数学导数及其应用(1)

导数及其应用导数及其应用 第第 I 卷 选择题 卷 选择题 一 选择题一 选择题 1 已知函数 若存在唯一的零点 且 0 则的取值范围 f x 32 31axx f x 0 x 0 xa 为 2 2 1 1 ABCD 2 已知为常数 函数有两个极值点 则 a lnf xxxax 1212 x xxx A B 12 1 0 2 f xf x 12 1 0 2 f xf x C D 12 1 0 2 f xf x 12 1 0 2 f xf x 3 11 设函数 2 2 2 2 0 8 x ee f xx fxxf xfxf x x 满足则时 A 有极大值 无极小值 B 有极小值 无极大值 C 既有极大值又有极小值 D 既无极大值也无极小值 4 过点引直线 与曲线相交于 A B 两点 O 为坐标原点 当AOB 的 2 0 l 2 1yx 面积取最大值时 直线 的斜率等于 l A B C D 3 3 3 3 3 3 3 5 设函数的定义域为 R 是的极大值点 以下结论 xf 0 00 xx xf 一定正确的是 A B 是的极小值点 0 xfxfRx 0 x xf C 是的极小值点 D 是的极小值点 0 x xf 0 x xf 6 已知函数f x x3 ax2 bx c 下列结论中错误的是 A x R R f x 0 B 函数y f x 的图像是中心对称图形 C 若x 是f x 的极小值点 则f x 在区间 x 单调递减 D 若x0是f x 的极值点 则 0 0fx 7 函数的导函数为 对任意的都有成立 则 xf x f Rx 2xfxf A B 3ln2 2 2ln2 3ff 3ln2 2 2ln2 3ff C D 与的大小不确定 3ln2 2 2ln2 3ff 2ln2 3f 3ln2 2 f 8 已知函数的导函数为 满足 则等于 xf x f 3 2 2 xf xxf 2 f A B C D 8 12 812 9 定义在 R 上的函数满足 f 4 1 f x 为 f x 的导函数 f x 已知函数 y f x 的图象如图所示 若正数 a b 满足 f 2a b 0 讨论曲线 y f x 与曲线 公共点的个数 2 0 ymxm 设 a 1 0 x 0 fxf x 1 0 则在上是减函数 若 2 0 2xaa 0 fxf x 2 0 2aa 则在上是增函数 2 2 xaa 0 fxf x 2 2 aa II 由 I 知 当时 在是增函数 当时 2a f x 1 0 x 即 又由 I 知 当时 在上 00f xf 2 ln10 2 x xx x 3a f x 0 3 是减函数 当时 即 下面用数学归 0 3x 00f xf 3 ln103 3 x xx x 纳法证明 i 当时 由已知 故结论成立 23 22 n a nn 1n 1 2 1 3 a ii 假设当时结论成立 即 当时 nk 23 22 k a kk 即当时有 结论成立 根据 i ii 知对任何结论1nk 23 33 k a kk nN 都成立 37 1 当时 的定义域为b 2 x 2 xf x 2 12 1 2 令 解得 2 5211 221 222 21 21 2 x x fxxxx xx 0fx 当时 所以在上单调 12 x2 0 x 1 x2x 2 和0 0fx f x 1 2 2 0 递减 当时 所以在上单调递增 1 2 x 2 0fx f x 1 2 2 所以 当时 取得极小值 当时 取得极大值x2 f x 2 0f 1 x 2 f x 0 4f 2 在上单调递增且不恒等于 0 对 x恒成立 f x 1 0 3 0 fx 1 0 3 2 2 11523 21 22 21 21 2 xxbx fxxbxxbxb xx 2 5320 xbxx min 25 3 x b 1 25 251 3 339 x 1 9 b 38 1a 3 1 32 3 1 a1 3 4 1 8 1 4 32 32 1 1a 3 1 4 3 3 4 3 4 1 3 1 a1 3 3 3 1 06 21 1 32 1 3 4 1 1 a 3 1 2 3 1 a 3 1 1 3 11 3 8 3 4 1 3 4 1 a 3 1 2 4 2 3 1 32 1 a 3 1 1 37378059220140619 0 1 3 a 3 0 13 a 3 1 1 a 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 23 23 3 综上 时 当 时 当 所以 解得 令 由前知 时 当 由前知 时 当 时 当 由前知 时 当 由前知 时 当 下讨论如 递减 则 若 递增 则 若 aa aaamaM a a aaamaMafaM aaamaMafaM aaffafaf aafam fafxfxxxfxa fafxfxxxfax a amaMafamafaMxxxfa amaMafamafaMxxxfa qq xfxxfxxxf xfxxfxxxf xxxxf 2 0 3a 0 27 28 2 0 0 3a 0 27 28 3a 0 3a 27 28 a 2 3a 3a1 3 1 1 3 1 0 a 2 3a 0 3 2 23a 23a 3a a 2 3am a 2 3 3a1 3 1 4 2 0 3a 0 2 6a 3a 2 a 2 3a 3a 3 1 0 0 a2 6a a 2 3a 2 6a3a4 23a 23a 3a a 2 3am a 2 3 3a 3 1 1 3 0 3a 0 3a 0 3a 0 2 3a 23a 23a 3a 0 23a 2 3am a 2 3 3a1 2 2 6a 3a 26 3a 2 6a3a4 23a 23a 3a 263a42 3am a 2 3 3a1 1 373780592 23a 3a a 2 3a 3a 2 2 1 1 4 3 3 3 3 3 3 2 bb b b ba a aaMb aba b b ba aMb aba bbb aMb aba bab aMb aaba qqaMbmb bxfxbxf 44 45 解答 1 令得 当 2 1 2 x x fx e 0fx 1 2 x 所以当 1 0 2 xfx 函数单调递增 1 0 2 xfx 函数单调递减 时 函数取得最的最大值 1 2 x max 1 2 fxc e 2 由 1 知 f x 先增后减 即从负无穷增大到 然后递减到 c 而函数 lnx 是 1 2 c e 0 1 时由正无穷递减到 0 然后又逐渐增大 故令 f 1 0 得 所以当时 方程有两个根 2 1 c e 2 1 c e 当时 方程有一两个根 当时 方程有无两个根 2 1 c e 2 1 c e 46 解 1 由题意 对恒成立 1 f xxa x g xea 0f x 1 x 即对恒成立 在上有最小值 时 1 ax 1 x 1a g x 1 0a 恒成立 在无最值 时 由题意 0g x g x 1 0a ln1a ae 综上 的范围是 aae 2 在上是单调增函数 对恒成立 g x 1 0g x 1 x 即对恒成立 令 则 x ae 1 x 1 ae 0f x ln x a x 则有的零点个数即为与图像交点的个数 令 f xya ln x y x ln 0 x h xx x 则 易知在上单调递增 在上单调递减 2 1 ln x h x x h x 0 e e 在时取到最大值 当时 xe 1 0h e e 0 x ln x h x x 当时 图像如下 x ln 0 x h x x h x 所以由图可知 时 有 1 个零点 时 0a f x 1 0a e 有 2 个零点 时 有 1 个零点 综上所述 或时 有 1 f x 1 a e f x0a 1 a e f x 个零点时 有 2 个零点 1 0a e f x 47 函数 xx f xexRfxe 函数 设切点坐标为则 0 0 1 1kkx x 00 1 x kx 0 1 1 c kkx x 2 00 2 1 ln2xxek e 令 11 222 ababb ab a a f af bf bf aeeeeee e bababa 即 设有 2 f xmx 2 2 0 0 x x e emxxmx x 2 0 x e g xx x 所以 1 时 两曲线有 2 个交点 2 时 两曲 2 min 2 4 e g xg 2 4 e m 2 4 e m 线有 1 个交点 3 时 两曲线没有交点 2 4 e m 11 222 ababb ab a a f af bf bf aeeeeee e bababa 令上式 1 2 1 2 b ab a a baee e ba ab 0bat 令 则 2 1 2 1 2 2 22 ta at teee etet tt 2 2 t g ttet 恒成立而 3 10g tte 0 0g tg 0 2 a e t 2 2 0 2 a t e tet t 故 2 f af bf bf a ba 48 解 根据求导法则有 故 2ln2 10 xa fxx xx 于是 2ln20F xxfxxxax 22 10 x F xx xx 列表如下 x 0 2 2 2 F x 0 F x A 极小值 2 F A 故知在内是减函数 在内是增函数 所以 在处取得极小值 F x 0 2 2 2x 2 22ln22Fa 证明 由知 的极小值 于是由上表知 对0a F x 2 22ln220Fa 一切 恒有 从而当时 恒有 故 0 x 0F xxfx 0 x 0fx 在内单调增加 所以当时 即 f x 0 1x 1 0f xf 故当时 恒有 2 1 ln2 ln0 xxax 1x 2 ln2 ln1xxax 49 1 设直线与曲线相切于点yex 0 1 x f xaaa 00 xy 即 0 0 x ya 0 0 ln x fxaae 00 0 ln xx yaaa xx 000 0 lnln xxx yaaxx aaaex 4 分 0 0 1ln 0 x axa 0 1 log ln a xe a log ln ae aae ae 2 当时 恒成立0 x f xfxkx 即 恒成立 设函数 xx eekx xx h xeekx xx h xeek 得 1 当且时 0 0h 0 0h 2k 0 x 0k 0 0 0 xx eek 恒成立 即 恒成立 0h x 0 0 xx h xeekxh xx eekx 2 当且时 0 x 02k 2 1 xx xx x eke h xeek e 设 恒成立 恒成立 即 恒成立 2 1 xx xeke 2 40k 0 x 0h x 即 恒成立 0 0 xx h xeekxh xx eekx 50 I 的定义域为 1 分 xf 0 x axx ax x a xf 2 1 1 2 时 的增区间为 减区间为0 a xf 1 0 1 时 的增区间为 减区间为02 a xf 1 2 a 1 2 0 a 时 减区间为2 a xf 0 时 的增区间为 减区间为 II 由题意2 a xf 2 1 a 2 1 0 a G F E D A BC 又 1 2 21 0 21 22 222111 21 2 1 12 21 ln 1 ln 1 ln 2 PP f xf x fxk xx axxaxaxxax xx x a x xxa xx axx xx axx f 2 2 2 21 21 21 在上为减函数ax x a xf 1 2