《第24章圆》单元测试含答案解析

第 1 页 共 21 页 第第 2424 章章 圆圆 一 填空题一 填空题 1 已知点 O 为 ABC 的外心 若 A 80 则 BOC 的度数为 A 40 B 80 C 160 D 120 2 点 P 在 O 内 OP 2cm 若 O 的半径是 3cm 则过点 P 的最短弦的长度为 A 1cmB 2cmC cmD cm 3 已知 A 为 O 上的点 O 的半径为 1 该平面上另有一点 P 那么点 P 与 O 的位置 关系是 A 点 P 在 O 内 B 点 P 在 O 上 C 点 P 在 O 外 D 无法确定 4 如图 点 A B C D 为 O 上的四等分点 动点 P 从圆心 O 出发 沿 O C D O 的路线做匀 速运动 设运动的时间为 t 秒 APB 的度数为 y 则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当 的是 A B C D 5 在平面直角坐标系中 以点 2 3 为圆心 2 为半径的圆必定 A 与 x 轴相离 与 y 轴相切B 与 x 轴 y 轴都相离 C 与 x 轴相切 与 y 轴相离D 与 x 轴 y 轴都相切 6 如图 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30 切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D 若 O 的半径为 2 则 CD 的长为 A 2B 4C 2D 4 第 2 页 共 21 页 7 如图 PQR 是 O 的内接正三角形 四边形 ABCD 是 O 的内接正方形 BC QR 则 DOR 的度 数是 A 60B 65C 72D 75 8 如图 A B C D E 互相外离 它们的半径都是 1 顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE 则图中五个扇形 阴影部分 的面积是 A B 1 5 C 2 D 2 5 二 选择题二 选择题 9 如图 直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A B C 其中 B 点坐标为 4 4 则该圆弧所在 圆的圆心坐标为 10 如图 在 ABC 中 A 90 AB AC 2cm A 与 BC 相切于点 D 则 A 的半径长为 cm 第 3 页 共 21 页 11 善于归纳和总结的小明发现 数形结合 是初中数学的基本思想方法 被广泛地应用在数学 学习和解决问题中 用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系 往往会有新的发现 小 明在研究垂直于直径的弦的性质过程中 如图 直径 AB 弦 CD 于点 E 设 AE x BE y 用含 x y 的式子表示图中的弦 CD 的长度 通过比较运动的弦 CD 和与之垂直的直径 AB 的大小关系 发现了一个关于正数 x y 的不等式 你也能发现这个不等式吗 写出你发现的不等式 12 如图 AOB 30 OM 6 那么以 M 为圆心 4 为半径的圆与直 OA 的位置关系是 13 如图 ABC 内接于 O B OAC OA 8cm 则 AC cm 14 阅读下面材料 在数学课上 老师请同学思考如下问题 小亮的作法如下 老师说 小亮的作法正确 第 4 页 共 21 页 请你回答 小亮的作图依据是 三 解答题 三 解答题 7 7 8 87 7 8 8 15 已知 如图 在 ABC 中 AB AC 以 BC 为直径的半圆 O 与边 AB 相交于点 D 切线 DE AC 垂足为点 E 求证 1 ABC 是等边三角形 2 16 九章算术 是中国传统数学重要的著作 奠定了中国传统数学的基本框架 九章算术 中 记载 今有圆材 埋在壁中 不知大小 以锯锯之 深一寸 锯道长一尺 间径几何 如图 阅读完这段文字后 小智画出了一个圆柱截面示意图 如图 其中 BO CD 于点 A 求间径就 是要求 O 的直径 再次阅读后 发现 AB 寸 CD 寸 一尺等于十寸 通过运用有关知识即可解决这个问 题 请你补全题目条件 并帮助小智求出 O 的直径 17 如图 在 O 中 AB 是直径 CD 是弦 AB CD 1 P 是上一点 不与 C D 重合 求证 CPD COB 2 点 P 在劣弧 CD 上 不与 C D 重合 时 CP D 与 COB 有什么数量关系 请证明你的结 论 第 5 页 共 21 页 18 如图 已知 ABC 是等边三角形 以 AB 为直径作 O 交 BC 边于点 D 交 AC 边于点 F 作 DE AC 于点 E 1 求证 DE 是 O 的切线 2 若 ABC 的边长为 4 求 EF 的长度 第 6 页 共 21 页 第第 2424 章章 圆圆 北京市西城区重点中学 北京市西城区重点中学 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题一 填空题 1 已知点 O 为 ABC 的外心 若 A 80 则 BOC 的度数为 A 40 B 80 C 160 D 120 考点 三角形的外接圆与外心 分析 根据圆周角定理得 BOC 2 A 160 解答 解 点 O 为 ABC 的外心 A 80 BOC 2 A 160 故选 C 点评 熟练运用圆周角定理计算 即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半 2 点 P 在 O 内 OP 2cm 若 O 的半径是 3cm 则过点 P 的最短弦的长度为 A 1cmB 2cmC cmD cm 考点 垂径定理 勾股定理 专题 计算题 分析 过 P 作 AB OP 交圆与 A B 两点 连接 OA 故 AB 为最短弦长 再解 Rt OPA 即可求得 AB 的长度 即过点 P 的最短弦的长度 解答 解 过 P 作 AB OP 交圆与 A B 两点 连接 OA 如下图所示 故 AB 为最短弦长 由垂径定理可得 AP PB 已知 OA 3 OP 2 在 Rt OPA 中 由勾股定理可得 AP2 OA2 OP2 AP cm AB 2AP 2cm 第 7 页 共 21 页 故此题选 D 点评 本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用 3 已知 A 为 O 上的点 O 的半径为 1 该平面上另有一点 P 那么点 P 与 O 的位置 关系是 A 点 P 在 O 内 B 点 P 在 O 上 C 点 P 在 O 外 D 无法确定 考点 点与圆的位置关系 分析 根据题意可知点 P 可能在圆外也可能在圆上 也可能在圆内 所以无法确定 解答 解 PA O 的直径为 2 点 P 的位置有三种情况 在圆外 在圆上 在圆内 故选 D 点评 本题考查了圆的认识 做题时注意多种情况的考虑 4 如图 点 A B C D 为 O 上的四等分点 动点 P 从圆心 O 出发 沿 O C D O 的路线做匀 速运动 设运动的时间为 t 秒 APB 的度数为 y 则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当 的是 A B C D 考点 动点问题的函数图象 分析 根据题意 分 P 在 OC CD DO 之间 3 个阶段 分别分析变化的趋势 又由点 P 作匀速运 动 故 都是线段 分析选项可得答案 解答 解 根据题意 分 3 个阶段 第 8 页 共 21 页 P 在 OC 之间 APB 逐渐减小 到 C 点时 为 45 P 在 CD 之间 APB 保持 45 大小不变 P 在 DO 之间 APB 逐渐增大 到 O 点时 为 90 又由点 P 作匀速运动 故 都是线段 分析可得 B 符合 3 个阶段的描述 故选 B 点评 本题主要考查了函数图象与几何变换 解决此类问题 注意将过程分成几个阶段 依次分 析各个阶段得变化情况 进而综合可得整体得变化情况 5 在平面直角坐标系中 以点 2 3 为圆心 2 为半径的圆必定 A 与 x 轴相离 与 y 轴相切B 与 x 轴 y 轴都相离 C 与 x 轴相切 与 y 轴相离D 与 x 轴 y 轴都相切 考点 直线与圆的位置关系 坐标与图形性质 分析 本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比 大于半径的相离 等于半径的相切 解答 解 是以点 2 3 为圆心 2 为半径的圆 如图所示 这个圆与 y 轴相切 与 x 轴相离 故选 A 点评 直线与圆相切 直线到圆的距离等于半径 与圆相离 直线到圆的距离大于半径 6 如图 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30 切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D 若 O 的半径为 2 则 CD 的长为 第 9 页 共 21 页 A 2B 4C 2D 4 考点 切线的性质 专题 压轴题 分析 连接 OC BC AB 是直径 CD 是切线 先求得 OCD 90 再求 COB 2 A 60 利用三 角函数即可求得 CD 的值 解答 解 连接 OC BC AB 是直径 则 ACB 90 CD 是切线 OCD 90 A 30 COB 2 A 60 CD OC tan COD 2 故选 A 点评 本题利用了切线的性质 直径对的圆周角是直角求解 7 如图 PQR 是 O 的内接正三角形 四边形 ABCD 是 O 的内接正方形 BC QR 则 DOR 的度 数是 A 60B 65C 72D 75 考点 三角形的外接圆与外心 等边三角形的性质 正方形的性质 分析 根据等边三角形和正方形的性质 求得中心角 POR 和 POD 二者的差就是所求 第 10 页 共 21 页 解答 解 连结 OD 如图 PQR 是 O 的内接正三角形 PQ PR QR POR 360 120 四边形 ABCD 是 O 的内接正方形 AOD 90 DOP 90 45 AOQ POR DOP 75 故选 D 点评 本题考查了圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧 所对的圆心角的一半 也考查了垂径定理 8 如图 A B C D E 互相外离 它们的半径都是 1 顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE 则图中五个扇形 阴影部分 的面积是 A B 1 5 C 2 D 2 5 考点 扇形面积的计算 多边形内角与外角 专题 压轴题 分析 圆心角之和等于五边形的内角和 由于半径相同 那么根据扇形的面积 2 公式计算即可 第 11 页 共 21 页 解答 解 图中五个扇形 阴影部分 的面积是 1 5 故选 B 点评 解决本题的关键是把阴影部分当成一个扇形的面积来求 圆心角为五边形的内角和 二 选择题二 选择题 9 如图 直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A B C 其中 B 点坐标为 4 4 则该圆弧所在 圆的圆心坐标为 2 0 考点 确定圆的条件 坐标与图形性质 专题 网格型 分析 根据垂径定理的推论 弦的垂直平分线必过圆心 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线 交点 即为圆心 解答 解 根据垂径定理的推论 弦的垂直平分线必过圆心 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线 交点即为圆心 如图所示 则圆心是 2 0 故答案为 2 0 点评 能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置 10 如图 在 ABC 中 A 90 AB AC 2cm A 与 BC 相切于点 D 则 A 的半径长为 cm 第 12 页 共 21 页 考点 切线的性质 专题 压轴题 分析 连接 AD 则有 AD 是 ABC 的斜边上的高 可判定 ABC 是等腰直角三角形 所以 BC AB 2 利用点 D 是斜边的中点 可求 AD BC cm 解答 解 连接 AD A 90 AB AC 2cm ABC 是等腰直角三角形 BC AB 2 点 D 是斜边的中点 AD BC cm 点评 本题利用了切线的性质 等腰直角三角形的判定和性质求解 11 善于归纳和总结的小明发现 数形结合 是初中数学的基本思想方法 被广泛地应用在数学 学习和解决问题中 用数量关系描述图形性质和用图形性质描述数量关系 往往会有新的发现 小 明在研究垂直于直径的弦的性质过程中 如图 直径 AB 弦 CD 于点 E 设 AE x BE y 用含 x y 的式子表示图中的弦 CD 的长度 通过比较运动的弦 CD 和与之垂直的直径 AB 的大小关系 发现了一个关于正数 x y 的不等式 你也能发现这个不等式吗 写出你发现的不等式 第 13 页 共 21 页 考点 垂径定理的应用 专题 数形结合 分析 此题中隐含的不等关系 直径是圆中最长的弦 所以 AB CD 首先可以表示出 AB x y 再根据相交弦定理的推论和垂径定理 得 CD 2CE 2 解答 解 直径 AB 弦 CD 于点 E CE DE 根据相交弦定理的推论 得 CE2 AE BE 则 CE CD 2CE 2 又 AB x y 且 AB CD x y 2 点评 本题考查 直径是圆中最长的弦 相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用 12 如图 AOB 30 OM 6 那么以 M 为圆心 4 为半径的圆与直 OA 的位置关系是 相交 考点 直线与圆的位置关系 分析 利用直线 l 和 O 相切 d r 进而判断得出即可 解答 解 过点 M 作 MD AO 于点 D AOB 30 OM 6 MD 3 MD r 以点 m 为圆心 半径为 34 的圆与 OA 的位置关系是 相交 故答案为 相交 点评 此题主要考查了直线与圆的位置 正确掌握直线与圆相切时 d 与 r 的关系是解题关键 13 如图 ABC 内接于 O B OAC OA 8cm 则 AC 8 cm 第 14 页 共 21 页 考点 圆周角定理 专题 压轴题 分析 结合等腰三角形的性质 圆周角定理 三角形的内角和定理求得三角形 AOC 是等腰直角三 角形 再根据勾股定理即可求解 解答 解 连接 OC OA OC OAC OCA 又 B OAC AOC AOC 90 AC OA 8cm 点评 此题综合运用了等腰三角形的性质 圆周角定理 三角形的内角和定理以及勾股定理 14 阅读下面材料 在数学课上 老师请同学思考如下问题 小亮的作法如下 第 15 页 共 21 页 老师说 小亮的作法正确 请你回答 小亮的作图依据是 垂径定理 考点 垂径定理的应用 作图 复杂作图 分析 利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可 解答 解 根据小亮作图的过程得到 小亮的作图依据是垂径定理 故答案是 垂径定理 点评 此题主要考查了复杂作图以及垂径定理 熟练利用垂径定理的性质是解题关键 三 解答题 三 解答题 7 7 8 87 7 8 8 15 已知 如图 在 ABC 中 AB AC 以 BC 为直径的半圆 O 与边 AB 相交于点 D 切线 DE AC 垂足为点 E 求证 1 ABC 是等边三角形 2 考点 等边三角形的判定 圆周角定理 专题 证明题 分析 1 连接 OD 根据切线的性质得到 OD DE 从而得到平行线 得到 ODB A ODB B 则 A B 得到 AC BC 从而证明该三角形是等边三角形 2 再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质 推出 30 的直角三角形 根据 30 所对的直角 边是斜边的一半即可证明 第 16 页 共 21 页 解答 证明 1 连接 OD 得 OD AC BDO A 又 OB OD OBD ODB OBD A BC AC 又 AB AC ABC 是等边三角形 2 如上图 连接 CD 则 CD AB D 是 AB 中点 AE AD AB EC 3AE AE CE 点评 本题中作好辅助线是解题的关键 连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一 另外 还要掌握等边三角形的判定和性质以及 30 的直角三角形的性质 第 17 页 共 21 页 16 九章算术 是中国传统数学重要的著作 奠定了中国传统数学的基本框架 九章算术 中 记载 今有圆材 埋在壁中 不知大小 以锯锯之 深一寸 锯道长一尺 间径几何 如图 阅读完这段文字后 小智画出了一个圆柱截面示意图 如图 其中 BO CD 于点 A 求间径就 是要求 O 的直径 再次阅读后 发现 AB 1 寸 CD 10 寸 一尺等于十寸 通过运用有关知识即可解决这个 问题 请你补全题目条件 并帮助小智求出 O 的直径 考点 垂径定理的应用 勾股定理 分析 根据题意容易得出 AB 和 CD 的长 连接 OB 设半径 CO OB x 寸 先根据垂径定理求出 CA 的长 再根据勾股定理求出 x 的值 即可得出直径 解答 解 根据题意得 AB 1 寸 CD 10 寸 故答案为 1 10 2 连接 CO 如图所示 BO CD 设 CO OB x 寸 则 AO x 1 寸 在 Rt CAO 中 CAO 90 AO2 CA2 CO2 x 1 2 52 x2 解得 x 13 O 的直径为 26 寸 第 18 页 共 21 页 点评 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用 根据题意作出辅助线 构造出直角三角形 运 用勾股定理得出方程是解答此题的关键 17 如图 在 O 中 AB 是直径 CD 是弦 AB CD 1 P 是上一点 不与 C D 重合 求证 CPD COB 2 点 P 在劣弧 CD 上 不与 C D 重合 时 CP D 与 COB 有什么数量关系 请证明你的结 论 考点 圆心角 弧 弦的关系 专题 几何综合题 分析 1 根据垂径定理知 弧 CD 2 弧 BC 由圆周角定理知 弧 BC 的度数等于 BOC 的度数 弧