上海市上海中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

1 上海市上海中学上海市上海中学 2018 20192018 2019 学年高一数学下学期期末考试试题 含解学年高一数学下学期期末考试试题 含解 析 析 一 选择题 一 选择题 1 1 lim 1 n n 答案 1 解析 分析 由即可求得 1 lim 0 x n 详解 11 lim 1 lim1 lim 1 0 1 xxx nn 点睛 利用和或差的极限等于极限的和或差 此题是一道基础题 2 已知等差数列则 1 3 21 2 n aad n 答案 10 解析 试题分析 根据公式 将代入 计算得 n 10 1 1 n aand 1 3 21 2 n aad 考点 等差数列的通项公式 3 数列中 已知 50 为第 项 n a 413 22 nn n ann 答案 4 解析 分析 方程变为 设 解关于的二次方程可求得 413 2 48 0 nn 2nx x 详解 则 即 413 22 nn n ann 50413 22 nn 413 2 48 0 nn 设 则 有或 2nx 2 13480 xx 16x 3x 2 取得 所以是第 4 项 16x 216 n 4n 点睛 发现 原方程可通过换元 变为关于的一个二次方程 对于指数结构 2 42 nn x 等 都可以通过换元变为二次形式研究 2 42 nn 2 93 nn 2 255 nn 4 为等比数列 若 则 n a 12341 26 52aaaaa n a 答案 1 2 3n 解析 分析 将这两式中的量全部用表示出来 正好有两个方程 两 12341 26 52aaaaa 1 a q 个未知数 解方程组即可求出 详解 相当于 123 26aaa 2 11 26aqq 相当于 41 52aa 32 11 1 1 1 52a qa qqq 上面两式相除得代入就得 12 q 3q 1 2a 1 2 3n n a a 点睛 基本量法是解决数列计算题最重要的方法 即将条件全部用首项和公比表示 列方 程 解方程即可求得 5 用数学归纳法证明 时 从 1221 321 n nnnnnnn 到 左边需增加的代数式是 k1k 答案 4 2k 解析 分析 写出时的表达式 然后写出时的表达式 由此判断出增加的代数式 nk 1nk 详解 当时 左边为 左边的固定 nk 12kkkk k 当时 左边为 1nk 1 112111kkkkkk 化简得 3 23122232 211kkkkkkkkkkkkk 故增加的项为 2 2142kk 点睛 本小题主要考查数学归纳法的概念以及运用 考查观察与思考的能力 考查化归与 转化的数学思想方法 属于基础题 6 数列满足 则等于 n a 121 1 3 2 1 2 nn aaana n 3 a 答案 15 解析 分析 先由 可求出 然后由 代入已知 121 1 3 2 1 2 nn aaana n 2n 递推公式即可求解 详解 1 1 12 21 32 1 3 2 2 2 3 1 21 515 nn nn aa a an aa ana a a 故答案为 15 点睛 本题考查是递推公式的应用 是一道基础题 7 数列满足 则 n x 1112 2 nnn xxxnnnxa xb 2019 x 答案 b a 解析 分析 根据题意可求得和的等式相加 求得 进而推出 21nnn xxx 11nnn xxx 21nn xx 判断出数列是以 6 为周期的数列 进而根据求出答案 63nnn xxx 20193 xx 详解 11 21 nnn nnn xxx xxx 将以上两式相加得 21nn xx 4 63nnn xxx 数列是以 6 为周期的数列 故 n x 2019321 xxxxba 点睛 对于递推式的使用 我们可以尝试让取或 又得一个递推式 将两个 n1n 1n 递推式相加或者相减来找规律 本题是一道中等难度题目 8 数列满足下列条件 且对于任意正整数 恒有 则 n a 1 1a n2nn aan 512 a 答案 512 解析 分析 直接由 可得 2nn aan 8878 512256256128128 2562 128222aaaaa 这样推下去 再带入等比数列的求和公式即可求得结论 详解 2nn aan 512256 8 256 8 128 78 128 128 1 9 256 2 1282 22 1222 1 2 1 1 2 512 aa a a a a 故选 c 点睛 利用递推式的特点 反复带入递推式进行计算 发现规律 求出结果 本题是一道 中等难度题目 9 数列定义为 则 n a 11 cos sincos 1 nn aaann 21n s 5 答案 2 sin 1 cosnnn 解析 分析 由已知得两式 相减可发现原数 112 sincos 1 sincos nnnn aanaan 列的奇数项和偶数项均为等差数列 分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和 再相加得 原数列前的和 21n 详解 1 12 sincos 1 sincos nn nn aan aan 两式相减得 2 s n i nn aa 数列的奇数项 偶数项分别成等差数列 12 sincosaa 21 sincossincoscossinaa 21 cos 1 sin n an 2 sin 1 sinsin n ann 数列的前 2n 项中所有奇数项的和为 1 cos sin 2 n n n 数列的前 2n 项中所有偶数项的和为 sin sin sin 22 nnnn 1 2121 1 sin cos sin 22 1 sin cos sincos sin 22 1 cos 1 sin nn n nnn sna n nnn nn nn n 1 1 点睛 对于递推式为 其特点是隔项相减为常数 这种数列要分类讨论 分偶 2 nn ada 数项和奇数项来研究 特别注意偶数项的首项为 而奇数项的首项为 2 a 1 a 10 已知数列是正项数列 是数列的前项和 且满足 若 n a n s n a n 11 2 nn n sa a 是数列的前项和 则 1 1 n n nn a b s s n t n b n99 t 6 答案 9 10 解析 分析 利用将变为 整理发 1nnn ass 11 2 nn n sa a 1 1 11 2 2 nnn nn sssn ss 现数列 为等差数列 求出 进一步可以求出 再将 代入 发现可以 2 n s 2 n s n a n a n s n b 裂项求的前 99 项和 n b 详解 11 2 nn n sa a 1 1 11 2 2 nnn nn sssn ss 1 1 1 2 nnn nn sss ss 22 22 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 nn nn nn n n ss ss ss ss s nnn n n 当时 符合 1n 1 1s n sn n ns 1 1 nnn assnn 2 n 当时 符合 1n 1 1a 1 n ann1 n ann 1 1 111 11 n n nn ann b s snnnn 9912399 1111111119 1 110102233499100 tbbbb 点睛 一般公式 的使用是将 变为 而本题是将变为 1nnn ass 1nn ss n a n a 1nn ss 给后面的整理带来方便 先求 再求 再求 一切都顺其自然 n s n a n b 7 11 一个三角形的三条边成等比数列 那么 公比q 的取值范围是 答案 5151 22 q 解析 详解 设三边按递增顺序排列为 其中 2 a aq aq0 1aq 则 即 解得 2 aaqaq 2 10qq 1515 22 q 由 q 1 知 q 的取值范围是 1 q 15 2 设三边按递减顺序排列为 其中 2 a aq aq0 01aq 则 即 2 aqaqa 2 10qq 解得 51 1 2 q 综上所述 1515 22 q 12 数列满足 当时 n a 12345 1 2 3 4 5aaaaa 5n 则是否存在不小于 2 的正整数 使 112 1 nn aaaa m 成立 若存在 则在横线处直接填写的值 若不存在 222 1212mm aaaaaa m 就填写 不存在 答案 70 解析 分析 构造数列 222 1212 nnn baaaaaa 两式与相 222 1212 nnn baaaaaa 222 1121121 nnn baaaaaa 减可得数列 为等差数列 求出 让 0 即可求出 n b n b n b m 8 详解 设 222 1212 nnn baaaaaa 222 1122111 nnn baaaaaa 两式相减得 2 1121 1 nnnnn bbaaaaa 又 112 1 nn aaaa 222 1 1 1 11 nnnnnnn bbaaaaa 数列从第 5 项开始为等差数列 由已知易得均不为 0 n b 1234 b b b b 5 25 1694 1 12065b 5 5 65570 n bndnnb 所以当 n 70 的时候成立 故答案填 70 222 1212mm aaaaaa 点睛 如果递推式中出现和的形式 比如 可以尝试退项相减 即让取 222 12n aaa n 后 两式作差 和的部分因为相减而抵消 剩下的就好算了 1n 二 选择题 二 选择题 13 已知等差数列的公差为 2 前项和为 且 则的值为 n a nn s 10 100s 7 a a 11b 12c 13d 14 答案 c 解析 分析 利用等差数列通项公式及前 n 项和公式 即可得到结果 详解 等差数列的公差为 2 且 n a 10 100s 101 10 9 102100 2 sa 1 1a 7 17 1213a 故选 c 9 点睛 本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式 考查计算能力 属于基础题 14 等比数列的前项和为 已知 则 n a nn s 321 10saa 5 9a 1 a a b c d 1 3 1 3 1 9 1 9 答案 c 解析 由题意可知 解得 12321 10aaaaa 31 9aa 2 9q 求得 故选 c 4 511 819aa qa 1 1 9 a 15 设等差数列的前n项和为 若 则 n a n s 11 2 0 3 mmm sss m a 3b 4c 5d 6 答案 c 解析 分析 由又 可得公差 0 m s 11 2 mmm aass 11 3 mmm ass 从而可得结果 1 1 mm daa 详解 是等差数列 n a 1 0 2 ms m m aa s 11 2 mmm aass 又 11 3 mmm ass 公差 1 1 mm daa 故选 c 11 325 m aammm 点睛 本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用 意在考查灵活应用所学知识 10 解答问题的能力 属于中档题 16 设 若 则数列是 0 2 11 sin sin 1 2 3 n x n xxn n x a 递增数列b 递减数列 c 奇数项递增 偶数项递减的数列d 偶数项递增 奇数项递减的数列 答案 c 解析 分析 根据题意 由三角函数的性质分析可得 进而可得函数为减函数 0sin1a sin xya 结合函数与数列的关系分析可得答案 详解 根据题意 则 指数函数为减函数 0 2 0sin1a sin xya 1sin0 sin sin sin 1 a aaa 即 1 1 0 sin 1 x xa 21 10 sin sin sin sin 1 xx aaaa 即 132 01xxx 321 10 sin sin sin sin sin 1 xxx aaaaa 即 1342 01xxxx 3241 10 sin sin sin sin sin sin 1 xxxx aaaaaa 即 13542 01 xxxxx 13578642 01xxxxxxxx 数列是奇数项递增 偶数项递减的数列 故选 c n x 点睛 本题涉及数列的函数特性 利用函数单调性 通过函数的大小 反推变量的大小 是一道中档题目 11 三 解答题 三 解答题 17 等差数列的前项和为 求数列前项和 n a n46 62 75 n sss n a n 答案 2 2 43 17 2 343 154 8 22 n nn n t nnn 解析 分析 由已知条件利用等差数列前项和公式求出公差和首项 由此能求出 且 n 323 n an 当时 当时 78 0 0aa 17n 2 433 2 nn nn ts 8n 2 343 154 22 n tnn 详解 46 62 75ss 1 1 4662 61575 ad ad 解得 1 3 20da 323 n an 设从第项开始大于零 1n 则 1 203 1 0 2030 n n an an 即 7n 78 0 0aa 当时 17n 2 433 2 nn nn ts 当时 8n 2 343 154 22 n tnn 综上有 2 2 43 17 2 343 154 8 22 n nn n t nnn 点睛 本题考查数列的前项和的求法 是中档题 注意等差数列的函数性质的运用 n 12 18 已知数列的前项和 n a n 2 21 n snnnn 1 求的通项公式 n a 2 若数列满足 求的前项和 结果需化 n b 133 loglog nn anbnn n b n n t 简 答案 1 2 0 1 23 2 n n a nn 3 8991 64 nn n n t 解析 分析 1 运用数列的递推式得时 时 化简计算可得所求 1n 11 as 2n 1nnn ass 通项公式 2 求得 运用数列的错位相减法求和 结合等比数列的求和公式 计算可得 21 3 n n bn 所求和 详解 1 可得 2 21 n snn 11 0as 时 2n 22 1 21 1 2 1 123 nnn assnnnnn 则 0 1 23 2 n n a nn 2 数列满足 n b 133 loglog nn anb 可得 即 33 21 loglog n nnb 21 3 n n bn 前项和 n 321 1 32 33 n n tn 3521 91 32 33 n n tn 两式相减可得 352121 833333 nn n tn 化简可得 3 8991 64 nn n n t 点睛 本题考查数列的递推式的运用 考查数列的错位相减法求和 以及等比数列的求和 公式 考查运算能力 属于中档题 13 19 某产品具有一定的时效性 在这个时效期内 由市场调查可知 在不做广告宣传且每件 获利 a 元的前提下 可卖出 b 件 若做广告宣传 广告费为 n 千元比广告费为千元时 1 n 多卖出件 2n b nn 1 试写出销售量与 n 的函数关系式 n s 2 当时 厂家应该生产多少件产品 做几千元的广告 才能获利最大 10 4000ab 答案 1 2 5 7875s 解析 试题分析 1 根据若做广告宣传 广告费为 n 千元比广告费为千元时多卖出件 可 1 n 2n b nn 得 利用叠加法可求得 12110 21 222 nn n bbb ssssss 2 根据题意在时 利润 可利用求最值 10 4000ab 试题解析 1 设表示广告费为 0 元时的销售量 由题意知 0 s 12110 21 222 nn n bbb ssssss 由叠加法可得 即为所求 1 12 1 1 12 2 1 2222 1 2 n n nn bbb sbbb 2 设当时 获利为元 10 4000ab n t 由题意知 1 10100040000 2 1000 2 nn n tsnn 14 欲使最大 则 易知 此时 n t 1 1 220 2 40 n nn n nn tt tt 5n 5 7875s 考点 叠加法求通项 求最值 20 设数列的前项和 已知 n a nn s 2 11 212 1 33 n n s aannnn n 1 求数列的通项公式 n a 2 是否对一切正整数 有 说明理由 n12 11151 31 n aaan 答案 1 2 对一切正整数 有 2 n an n12 11151 31 n aaan 解析 分析 1 运用数列的递推式 结合等差数列的定义和通项公式 可得所求 2 对一切正整数 n 有 12 11151 31 n aaan 考虑当时 再由裂项相消求和 即可得证 3n 22 111111 1211 n annnn 详解 1 2 1 212 33 n n s ann n 32 11 12 1 2 2 333 nnn n nn snannnna 当时 2n 1 1 1 2 1 3 nn nn n sna 两式做差得 11 222 1 1 nnnnn assnanan n 1 1 1 nn aa nn 11 n a nn n 当时 上式显然成立 2 2 n ann 1n 2 n an 15 2 证明 当时 3n 22 111111 1211 n annnn 可得 12 11111 111111115 1 11 1 42 24352113 21 n aaannnnnn 由 1 1111 111 0 211212 1 nnnnnn n 可得 1 111 211nnn 即有 5 1 11 3 21nn 51 31n 则当时 不等式成立 3n 检验时 不等式也成立 综上对一切正整数 n 有 1 2n 12 11151 31 n aaan 点睛 本题考查数列递推式 考查数列求和 考查裂项法的运用 确定数列的通项是关 键 21 设集合 其中 12 0 1 1 2 nni sx xxxin 2nnn 1 写出集合中的所有元素 2 s 2 设 证明 1212 nnn a aab bbs 的充要条件是 011011 1212 222222 nn nn aaabbb 1 2 ii ab in 3 设集合 设 12 0 1 1 2 ni sx xxxin 使得 1212 nn a aab bbs 且 12 12 111 222 n n aaaa 16 试判断 是 12 12 111 222 n n bbbb ab 1 2 ii ab i 的什么条件并说明理由