必修五2.5：等比数列的前n项和（教案）冯钢

普通高中课程标准实验教科书人教普通高中课程标准实验教科书人教 A 版必修五第二章版必修五第二章 2 5 等比数列的前等比数列的前 n 项和 项和 1 1 教材分析 本节知识是必修 5 第二章第 5 节的学习内容 是在学习完等差数列前 n 项和的基础上再次 学习的一种求和的思想与方法 再者本节课的求和思想为一般的数列即形如由一个等差数 列与一个等比数列对应项相乘所构成的新数列的求和作了准备 教学目标 知识与技能 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路 会用等比数列的前 n 项和公 式解决有关等比数列的一些简单问题 过程与方法 经历等比数列前 n 项和的推导与灵活应用 总结数列的求和方法 并能在具 体的问题情境中发现等比关系建立数学模型 解决求和问题 情感态度与价值观 在应用数列知识解决问题的过程中 要勇于探索 积极进取 准确计 算 合作交流 激发学习数学的热情和刻苦求是的精神 教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点 灵活应用公式解决有关问题 学情分析 针对学生学习等差数列前 n 项和时的情况 一定在本节课的教学中加大思想 方法的教学力度 突破错位相减思想理解困难以及计算的准确性 引导学生完成基础知识 的掌握和基本技能的训练 教学过程 一 课题导入 复习旧知 等差 等比数列的定义 通项公式 基本性质 等差数学前项和公式的推导回顾 倒序相加法 n 创设情境 提出问题 课本 P55 国王赏麦的故事 二 讲授新课 分析问题 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列 我们可以得到一个等比数列 它的 首项是 1 公比是 2 求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比 数列的前 64 项的和 即求 26263 64 12222S 教学处理 和学生一起探讨和研究 观察数字特征 先由特殊的等比数列求和过渡到任意 的等比数列求和 提出错位相减法求和的思路和方法 注意 讲清错位的目的是什么 便于求和和实施求和 等比数列前 n 项和公式的推导方法一 错位相减法错位相减法 本节课重点 本节课重点 一般地 设等比数列的前 n 项和是 由 n a 1231nnn Saaaaa 1 1 n n aa q 得 221 11111 nn n Saa qa qa qa q 221 11111 nnn n qSa qa qa qa qa q 得 11 1 n n q Saa q 故可得到等比数列的前 n 项和公式 这里注意对公比的讨论 q 当时 或 1q 1 1 1 n n aq S q 1 1 n n aa q S q 当时 1q 1n Sna 公式的应用策略 当已知时用公式 当已知时 用公式 1 a q n 1 n a q a 教学拓展 由等比数列的特殊性得到的其它推导方法欣赏 公式的推导方法二 用比例的等比性质推导用比例的等比性质推导 由等比数列的定义 32 121 n n aaa q aaa 根据等比的性质 有 注意分母不为零时才可以这样做 231 121 nn nnn aaaSa q aaaSa 即 后面结论同上 1 11 1 n n n nn Sa qq Saa q Sa 公式的推导方法三 借助和式的代数特征进行恒等变形借助和式的代数特征进行恒等变形 1211211 nnnnn Saaaaq aaaaq Sa 故有 后面结论同上 11 1 n n q Saa q 解决问题 有了等比数列的前 n 项和公式 就可以解决刚才的问题 由可得 1 1 2 64aqn 6464 64 1 64 1 1 2 21 11 2 aq S q 64 21 这个数很大 超过了 19 1 84 10 国王不能实现他的诺言 三 公式应用 例 1 求等比数列的前 8 项的和 答案 1 1 1 2 4 8 255 256 例 2 已知等比数列中 求其前 8 项的和 n a 19 1 27 243 aa 答案 当时 当时 1 3 q 8 3280 81 S 1 3 q 8 1640 81 S 选题目的 直接应用公式 选择公式 熟悉公式 练一练 练一练 1 根据下列各题的条件 求相应的等比数列的前 n 项的和 n a n S 1 答案 1 3 2 6aqn 6 189S 2 答案 1 8 0 5 0 5 n aqa 31 2 n S 2 求等比数列从第五项到第十项的和 答案 1 2 4 104 1008SS 想一想 想一想 选题目的 逆向应用公式 在等比数列中 n a 1 求公比的值 答案 或 13 2 14 aS q2q 3q 2 求公比和 答案 14 1 216aa q 4 S 4 6 185qS 归纳 在五个元素中 知三求二 1 nn a q n a S 例 3 在 3 和 2187 之间插入若干个正数 使它们组成等比数列 且插入的这些正数的和 为 1089 求 插入的这些正数各是什么 选题目的 综合应用公式 注意观察项之间的关系灵活解题 解 设等比数列的公比为 插入 n 个数 则这些数为 3 3q 3q2 3qn q 这些正数的和为 1 3 1 33 10891089 11 nn qqqq qq 注意到 代入上式可得 1 32187 n q 3 5qn 插入的正数为 9 27 81 243 729 课堂探究 课堂探究 求和 2 1 0 n Sxxxx 注意 分类讨论 答案 1 1 1 1 1 1 n nx S x x x 四 反思总结 检测训练 课本 58 页练习 1 五 课堂小结 1 知识小结 本节课学习了哪些知识 等比数列求和公式 当时 1q 1n Sna 当时 或 1q 1 1 1 n n aq S q 1 1 n n aa q S q 2 学习小结 本节课用到和学习了哪些数学知识和数学方法 要注意哪些问题 课外拓展 分组求和 错位相减 课外拓展 分组求和 错位相减 求和 1 2 1 2 n aaan 2 21 123 n xxnx 六 作业布置 P61 习题 2 5A 组 1 2 3 七 教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案 学生预习本节内容 找出自己迷惑的地方 课堂上 师生主要