新定义问题(2016-2017年北京中考模拟).doc

1在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90得到PM，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90得到QN，则称线段MN进行了三等分变换，其中M，N记为点M，N三等分变换后的对应点例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M的坐标为（2，4），点N的坐标为（0，3）（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M与点N的坐标；（2）若点Q的坐标是（0，），点P在x轴正半轴上，点N在第二象限当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；（3）若点Q的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，3），直接写出点P与点N的坐标；（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，）当点N在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M的坐标2在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在Q的内部（含角的边），这时我们把Q的最小角叫做该图形的视角如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称AOB为矩形ABCD的视角（1）如图1，矩形ABCD，A（，1），B（，1），C（，3），D（，3），直接写出视角AOB的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角AQB=60，求点Q的坐标；（3）如图2，P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且P的视角EQF的度数大于60，若Q（a，0），求a的取值范围3在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”（1）已知点P的坐标为（2，0）若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为，求n的值；（2）已知ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（，0）、（，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标（3）已知ABC三个顶点的坐标为：A（3，0）、B（，0），C（0，4），点P的坐标为（0，），点Q的坐标为（m，），若点P、Q的“相关圆”与ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围4在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1x2|，|x2x3|，|x3x1|中的最大值，称为ABC的横长，记作Dx；将|y1y2|，|y2y3|，|y3y1|中的最大值，称为ABC的纵长，记作Dy；将叫做ABC的纵横比，记作=例如：如图1，ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（1，2），则Dx=|2（1）|=3，Dy=|3（2）|=5，所以=（1）如图2，点A（1，0），点B（2，1），E（1，2），则AOB的纵横比1= AOE的纵横比2= ；点F在第四象限，若AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；点M是双曲线y=上一个动点，若AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3，点A（1，0），P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是P上一个动点，直接写出AON的纵横比的取值范围5在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于C及C外一点P，M，N是C上两点，当MPN最大时，称MPN为点P关于C的“视角”（1）如图，O的半径为1，已知点A（0，2），画出点A关于O的“视角”；若点P在直线x=2上，则点P关于O的最大“视角”的度数 ；在第一象限内有一点B（m，m），点B关于O的“视角”为60，求点B的坐标（2）若点P在直线y=x+2上，且点P关于O的“视角”大于60，求点P的横坐标xP的取值范围（3）C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，1），若线段EF上所有的点关于C的“视角”都小于120，直接写出点C的横坐标xC的取值范围6如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是 ；（2）已知点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；（3）已知M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4，1），求M的半径r的取值范围7（1）在图，中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），写出图，中的顶点C的坐标，它们分别是 ， ， ；（可用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）（2）在图中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f）（如图）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2（5c3）xc和三个点G（c，c），S（c，c），H（2c，0）（其中c0）问当c为何值时，该双曲线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标8如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果APB=45，则称点P为线段AB的“等角点”显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和C的半径；y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点P在y轴正半轴上运动时，APB是否有最大值？如果有，说明此时APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由9我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=Dd（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（1，0）的距离跨度 ；B（，）的距离跨度 ；C（3，2）的距离跨度 ；根据中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x0），E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到E的距离跨度为2，直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围 10在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah例如：三点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20（1）已知点A（1，2），B（3，1），P（0，t）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m0，n0若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围11在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y）的纵坐标满足y=，那么称点Q为点P的“关联点”（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；（2）如果点P在函数y=x2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x2的图象上，当0m2时，求线段MN的最大值12在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=（m0）和双曲线y=（n0），如果m=2n，则称双曲线y=（m0）和双曲线y=（n0）为“倍半双曲线”，双曲线y=（m0）是双曲线y=（n0）的“倍双曲线”，双曲线y=（n0）是双曲线y=（m0）的“半双曲线”，（1）请你写出双曲线y=的“倍双曲线”是 ；双曲线y=的“半双曲线”是 ；（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y=在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点B，求AOB的面积；（3）如图2，已知点M是双曲线y=（k0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y=的“半双曲线”于点P，若MNP的面积记为SMNP，且1SMNP2，求k的取值范围13在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形（1）已知A（2，3），B（5，0），C（t，2）当t=2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为 ；若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；（2）已知点D（1，1）E（m，n）是函数y=（x0）的图象上一点，P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出P的半径r的取值范围14在平面直角坐标系xOy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P（x，m）是图形G1上的任意一点，点Q（x，n）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：kx+b（k0）满足mkx+b且nkx+b，则称直线l：y=kx+b（k0）是图形G1与G2的“隔离直线”如图1，直线l：y=x4是函数y=（x0）的图象与正方形OABC的一条“隔离直线”（1）在直线y1=2x，y2=3x+1，y3=x+3中，是图1函数y=（x0）的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为 ；请你再写出一条符合题意的不同的“隔离直线”的表达式： ；（2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是（，1），O的半径为2是否存在EDF与O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M（1，t）是此正方形的中心若存在直线y=2x+b是函数y=x22x3（0x4）的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围15设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足rdR的点叫做等边三角形的中心关联点在平面直角坐标系xOy中，等边ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（，1），C（，1）（1）已知点D（2，2），E（，1），F（，1）在D，E，F中，是等边ABC的中心关联点的是 ；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使AMO=30若线段AM上存在等边ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y=1上一动点，Q的半径为当Q从点（4，1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒是否存在某一时刻t，使得Q上所有点都是等边ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由16在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点（1）如图1，点A（1，0）若点B是点A关于y轴，直线l1：x=2的二次对称点，则点B的坐标为 ；若点C（5，0）是点A关于y轴，直线l2：x=a的二次对称点，则a的值为 ；若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为 ；（2）如图2，O的半径为1若O上存在点M，使得点M是点M关于y轴，直线l4：x=b的二次对称点，且点M在射线y=x（x0）上，b的取值范围是 ；（3）E（t，0）是x轴上的动点，E的半径为2，若E上存在点N，使得点N是点N关于y轴，直线l5：y=x+1的二次对称点，且点N在y轴上，求t的取值范围17在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），（1）若b=3，则R（1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ；（2）若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；（3）B的半径为，点C的坐标为（2，4）若B上存在点M，在线段AC上存在点N，使点M，N的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围18给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值时，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值时，就称该最大值为两个图形G1和G2之间的“远距离”请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：在平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），B（4，3），C（4，3），D（4，3）（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，直接写出线段AB和线段CD的“近距离”和“远距离”（2）设直线y=（b0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“近距离”是1，求它们的“远距离”；（3）在平面直角坐标系xOy中，有一个矩形GHMN，若此矩形至少有一个顶点在以O为圆心，2为半径的圆上，其余各点可能在圆上或圆内将四边形ABCD绕着点O旋转一周，在旋转的过程中，它与矩形GHMN的“远距离”的最大值是 ；“近距离”的最小值是 19对于P及一个矩形给出如下定义：如果P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称P是该矩形的“等距圆”如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（，2），顶点C、D在x轴上，且OC=OD（1）当P的半径为4时，在P1（0，3），P2（2，3），P3（2，1）中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的是 ；如果点P在直线上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，求点P的坐标；（2）已知点P在y上，且P是矩形ABCD的“等距圆”，如果P与直线AD没有公共点，直接写出点P的纵坐标m的取值范围20在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点若|x1x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度lx=M；若|y1y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度ly=n如图1，图形W在x轴上的投影长度lx=|31|=2；在y轴上的投影长度ly=|40|=4（1）已知点A（3，3），B（4，1）如图2所示，若图形W为OAB，则lx ，ly （2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为OCD当lx=ly时，求点D的坐标（3）若图形W为函数y=x2（axb）的图象，其中0ab当该图形满足lx=ly1时，请直接写出a的取值范围21对于关于x的一次函数y=kx+b（k0），我们称函数ym=为它的m分函数（其中m为常数）例如，y=3x+2的4分函数为：当x4时，y4=3x+2；当x4时，y4=3x2（1）如果y=x+1的2分函数为y2，当x=4时，y2= ；当y2=3时，x= （2）如果y=x+1的1分函数为y1，求双曲线y=与y1的图象的交点坐标；（3）从下面两问中任选一问作答：设y=x+2的m分函数为ym，如果抛物线y=x2与ym的图象有且只有一个公共点，直接写出m的取值范围如果点A（0，t）到y=x+2的0分函数y0的图象的距离小于1，直接写出t的取值范围22如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，1）点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点（1）请判断P1（4，0），P2（3，0）是否为理想点；（2）若直线x=3上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线x=m（m0）上存在理想点，直接写出m的取值范围23在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当ab时，Q点坐标为（b，a）；当ab时，Q点坐标为（a，b）（1）求（2，3），（6，1）的变换点坐标；（2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；（3）若抛物线y=x2+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围24对于两个已知图形G1，G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小长度为G1，G2的“密距”，用字母d表示；当线段PQ的长度最大时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”，用字母f表示例如，当M（1，2），N（2，2）时，点O与线段MN的“密距”为，点O与线段MN的“疏距”为2（1）已知，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），点O与线段AB的“密距”为 ，“疏距”为 ；线段AB与COD的“密距”为 ，“疏距”为 ；（2）直线y=2x+b与x轴，y轴分别交于点E，F，以C（0，1）为圆心，1为半径作圆，当C与线段EF的“密距”0d1时，求C与线段EF的“疏距”f的取值范围25在平面直角坐标系xoy中，C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：如果点P为射线CP上一点，满足CPCP=r2，那么称点P为点P关于C的反演点，图1为点P及其关于C的反演点P的示意图（1）如图2，当O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于O的反演点M，N，T的坐标；（2）如图3：已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的G的与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点，如果点O，E关于G的反演点分别为O，E，求EOG的大小26设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，记作y=f（x）在函数y=f（x）中，当自变量x=a时，相应的函数值y可以表示为f（a）例如：函数f（x）=x22x3，当x=4时，f（4）=42243=5在平面直角坐标系xOy中，对于函数的零点给出如下定义：如果函数y=f（x）在axb的范围内对应的图象是一条连续不断的曲线，并且f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在axb的范围内有零点，即存在c（acb），使f（c）=0，则c叫做这个函数的零点，c也是方程f（x）=0在axb范围内的根例如：二次函数f（x）=x22x3的图象如图1所示观察可知：f（2）0，f（1）0，则f（2）f（1）0所以函数f（x）=x22x3在2x1范围内有零点由于f（1）=0，所以，1是f（x）=x22x3的零点，1也是方程x22x3=0的根（1）观察函数y1=f（x）的图象2，回答下列问题：f（a）f（b） 0（“”“”或“=”） 在axb范围内y1=f（x）的零点的个数是 （2）已知函数y2=f（x）=的零点为x1，x2，且x11x2求零点为x1，x2（用a表示）；在平面直角坐标xOy中，在x轴上A，B两点表示的数是零点x1，x2，点 P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边APM和等边BPN，记线段MN的中点为Q，若a是整数，求抛物线y2的表达式并直接写出线段PQ长的取值范围27定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）直接写出ABM的面积，其面积是 ；若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；以中的点M为圆心，以为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+PB的值最小，直接写出此最小值28在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点A，B，C的外延正方形，在点A，B，C所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点A，B，C的最佳外延正方形例如，图1中的正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3都是点A，B，C的外延正方形，正方形A3B3CD3是点A，B，C的最佳外延正方形（1）如图1，点A（1，0），B（2，4），C（0，t）（t为整数）如果t=3，则点A，B，C的最佳外延正方形的面积是 ；如果点A，B，C的最佳外延正方形的面积是25，且使点C在最佳外延正方形的一边上，请写出一个符合题意的t值 ；（2）如图3，已知点M（3，0），N（0，4），P（x，y）是抛物线y=x22x3上一点，求点M，N，P的最佳外延正方形的面积的最小值以及点P的横坐标x的取值范围；（3）如图4，已知点E（m，n）在函数y=（x0）的图象上，且点D的坐标为（1，1），设点O，D，E的最佳外延正方形的边长为a，请直接写出a的取值范围29对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1（1）分别判断函数y=x1，y=，y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y=2x2bx若其不变长度为零，求b的值；若1b3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y=x22x（xm）的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0q3，则m的取值范围为30如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点当axb时，有1y1y21成立，则称这两个函数在axb上是“相邻函数”，否则称它们在axb上是“非相邻函数”例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x1图象上的任一点，当3x1时，y1y2=（3x+1）（2x1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在3x1上的性质，得到该函数值的范围是1y1，所以1y1y21成立，因此这两个函数在3x1上是“相邻函数”（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在2x0上是否为“相邻函数”，并说明理由；（2）若函数y=x2x与y=xa在0x2上是“相邻函数”，求a的取值范围；（3）若函数y=与y=2x+4在1x2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值31P是O内一点，过点P作O的任意一条弦AB，我们把PAPB的值称为点P关于O的“幂值” （1）O的半径为5，OP=3如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于O的“幂值”为 ；判断当弦AB的位置改变时，点P关于O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于O的“幂值”的取值范围（2）若O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于O的“幂值”或“幂值”的取值范围 ；（3）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为4，若在直线y=x+b上存在点P，使得点P关于O的“幂值”为13，请写出b的取值范围 32在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形W1和W2，若在图形W1和W2上分别存在点M （x1，y1 ）和N （x2，y2 ），使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，并称点P为图形W1和W2的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足x=，y=（1）已知点A（0，1），B（4，1），C（3，1），D（3，2），连接AB，CD对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为 ；线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2，），求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R（2，0）和抛物线W1：y=x22x，对于抛物线W1上的每一个点M，在抛物线W2上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W2；（3）正方形EFGH的顶点分别是E（4，1），F（4，1），G（2，1），H（2，1），T的圆心为T（3，0），半径为1请在图2中画出由正方形EFGH和T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积33在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的限距点的定义如下：若P为直线PC与C的一个交点，满足rPP2r，则称P为点P关于C的限距点，如图为点P及其关于C的限距点P的示意图（1）当O的半径为1时分别判断点M（3，4），N（，0），T（1，）关于O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切O于点E，点F，点P在DEF的边上若点P关于O的限距点P存在，求点P的横坐标的取值范围；（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在DEF的边上沿EFDE的方向运动，C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答 问题1问题2 若点P关于C的限距点P存在，且P随点P的运动所形成的路径长为r，则r的最小值为 若点P关于C的限距点P不存在，则r的取值范围为 34阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC，连接AA，当点A落在AC上时，此题可解（如图2）（1）请你回答：AP的最大值是 （2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰RtABC边AB=4，P为ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路提示：要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法把ABP绕B点逆时针旋转60，得到ABP请画出旋转后的图形请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）35对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为C 的相邻点，直线l为C关于点P的相邻线（1）当O的半径为1时，分别判断在点D（，），E（0，），F（4，0）中，是O的相邻点有 ；请从中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；点P在直线y=x+3上，若点P为O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围2018年05月16日139*3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共35小题）1在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点P，Q为线段MN的三等分点，即MP=PQ=QN，将线段PM以点P为旋转中心顺时针旋转90得到PM，将线段QN以点Q为旋转中心顺时针旋转90得到QN，则称线段MN进行了三等分变换，其中M，N记为点M，N三等分变换后的对应点例如：如图2，线段MN，点M的坐标为（1，5），点N的坐标为（1，2），则点P的坐标为（1，4），点Q的坐标为（1，3），那么线段MN三等分变换后，可得：M的坐标为（2，4），点N的坐标为（0，3）（1）若点P的坐标为（2，0），点Q的坐标为（4，0），直接写出点M与点N的坐标；（2）若点Q的坐标是（0，），点P在x轴正半轴上，点N在第二象限当线段PQ的长度为符合条件的最小整数时，求OP的长；（3）若点Q的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，3），直接写出点P与点N的坐标；（4）点P是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个定点，点P的坐标为（，）当点N在圆O内部或圆上时，求线段PQ的取值范围及PQ取最大值时点M的坐标【解答】解：（1）PQ=2，根据“三等分变换”的定义，可知M（2，2 ），N（ 4，2 ）（2）当PQ=1时，OQ=在RTOPQ中，如图1中，OP=OQOQP=OPQ=45PQN=90PQ=Q N点N在x轴负半轴上，不在第二象限PQ=1不符合题意当PQ=2时OP=，此时，点N在第二象限符合题意（3）如图2中，由图象可知，P（0，3 ），N（ 0，3 ）（4）如图3中，过点P作PAx轴于点A在RtOAP中，由勾股定理，OP=1，在PQN中，PQN=90，PQ=Q N点N在O内部或在O上运动，当PN为O直径时，PN最大QPN=45PQ=PN=，PQ的取值范围：0PQ，P（，）由对称性可知N（，）过点N作NEx轴于点E，过点Q作QFx轴于点F易证ONEQOF，OF=EN=，FQ=OE=Q（，）NQP=QP M=90NQPM，又NQ=PM，四边形PNQM是平行四边形，对角线的交点为J，设M（m，n）则J（，），则有=，=，解得m=，n=，点M的坐标为（，）2在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在Q的内部（含角的边），这时我们把Q的最小角叫做该图形的视角如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称AOB为矩形ABCD的视角（1）如图1，矩形ABCD，A（，1），B（，1），C（，3），D（，3），直接写出视角AOB的度数；（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角AQB=60，求点Q的坐标；（3）如图2，P的半径为1，点P（1，），点Q在x轴上，且P的视角EQF的度数大于60，若Q（a，0），求a的取值范围【解答】解：（1）如图1中，设AB交y轴于EA（，1），B（，1），OEAB，EA=EB，OA=OB，在RtOAE中，tanOAE=，OAB=OBA=30，AOB=120（2）如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQAB=2，BC=2，AC=4，ACQ=60ACQ为等边三角形，即AQC=60，CQ=AC=4，Q（，1）（3）如图3中，当点Q与点O重合时，设P与y轴相切于点E，OF是P的切线，P（1，），PE=1，OE=，tanPOE=，POE=POF=30EQF=60，此时Q（0，0），如图4，根据对称性可知，当FQx轴时，EQF=60，Q（2，0），a的取值范围是0a23在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合，以点P为圆心作经过Q的圆，则称该圆为点P、Q的“相关圆”（1）已知点P的坐标为（2，0）若点Q的坐标为（0，1），求点P、Q的“相关圆”的面积；若点Q的坐标为（3，n），且点P、Q的“相关圆”的半径为，求n的值；（2）已知ABC为等边三角形，点A和点B的坐标分别为（，0）、（，0），点C在y轴正半轴上，若点P、Q的“相关圆”恰好是ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标（3）已知ABC三个顶点的坐标为：A（3，0）、B（，0），C（0，4），点P的坐标为（0，），点Q的坐标为（m，），若点P、Q的“相关圆”与ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围【解答】解：（1）PQ=，S=r2=5过点Q作QHx轴于HHQ=2，Q点坐标为（3，2）或（3，2）n=2或2（2）如图，在RtOAC中，ACO=30，OC=OA=3，C点坐标为（0，3），ABC的内切圆的圆心的坐标为（0，1），半径为1，P（0，1），设Q（x，2x），则有x2+（2x1）2=1，解得x=或0，Q（，）或（0，0）（3）如图3中，当相关圆与AC、AB相切时半径有最小值当相关圆经过点B时，半径有最大值，m，m4在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1x2|，|x2x3|，|x3x1|中的最大值，称为ABC的横长，记作Dx；将|y1y2|，|y2y3|，|y3y1|中的最大值，称为ABC的纵长，记作Dy；将叫做ABC的纵横比，记作=例如：如图1，ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（1，2），则Dx=|2（1）|=3，Dy=|3（2）|=5，所以=（1）如图2，点A（1，0），点B（2，1），E（1，2），则AOB的纵横比1=AOE的纵横比2=1；点F在第四象限，若AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；点M是双曲线y=上一个动点，若AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3，点A（1，0），P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是P上一个动点，直接写出AON的纵横比的取值范围【解答】解：（1）由题意AOB的纵横比1=，AOE的纵横比2=1，故答案为，1由点F在第四象限，若AOF的纵横比为1，则F（1，1）（在第四象限的角平分线上即可）如图设M（xM，yM）a、当0xM1时，点M在y=上，则yM0，此时AOM的横长Dx=1，AOM的纵长为Dy=yM，AOM的纵横比为1，Dy=1，yM=1或1（舍弃），xM=，M（，1）b、当xM1时，点M在y=上，则yM0，此时AOM的横长Dx=xM，AOM的纵长为Dy=yM，AOM的纵横比为1，Dy=Dx，xM=yMyM=（舍弃），c、当xM0时，点M在y=上，则yM0，此时AOM的横长Dx=1xM，AOM的纵长为Dy=yM，AOM的纵横比为1，1xM=yM，xM=或（舍弃），yM=，M（，），综上所述，点M坐标为（，1）或（，）（2）如图3中，当N（0，1+）时，可得AON的纵横比的最大值=1+，当AN与P相切时，切点在第二象限时，可得AON的纵横比的最小值，OP=，OA=1，PA=2AN=，tanAPN=，APN=60，易知APO=30，作NHOP于HHPN=30，NH=，PH=，此时AON的纵横比=，1+5在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于C及C外一点P，M，N是C上两点，当MPN最大时，称MPN为点P关于C的“视角”（1）如图，O的半径为1，已知点A（0，2），画出点A关于O的“视角”；若点P在直线x=2上，则点P关于O的最大“视角”的度数60；在第一象限内有一点B（m，m），点B关于O的“视角”为60，求点B的坐标（2）若点P在直线y=x+2上，且点P关于O的“视角”大于60，求点P的横坐标xP的取值范围（3）C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，1），若线段EF上所有的点关于C的“视角”都小于120，直接写出点C的横坐标xC的取值范围【解答】解：（1）画如图1所示，如图2，当MPN最大时，此时PM与PN与O相切，O的半径为r=1，sinMPO=，当OP最小时，此时sinMPO最大，即MPO最大，sinMPO=，MPO=30MPN=2MPO=60；故答案为：60点B关于O的视角为60，BM与O相切，且MBO=30，点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB=2，B（m，m） （m0），OB=m=2，m=B（，）；（2）如图3，点P关于O的“视角”大于60，MPO30，sinMPO=sin30，OP2，点P不在C上，1OP2点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，点P在直线y=x+2上，由图4，可得xp=0或xP=0xP（3）如图5，当点C在x轴正半轴时，在线段EF上取一点P，当PM，PN都与C相切时，MPN最大，当MPN=120时，连接CP，CPM=60，在RtPCM中，CM=1，sinCPM=，CP=，线段EF上所有的点关于C的“视角”都小于120，点P和原点O重合时，视角只要小于120时，即可，OP最大=CP=，此时，满足条件的xC当点C在x轴负半轴时，同可得，xC，即：满足条件的xC或xC6如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是点D和E；（2）已知点P（m，n）在反比例