于任意非零都成立函数在取得唯一绝对极大值 2 2 0d yfxdx dx x 对于任意非零都成立函数在取得唯一绝对极小值 2 2 0d yfxdx dx x 只要将改为一阶微分向量 以上极值的微分条件能直接从单变量的情况推广至dxxd 两个甚至多个变量的情况 2 多元函数的最优化问题 2 1 一阶条件 稳态值 上的函数的稳态值 在该点处 n R 12 n yf x xx 12 x T n x xx 下面几个等式同时成立 112 212 12 0 0 0 n n nn f x xx fx xx fx xx Comment z3 最优解能不能这么表 示 在 Reny 的附录里有表达式 12 x n f x xxf 4 19 定理 如果在点 我们可能得到局部最大 小 值 即对于 12 x T n x xx 一个尽可能小的邻域内 所有点都有 12 x T n x xx 12 x T n xxx 那么稳态条件必然满足 1212 nn f x xxf xxx 2 2 二阶条件 直觉上 多元函数与一元函数一样 在稳态值取得最大值还是最小值与的符号有关 2 d y 我们先对进行微分 可得 dy 2 1122 1111121211 2121222222 1122 x x x x x x x x x x x x x nn nn nn nnnnnnnn d ydfdxdfdxdfdx fdx dxfdx dxfdx dx fdx dxfdx dxfdx dx fdx dxfdx dxfdx dx d 11121 21222 12 x x x x x x x x x x n Tn nnnn fff fff d fff 其中 为海塞矩阵 根据杨格定理 11121 21222 12 x x x x x x x x x x n n nnnn fff fff H fff 因此海塞矩阵为对称矩阵 ijji ff 在判断的符号之前 我们先正 负 定矩阵及其判定方法 2 d y 定义 若对于所有的 始终成立 则称正定 A 为正定矩阵 x0 x xx 0 T qA x q 若对于所有的 始终成立 则称负定 A 为负定矩阵 x0 x xx0 T qA x q 若对于所有的 始终成立 则称半正定 A 为半正定矩阵 x0 x xx0 T qA x q 若对于所有的 始终成立 则称半负定 A 为半负定矩阵 x0 x xx0 T qA x q 根据以上定义 若要判断的符号 我们只需判定与其对应的海塞矩阵的正 负 定 2 d y Comment z4 高微笔记里是前主子 阵 看以后感觉那里记的概念不准确 就用了金老师上课用的解释 但只有 顺序主子式的介绍 不知道适不适合 前主子阵 5 19 其实 通过判定海塞矩阵的正 负 定 我们也可以判定函数的凹 凸 性 即对于二次 连续可微函数 12 n yf x xx 1 其海塞矩阵负定函数为严格凹函数存在唯一绝对极大值 x H 2 其海塞矩阵正定函数为严格凸函数存在唯一绝对极小值 x H 接下来介绍正负定的判定方法 定义 主子阵 对矩阵 A 由 A 的 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来得到n n 的矩阵 称为 A 的 k 阶主子阵 由 A 的 前 k 个主对角线元素及其对应的非对角线元素来 得到的矩阵 为 k 阶前主子阵 主子阵的行列式为主子式 前主子阵的行列式为顺序主子式 我们用 表示的 k 阶顺序主子式 其中 如 k D x H1 2 3 kn 111 x x Df 1112 2 2122 x x x x x ff D ff 11121 21222 12 x x x x x x x x x x n n k nnnn fff fff D fff 定理 对于二次连续可微函数 12 n yf x xx 1 海塞矩阵正定 0 1 2 k Dkn 2 海塞矩阵负定 1 0 1 2 k k Dkn 用表示海塞矩阵 H 的指标 1 2 3 n 的任意排序 为的 k 阶顺序主H k D H 子式 则 3 海塞矩阵半正定 0 1 2 k Dkn 4 海塞矩阵半负定 1 0 1 2 k k Dkn 从而 我们给出极值的充分条件 已知二次连续可微函数 12 x n yf x xxf 12 0 1 2 in f x xxin 6 19 1 其海塞矩阵负定严格凹函数 为函数的唯一绝对极大值 x H x f 2 其海塞矩阵正定严格凸函数 为函数的唯一绝对极小值 x H x f 3 举例 二元函数的无约束极值问题 有一个二次连续可微函数 12 yf x x 可知其海塞矩阵为 则 1112 2122 ff H ff 111 Df 1112 2 2122 ff D ff 11122 Dff 11122221 2 21221211 ffff D ffff 根据之前的判定规则 1 为严格凹函数 111 0Df 2 2112212 0Df ff 12 yf x x 2 为严格凸函数 111 0Df 2 2112212 0Df ff 12 yf x x 3 为凹函数 11122 0Dff 2 2112212 0Df ff 12 yf x x 4 为凸函数 11122 0Dff 2 2112212 0Df ff 12 yf x x 若 我们就可以根据函数的凹凸性来判定函数在点 112212 0f x xfx x 取得的是绝对极大值还是绝对极小值 12 x x 7 19 三 具有约束条件的最优化问题 之前的部分只是考虑了无约束条件的最优化问题 这即是说在求极值的过程中 我们 没有对选择变量的值进行约束 从而求得的解可能是负值 也可能很大 然而考虑到经济 学是建立在稀缺的资源如何配置的问题上的 因而在经济学的最优化求解过程中 我们通 常不得不面临资源的稀缺性 即对选择变量的值加上约束条件 约束条件大致分三类 等式约束 非负约束以及更普遍的 其它形式的不等式约束 我们将依次介绍对应的求解方法 从现在开始 讨论将以最大化问题为主 在解决最大化 问题后会稍微提及解决最小化问题的方法 1 等式约束 关于解决等式约束的方法 其实我们已经学过了 就是利用拉格朗日方法求解的过程 现在简要回顾拉格朗日函数 1 1 二元目标函数 一个等式约束的约束最优化条件 考虑二元函数下 具有约束条件的最优化问题 12 12 max x x yf x x 12 stg x xc 其中 c 是一个常数 z 和 g 都是二次连续可微函数 该问题的拉格朗日函数为 1212 Lf x xcg x x 一阶条件要求 1212 111 0 f x xg x xL xxx 1212 222 0 f x xg x xL xxx 12 0 L cg x x 求出上述一阶条件 可得 12 x x 二阶条件 将拉格朗日乘子也看作是变量 则最大化拉格朗日函数的过程可视为无约束最优化过 程 这也就是说 如果解满足 L 的无约束极值中极大值的二阶条件 我们便可 12 x x 确定 是我们约束最优化问题的解 事实上在二阶条件求导过程中 这里与无约 12 x x 束最优化关键区别在于 与的取值不再是任意非零即可 等式约束中与的 1 dx 2 dx 1 dx 2 dx 取值有关 对等式约束两边求一阶全微分 可得 12 g x xc 8 19 1 112221 2 0 g dgg dxg dxdxdx g 因此等式约束要求 1 21 2 g dxdx g 对函数进行二阶全微分可得 12 yf x x 2 12 12 22 22 111121221121222222 12 222 111121222222 2 dydy d yd dydxdx xx dxdx f dxf dx dxfdxf dx dxf dxfdx xx f dxf dx dxf dxf d x 对进行二阶全微分 化简可得 12 g x xc 2222 111121222222 222 21111212222 2 20 1 2 d gd dgg dxg dx dxg dxg d x d xg dxg dx dxg dx g 将上式代入 可得 2 d y 2 222 1 11212122211 2 2 2 dx d yL gg g LL g g 而 22 11212122211 0g 2 xy xxxxy yyxyy g L gg g LL ggLL gLL 定义 为加边海塞矩阵 它是由海塞矩阵和一阶导数 边 构成 0gx y xxxxy yyxyy g HgLL gLL 的矩阵 用表示 H 上面的 表示边 则H 0gx y xxxxy yyxyy g DgLL gLL 2 2 1 2 2 1 dx d yD g 综上 我们可以得到目标为二元函数 仅包含一个等式约束的最优化条件 当满足拉格朗日函数的一阶条件时 为约束极小 大 12 x x 12 0 Dx x 值 9 19 1 1 1 严格拟凹 拟凸 函数与约束极值的关系 当函数 y 是二次连续可微时 我们还可以用函数的一阶导数和二阶导数 整理成加边 行列式 的方法来检验 设 12 11112 22122 0ff Bfff fff 1 z 为严格拟凹函数 0B 2 z 为严格拟凸函数 0B 将 B 与之前的加边海塞矩阵进行比较 可以发现两个不同之处 H 一为 B 中的加边元素是函数 f 而非 g 的一阶偏导数 二为 B 中的其余元素是 f 而非拉 格朗日函数 L 的二阶偏导数 然而 在线性等式约束的特定情 121 122 g x xxxc 况下 这类等式约束在经济学中经常遇到 可简化为 即 ij L ij f ijij Lf 从而 拉格朗日函数为 121 122 Lf xxcxx 从而 且 0 iii Lf ijij Lf 回到 边 我们注意到线性约束函数产生一阶导数 因而一阶条件可写为 ii g 因此 B 中的边只不过是的边被正的标量乘 通过顺序提取的横边和纵 ii fg H H 边的公因子 得到 1212 2 1111211112 2212222122 00gffg BfffgLLD fffgLL 结果 在线性约束情况下 与总有相同的符号 BD 由此可知 在线性约束的条件下 我们可以通过直接判断目标函数的严格拟凹 凸 性去 判断约束极值的情况 1 目标函数为严格拟凹函数 函数在稳态值取得唯一的约束绝对极大值 2 目标函数为严格拟凸函数 函数在稳态值取得唯一的约束绝对极小值 1 1 2 拟凹 凸 函数与凹 凸 函数的关系 平滑 递增 拟凹的效用函数上等值集为凸集凸的向下倾斜的无差异曲线 因为等产量曲线的概念几乎与无差异曲线是一致的 我们可以类推 平滑 递增 拟凹的生产函数上等值集为凸集凸的向下倾斜的等产量曲线 Comment z5 自己的总结 逻辑对 么 10 19 1 2 多元目标函数 m 个等式约束的约束最优化条件 现在将拉格朗日方法应用于多元函数 面临的最优化问题为 12 12 max n x xxn yf x xx 1 121 2 122 12 n n m nm stgx xxc gx xxc gx xxc 拉格朗日函数为 1 x x x m j jj j Lfcg 一阶条件 1 x x 0 1 2 j m j j iii Lfg in xxx x 0 1 2 j j j L cgjm 二阶条件 此时加边海塞矩阵为 11 1 1 1 11111 1 1 0 0 0 0 n mm n m n m nnnnn gg gg H ggLL ggLL 定义 11 1 1 1 11111 1 1 0 0 0 0 1 k mm k k m k m kkkkk gg gg Dkmn mn ggLL ggLL 利用我们直接给出多元目标函数 m 个等式约束的约束最优化条件 k D 为满足一阶必要条件的解 则 x 1 函数在点取得唯一的约束绝对极大值 1 0 1 2 k k Dkmmn x 11 19 2 函数在点取得唯一的约束绝对极小值 0 1 2 k Dkmmn x 2 非负约束 考虑一元可微函数 max f x 0stx 由于约束条件 因此可能会出现三种情况 0 x 1 在 x 大于零时取得绝对极大值 此时我们得到了一个内点解 在这种情况下 一阶条件是 和经典问题一样 0 d fx dx 2 x 等于零时取得绝对极大值 此时我们得到了一个边界解 但 仍然成立 0 d fx dx 3 x 小于零时取得绝对极大值 此时我们也得到了边界解 但因为作为非线性约 束问题中的一个局部极大值 候选点必须必可行域中的邻近点高 从而要求 0 d fx dx 综上 为了在内找到的极大值 必须满足以下三个条件中的一个 0 x 1 且 0fx 0 x 2 且 0fx 0 x 3 且 0fx 0 x 将上述三个条件合成一个论述 且 0fx 0 x 0 xfx 其中 第三个等式表达了三个条件的一个共同特点 即 x 和至少有一个是零 因 fx 此两者的乘积一定是零 这个特点是指 x 与互补松弛 fx 当问题包含 n 个选择变量时 12 max n f x xx 0 1 2 j stxjn 解决的思路与一元函数相同 这里我们直接给出该约束最优化的必要条件 1 给定非负约束 多元函数 在稳态值处取得约束极大值 则 12 n f x xx 满足 12 n f x xx 12 19 x 0 1 2 x 0 1 2 0 1 2 i i i i f iin x f iixin x iiixin 1 给定非负约束 多元函数 在稳态值处取得约束极小值 则 12 n f x xx 满足 12 n f x xx x 0 1 2 x 0 1 2 0 1 2 i i i i f iin x f iixin x iiixin 3 其它形式的不等式约束 现在我们在非负约束的基础上 再引入不等式约束 为简化 我们先处理两个选择变量和 一个不等式约束条件的问题 max f x 0 stg xr x 在虚拟变量 s 的帮助下 我们可以将上述问题变换为 max f x 0 stg xsr x s 若没有非负约束 则我们可利用拉格朗日函数求解 Lf xrg xs 一阶条件为 0 LLL xs 但由于 x 与 s 必须是非负的 因此 1 1 部分的思路 上述一阶条件应改为 且 0 0 L x x 0 L x x 且 0 0 L s s 0 L s s 0 L 13 19 注意仍然成立 为何 因为 一定成立 0 L 0 L rg xs 进而 将以及代入第二个条件 则第二个条件与第三个条件可变为 L s srg x 且 12 0 0 rg x x 0rg x 从而我们可以用没有虚拟变量的等价形式来表达的一阶条件 这时 Lf xrg x 且 0 0 xx L fgx x 0 L x x 且 0 0 L rg x 0 L 上述讨论可以直接的方式应用于 n 个选择变量和个约束条件的问题 拉格朗日函数 L 的形 式为 1212 1 m i niin i Lf x xxrg x xx 则该非线性约束问题的库恩 塔克条件为 极大化 且 0 0 jjj j L fgx x 0 1 2 j j L xjn x 且 12 0 0 i ijni i L rgx xx 0 i i L 如果问题是求极小值 那么可以将它转化为极大化问题 然后应用以上条件求解 此 处仅介绍用库恩 塔克条件求解非线性规划中的极大值问题 按水平的方向解读上式 我们可以看见库恩 塔克条件在极大化问题中包括了一组与选 择变量与拉格朗日乘数的条件 从垂直的方向来解读 对于每一个选择变量和拉格朗日函 数 都有一个边际条件 第一列 一个非负约束 第二列 和一个互补松弛条件 第三列 在任一个给定条件下 与选择变量相关的一组边际条件与拉格朗日成熟的一组边际条件 在不等号方向上是不同的 若满足约束规范 库恩 塔克条件极大 小 化条件可以作为总 体极大 小 值的必要条件 1 2 举例 我们现在就将库恩 塔克条件应用于效用最大化问题 maxUxy 100 40 0 stxy x x y 拉格朗日函数为 14 19 12 100 40 Lxyxyx 该问题的约束条件为线性的 因而它一定满足约束规范 之后解释 故可利用库恩 塔克 条件求解 可得 且 12 0 0 L yx x 0 L x x 且 1 0 0 L xy y 0 L y y 且 1 1 1000 0 L xy 1 1 0 L 且 2 2 400 0 L x 2 2 0 L 写出库恩 塔克条件后 典型的方法是通过试错法来求解 步骤如下 1 首先给选择变量赋值为零 通过消除某些项来使条件简化 如果适当的非拉格朗日乘数可以满足所有边际不等式 那么零解将是最优的 对于当前这个例子 当或时 没有意义 因此该问题中 x 和 y 都是 0 x 0y 0U 正数 此步骤跳过 2 如果零解违反一些不等式 那么可以尝试让一个或更多选择变量为正数 对于每个正的选择变量 我们可以通过互补松弛条件使不等式边际条件转换为严格等 式边际条件 应用于当前例子 则 1212 11 2 1 0 0 0 0 0 y x x L yyx x L xxy y 由于 其它条件可变为 1 x 0 1 1000 L xy 这时我们仍然不能简化条件且 因此我们需要步骤 3 2 2 400 0 L x 2 2 0 L 3 假设函数对拉格朗日乘数的偏导取不等号 若这个假定导致矛盾 那我们应该将该偏 导等于零进行测算 15 19 因此 我们先假设 则 那么有 但这一解违反 2 400 L x 2 0yx 50 xy 了约束 故舍去 40 x 那么 我们假设则 2 400 L x 40 60 xy 1 3 约束规范 之前多次强调 库恩 塔克条件只有在满足规范约束时 才是极值的必要条件 那么约 束规范具体是什么 先介绍几个概念 令是可行区域边界上的一个可能的解点 并令 12 n xx xx 表示由所提到的边界点移动的特定方向 12 n dxdxdxdx 测试向量 若某一向量满足条件 i 如果第 j 个选择变量在点 x 处取得零值 那么只允许在 xj轴上有非负变化 即 若 那么 0 j x 0 j dx ii 如果在点 x 处恰好满足第 i 个约束条件的等式约束 那么将只允许的 12 n dx dxdx 取值使得约束函数值不增加 对极大值问题 即 i g x 若 则必须成立 i i g xr 1122 0 iiii nn dg xg dxg dxg dx 则该向量为测试向量 规范弧 若某一弧段满足条件 i 从点 x 处出发 ii 整个包含在可行区域内 iii 与已知测试向量相切 则该弧段我们成为该测试向量的规范弧 有了这些预备知识后 约束规范可简单地表达为 如果对可行区域边界上的任意点 x 对每一测试向量 dx 存在一规范弧 那么 就满 足约束规范 约束规范的定义看上去有些抽象 有兴趣的同学可以借助参考书中的例子求解理解掌 握这一概念 如果实际求解中 我们遇到可行区域是仅由线性约束形成的凸集 那么约束 规范总是满足 且库恩 塔克条件在最优解处总成立 这时就免去了检验约束规范是否满足 的步骤 16 19 四 最优化的其他主题 接下来我们将回到经典的等式约束最优化领域来讨论包络定理 1 极大值函数 极大值函数是当选择变量都是最优值时候的目标函数 这些选择变量的最优值是外生 变量和参数的函数 一旦选择变量的最优值代入原目标函数中 那么目标函数就间接地称 为参数的函数 因此 极大值函数也称间接目标函数 它是当参数发生变化的时候 目标 函数极大 小 值变化的轨迹 举例 通过求解 max Uu x y 0 xy stp xp yB x y 我们可得 将最优值代入 U u x y 则可得间接 xyxy xxppByyppB 效用函数 xy V ppB 2 包络定理 包络定理 即使在外生变量可能作为内生选择变量的解的一部分间接进入极大值函数 的情况下 也只有外生变量参数变化的直接效应才需要考虑