圆锥曲线的综合问题师

圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 一一 知识清单知识清单 1 1 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时 通常将直线 l的方程 Ax By C 0 A B 不同时 为 0 代入圆锥曲线 C 的方程 F x y 0 消去 y 也可以消去 x 得到一个关于变量 x 或变 量 y 的一元方程 即Error 消去 y 后得 ax2 bx c 0 1 当 a 0 时 设一元二次方程 ax2 bx c 0 的判别式为 则 0 直线与圆锥曲线 相交 0 直线与圆锥曲线 C 相切 b 0 的左焦点为 F1 右焦点为 F2 离心率 e x2 a2 y2 b2 1 2 过 F1的直线交椭圆于 A B 两点 且 ABF2的周长为 8 1 求椭圆 E 的方程 2 设动直线 l y kx m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P 且与直线 x 4 相 交于点 Q 试探究 在坐标平面内是否存在定点 M 使得以 PQ 为直径的圆 恒过点 M 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 因为 AB AF2 BF2 8 即 AF1 F1B AF2 BF2 8 又 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 所以 4a 8 a 2 又因为 e 即 所以 c 1 所以 b 1 2 c a 1 2a2 c23 故椭圆 E 的方程是 1 x2 4 y2 3 2 由Error 得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P x0 y0 所以 m 0 且 0 即 64k2m2 4 4k2 3 4m2 12 0 化简得 4k2 m2 3 0 此时 x0 y0 kx0 m 4km 4k2 3 4k m 3 m 所以 P 由Error 得 Q 4 4k m 4k m 3 m 假设平面内存在定点 M 满足条件 由图形对称性知 点 M 必在 x 轴上 设 M x1 0 则 0 对满足 式的 m k 恒成立 MP MQ 因为 4 x1 4k m MP 4k m x1 3 m MQ 由 0 得 4x1 x 3 0 MP MQ 16k m 4kx1 m2 1 12k m 整理 得 4x1 4 x 4x1 3 0 k m2 1 由于 式对满足 式的 m k 恒成立 所以Error 解得 x1 1 故存在定点 M 1 0 使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M 练习练习 2 已知椭圆 1 a b 0 过点 A a 0 B 0 b 的直线倾斜角为 原 x2 a2 y2 b2 6 点到该直线的距离为 3 2 1 求椭圆的方程 2 斜率大于零的直线过 D 1 0 与椭圆交于 E F 两点 若 2D 求 ED F 直线 EF 的方程 3 是否存在实数 k 直线 y kx 2 交椭圆于 P Q 两点 以 PQ 为直径的圆 过点 D 1 0 若存在 求出 k 的值 若不存在 请说明理由 解 1 由 a b b a 3 3 1 2 1 2 3 2a2 b2 得 a b 1 所以椭圆方程是 y2 1 3 x2 3 2 设 EF x my 1 m 0 代入 y2 1 得 m2 3 y2 2my 2 0 x2 3 设 E x1 y1 F x2 y2 由 2 得 y1 2y2 ED DF 由 y1 y2 y2 y1y2 2y 2m m2 32 2 2 m2 3 得 2 m 1 m 1 舍去 2m m2 3 1 m2 3 故直线 EF 的方程为 x y 1 即 x y 1 0 3 将 y kx 2 代入 y2 1 得 3k2 1 x2 12kx 9 0 x2 3 记 P x1 y1 Q x2 y2 以 PQ 为直径的圆过 D 1 0 则 PD QD 即 x1 1 y1 x2 1 y2 x1 1 x2 1 y1y2 0 又 y1 kx1