大学一年级高数期末考试题及答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 1 页 共 7 页 第一学期高等数学期末考试试卷答案第一学期高等数学期末考试试卷答案 一 计算题 本题满分一 计算题 本题满分 35 分 共有分 共有 5 道小题 每道小题道小题 每道小题 7 分 分 1 求极限 求极限 x x x x x 3 0 sin 2cos1 lim 解 解 3 0 3 0 3 0 1 2 cos1 lim 1 2 cos1 2 lim sin 2cos1 lim x x x x x x x x x x x x x x 2 0 3 0 2 cos1 ln 0 3 2 cos1 ln 0 2 cos1 ln lim 2 cos1 ln lim 2 cos1 ln 1 lim 1 lim x x x x x x x e x e xx x x x x x x 4 1 2cos1 sin lim 0 xx x x 2 设 设时 时 与与是等价无穷小 是等价无穷小 与与等价无穷小 求常数等价无穷小 求常数与与 0 x xf 2 2 x 3 0 x dttf k AxkA 解 解 由于当时 与等价无穷小 所以 而0 x 3 0 x dttf k Ax 1lim 3 0 0 k x x Ax dttf 1 0 1 3 2 3 2 0 1 32 3 2 3 2 3 0 1 32 3 0 0 0 6 1 lim 6 lim 3 1 2 2 lim 3 1 limlim 3 k x k x k x k x k x x AkxAkx xx Akx x x x xf Akx x xf Ax dttf 所以 因此 1 6 1 lim 1 0 k x Akx6 1 1 Ak 3 如果不定积分 如果不定积分中不含有对数函数 求常数中不含有对数函数 求常数与与应满足的条件 应满足的条件 dx xx baxx 2 2 2 11 ab 解 解 第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 2 页 共 7 页 将化为部分分式 有 2 2 2 11xx baxx 22 2 2 2 111 11 x DCx x B x A xx baxx 因此不定积分中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数 dx xx baxx 2 2 2 11 0 CA 即 2 2 2 2 22 2 2 2 11 11 11 11 xx xDxB x D x B xx baxx 所以 有 DBDxxDBxDxBbaxx 211 2 2 22 比较上式两端的系数 有 所以 得 DBbDaDB 2 11 b 5 计算定积分 计算定积分 2 5 0 2 1mindxx 解 解 121 122 2 1min x xx x 31 322 212 11 x xx xx x 所以 8 13 2212 1min 2 5 2 2 1 1 0 2 5 0 dxxdxxdxdxx 5 设曲线 设曲线的极坐标方程为的极坐标方程为 求曲线 求曲线的全长 的全长 C 3 sin3 ar C 解 解 曲线一周的定义域为 即 因此曲线的全长为 3 sin3 ar 3 0 30 C adadaadrrs 2 3 3 sin 3 cos 3 sin 3 sin 3 0 2 3 0 24262 3 0 22 第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 3 页 共 7 页 二 二 本题满分 本题满分 45 分 共有分 共有 5 道小题 每道小题道小题 每道小题 9 分 分 6 求出函数 求出函数的所有间断点 并指出这些间断点的类型 的所有间断点 并指出这些间断点的类型 n n x x xf 2 21 sin lim 解 解 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin 21 sin lim 2 x x x xx x x xf n n 因此与是函数的间断点 2 1 1 x 2 1 2 x xf 因此是函数的第一类 00limlim 2 1 2 1 xx xf 1sinlimlim 2 1 2 1 xxf xx 2 1 x xf 可去型间断点 因此是函数的第一类可去 1sinlimlim 2 1 2 1 xxf xx 00limlim 2 1 2 1 xx xf 2 1 x xf 型间断点 7 设 设是函数是函数在区间在区间上使用上使用 Lagrange 拉格朗日 中值定理中的 拉格朗日 中值定理中的 中值中值 xxfarcsin b 0 求极限 求极限 b b 0 lim 解 解 在区间上应用 Lagrange 中值定理 知存在 使得 xxfarcsin b 0 b 0 0 1 1 0arcsinarcsin 2 bb 所以 因此 2 2 arcsin 1 b b 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 arcsin arcsin lim arcsin 1 limlim bb bb b b b b bbb 令 则有btarcsin 第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 4 页 共 7 页 4 22 0 22 22 0 2 2 0 sin lim sin sin limlim t tt tt tt b ttb 3 1 2 2sin2 lim 6 12cos1 lim 6 1 12 2cos22 lim 4 2sin2 lim 0 2 0 2 0 3 0 t t t t t t t tt tttt 所以 3 1 lim 0 b b 8 设 设 求 求 x yy dyexf 1 0 2 1 0 dxxf 解 解 1 0 1 0 1 0 dxxf xxxfdxxf 在方程中 令 得 x yy dyexf 1 0 2 1 x 01 0 0 2 11 0 2 dyedyef yyyy 再在方程两端对求导 得 x yy dyexf 1 0 2 x 2 1 x exf 因此 1 0 1 0 1 0 1 0 dxxf xdxxf xxxfdxxf 1 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 1 222 eeedxxeedxxe xxx 9 研究方程 研究方程在区间在区间内实根的个数 内实根的个数 2 xaex 0 a 解 解 设函数 1 2 x eaxxf xxx exaxeaxaxexf 22 2 令 得函数的驻点 0 x f xf2 0 21 xx 由于 所以0 a 1limlim 2x xx eaxxf 11 2 lim1 2 lim1lim1limlim 2 2 x x x x x x x xx e a e x a e x aeaxxf 第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 5 页 共 7 页 因此 得函数的性态 xf x 0 0 2 0 2 2 x f 0 0 xf 1 14 2 ae 1 若 即时 函数在 内014 2 ae 4 2 e a 1 2 x eaxxf 0 2 0 2 各有一个零点 即方程在内有 3 个实根 2 xaex 若 即时 函数在 内各有一个014 2 ae 4 2 e a 1 2 x eaxxf 0 0 零点 即方程在内有 2 个实根 2 xaex 若 即时 函数在有一个零点 即方程014 2 ae 4 2 e a 1 2 x eaxxf 0 在内有 1 个实根 2 xaex 10 设函数 设函数可导 且满足可导 且满足 xf 1 xfxxf 00 f 试求函数试求函数的极值 的极值 xf 解 解 在方程中令 得 即 1 xfxxfxt 1 tfttf 1 xfxxf 在方程组中消去 得 xxfxf x xxf xxf xf 2 2 1x xx xf 积分 注意 得 即 00 f x dt t tt fxf 0 2 2 1 0 第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 6 页 共 7 页 xxxdt t tt xf x arctan1ln 2 1 1 2 0 2 2 由得函数的驻点 而 所以 2 2 1x xx xf xf1 0 21 xx 2 2 2 1 21 x xx xf 010 f 0 2 1 1 f 所以 是函数极小值 是函数极大值 00 f xf 4 2ln 2 1 11 f xf 三 应用题与证明题 本题满分三 应用题与证明题 本题满分 20 分 共有分 共有 2 道小题 每道小题道小题 每道小题 10 分 分 11 求曲线 求曲线的一条切线 使得该曲线与切线的一条切线 使得该曲线与切线 及直线及直线和和所围成的图形绕所围成的图形绕轴旋轴旋xy l0 x2 xx 转的旋转体的体积为最小 转的旋转体的体积为最小 解 解 设切点坐标为 由 可知曲线在处的切线方程为 tt t y 2 1 xy tt 或 tx t ty 2 1 tx t y 2 1 因此所求旋转体的体积为 t t dxxtx t V24 3 8 42 1 2 0 2 2 所以 得驻点 舍去 由于02 3 8 4 2 tdt dV 3 2 t 3 2 t 因而函数在处达到极小值 而且也是最小值 因此所求0 3 16 4 3 2 2 3 2 2 2 t t tdt Vd V 3 2 t 切线方程为 2 1 4 3 xy 12 设函数 设函数在闭区间在闭区间上连续 在开区间上连续 在开区间内可导 且内可导 且 xf 10 10 2 1 arctan 2 0 xdxe xf 01 f 第一学期高等数学期末考试试卷答案 第 7 页 共 7 页 证明 至少存在一点证明 至少存在一点 使得 使得 10 arctan1 1 2 f 解 解 因为在闭区间上连续 所以由积分中值定理 知存在 使得 xf 1 0 2 0 arctan 2 arctan 2 0 fxf exdxe 由于 所以 再由 得 2 1 arctan 2 0 xdxe xf 2 1 arctan 2 f e