专题：对勾函数

页眉 1 8 基本不等式与对勾函数基本不等式与对勾函数 一 一 对勾函数的图像与性质 b yax x 0 0 ba 性质 1 定义域 0 0 2 值域 2 2 abab 3 奇偶性 奇函数 函数图像整体呈两个 对勾 的形状 且函数图像关于原点呈中心 对称 即0 xfxf 4 图像在一 三象限 当时 由基本不等式知 当且仅当取等号 0 x b yax x ab2 b x a 即在 x 时 取最小值 xf a b ab2 由奇函数性质知 当 x 0 时 在 x 时 取最大值 xf a b ab2 5 单调性 增区间为 a b a b 减区间是 0 0 a b a b 页眉 2 8 一 对勾函数的变形形式 类型一 类型一 函数的图像与性质 b yax x 0 0 ba 此函数与对勾函数关于原点对称 故函数图像为 x b xay 性质 类型二 类型二 斜勾函数 b yax x 0 ab 作图如下0 0 ba 性质 作图如下 0 0 ba 页眉 3 8 类型三 类型三 函数 0 2 ac x cbxax xf 此类函数可变形为 则可由对勾函数上下平移得到b x c axxf xf x c axy 例例 1 1 作函数的草图 x xx xf 1 2 解 作图如下 1 1 1 2 x xxf x xx xf 类型四 类型四 函数 0 0 ka kx a xxf 此类函数可变形为 则可由对勾函数左右平移 k kx a kxxf xf x a xy 上下平移得到 例例 2 2 作函数的草图 2 1 x xxf 解 作图如下 2 2 1 2 2 1 x xxf x xxf 例例 3 3 作函数的作图 x x x xf 2 3 解 1 2 1 2 2 1 1 2 12 2 3 x xx x x x x xfx x x xf 练习练习 1 求函数在上的最低点坐标 42 1 x xxf 2 页眉 4 8 2 求函数的单调区间及对称中心 1 x x xxf 类型五 类型五 函数 0 0 2 ba bx ax xf 此类函数定义域为 且可变形为R x b x a x bx a xf 2 a 若 则的单调性和对勾函数的单调性相反 图像如下 0 a xf x b xy 性质 1 定义域 2 值域 2 1 2 1 b a b a 3 奇偶性 奇函数 函数图像整体呈两个倒着的 对勾 的形状 且函数图像关于原点呈 中心对称 即0 xfxf 4 图像在一 三象限 当时 由基本不等式知 当且仅当取等号 0 x b a x b x a xf 2 2 bx 即在时 取最大值 xfbx b a 2 由奇函数性质知 当 x 0 时 在 x 时 取最小值 xfb b a 2 5 单调性 减区间为 b b 页眉 5 8 增区间是 bb 例例 4 4 作函数的草图 1 2 x x xf 解 x x x x xf x x xf 1 1 1 1 1 22 b 若 作出函数图像 0 a 例例 5 5 作函数的草图 4 2 2 x x xf 类型六 类型六 函数 0 2 a mx cbxax xf 此类函数可变形为 0 2 ats mx t mxa mx tmxsmxa xf 则可由对勾函数左右平移 上下平移得到 xf x t axy 例例 6 6 说明函数由对勾函数如何变换而来 1 1 2 x xx xf x xy 1 解 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x x xx xf 故 此函数可由对勾函数向 填 左 右 平移 单 xf x xy 1 位 向 填 上 下 平移 单位 草图如下 页眉 6 8 练习练习 1 已知 求函数的最小值1 x 1 107 2 x xx xf 2 已知 求函数的最大值1 x 1 109 2 x xx xf 类型七 类型七 函数 0 2 a cbxax mx xf 例例 7 7 求函数在区间上的最大值 2 1 2 xx x xf 1 解 当时 1 x0 1 f 当时 1 x 3 1 4 1 1 1 4 1 3 1 1 4 1 3 1 1 22 x x x xxxx x xf 问问 若区间改为则的最大值为 4 xf 练习练习 1 求函数在区间上的最大值 2 32 2 2 xx xx xf 0 类型八 类型八 函数 ax bx xf 此类函数可变形为标准形式 0 ab ax ab ax ax abax xf 例例 8 8 求函数的最小值 1 3 x x xf 解 1 4 1 1 41 x x x x xf 页眉 7 8 练习练习 1 求函数的值域 1 5 x x xf 2 求函数的值域 3 2 x x xf 类型九 类型九 函数 0 2 2 a ax bx xf 此类函数可变形为标准形式 2 2 2 22 oab ax ab ax ax abax xf 例例 9 9 求函数的最小值 4 5 2 2 x x xf 解 4 5 2 2 x x xf 4 1 4 4 14 2 2 2 2 x x x x xf 练习练习 1 求函数的值域 17 1 2 2 x x xf 例例 1010 已知的最小值 2 2 1 0 xa a xa 求函数y 解 2 2 22 11xa xa xaxa y 令 t 则 2 xa ta 1 t t y 当即时 1a 1a 1 a a m i n y 当即时 单