高中数学一轮复习微专题第11季等比数列及数列综合：第8节数列综合问题

第第 8 节节 数列综合问题数列综合问题 基础知识基础知识 1 数列的前项和 n 12nn Saaa 2 数列的前项和和通项的关系 n an n S n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 规律技巧规律技巧 1 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题 与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题 对于这种问题 在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题 来解决 要掌握常见的解决不等式的方法 以便更好地解决问题 数列与不等式的结合 一般有两类题 一是利用基本不等式求解数列中的最值 二是与数 列中的求和问题相联系 证明不等式或求解参数的取值范围 此类问题通常是抓住数列通 项公式的特征 多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式 求解参数的取值 范围 以数列为背景的不等式恒成立问题 或不等式的证明问题 多与数列求和相联系 最后利 用函数的单调性求解 或利用放缩法证明 解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和 特别是既不是等差 等比数列 也不是等 差乘等比的数列求和 要利用不等式的放缩法 放缩为等比数列求和 错位相减法求和 裂项相消法求和 最终归结为有限项的数式大小比较 数列与不等式综合的问题是常见题型 常见的证明不等式的方法有 作差法 作商法 综合法 分析法 放缩法 2 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题 关键是充分利用解析几何的有 关性质 公式 建立数列的递推关系式 然后借助数列的知识加以解决 3 处理探索性问题的一般方法是 假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结 论成立 然后在这个前提下进行逻辑推理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯 定结论 其中反证法在解题中起着重要的作用 还可以根据已知条件建立恒等式 利用等 式恒成立的条件求解 4 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想 化归转化思想等数学思想以及特例分 析法 一般递推法 数列求和及求通项等方法来分析 解决问题 数列与解析几何的综合 问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分 先利用解析几何的知识以及数形结合得 到数列的通项公式 然后再利用数列知识和方法求解 5 数列是一种特殊的函数 故数列有着许多函数的性质 等差数列和等比数列是两种最基 本 最常见的数列 它们是研究数列性质的基础 它们与函数 方程 不等式 三角等内 容有着广泛的联系 等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用 随着高考对能 力要求的进一步增加 这一部分内容也将受到越来越多的关注 解决此类问题时要注意把握以下两点 数列与函数的综合问题 1 正确审题 深抠函数的性质与数列的定义 2 明确等差 等比数列的通项 求和公式的特征 典例讲解典例讲解 例 1 已知 an 是等差数列 满足 a1 3 a4 12 数列 bn 满足 b1 4 b4 20 且 bn an 为等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前 n 项和 例 2 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n N n2 n 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 2an 1 nan 求数列 bn 的前 2n 项和 例 3 已知数列 an 的前 n 项和 Sn n2 kn k N 且 Sn的最大值为 8 1 2 1 确定常数 k 求 an 2 求数列的前 n 项和 Tn 9 2an 2n 变式探究 已知数列 an 和 bn 满足 a1 1 a2 2 an 0 bn n N 且 bn 是以 q 为 anan 1 公比的等比数列 1 证明 an 2 anq2 2 若 cn a2n 1 2a2n 证明 数列 cn 是等比数列 3 求和 1 a1 1 a2 1 a3 1 a4 1 a2n 1 1 a2n 例 4 将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 记表中的第一列数 a1 a2 a4 a7 构成的数列为 bn b1 a1 1 Sn为数列 bn 的 前 n 项和 且满足 1 n 2 针对训练针对训练 1 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数 数列是等差数列 xfR n a 则的值 0 1007 a 20132012321 afafafafaf 恒为正数恒为负数 恒为 0 可正可负 A BCD 答案 A 2 已知 已知数列满足 且 2 3 0 3 1 x f xx x n a03 n anN 则 122010 670aaa 122010 f af af a A 有最大值 6030 B 有最小值 6030 C 有最大值 6027 D 有最小值 6027 答案 A 3 已知 其导函数为 设 123 2 f xxxxxnnnN fx 则数列自第 2 项到第项的和 2 0 n f a f n anS 答案 1 1 n 综合点评 这些题都是数列与函数综合问题 解决此类问题要抓住一个中心 函数 两 个密切联系 一是数列和函数之间的密切联系 数列的通项公式是数列问题的核心 函数 的解析式是研究函数问题的基础 二是方程 不等式与函数的联系 利用它们之间的对应 关系进行灵活的处理 4 已知数列 定直线 若 在直线上 则数 n a 324 90 lmxmym n n a 列的前 13 项和为 n a A 10 B 21 C 39 D 78 答案 C 5 已知数列满足 n a0 n a 1 1 3 a 11 22 nnnn aaaannN 1 求证 是等差数列 1 n a 2 证明 222 12 1 4 n aaa 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 解析 试题分析 1 证明数列为等差数列只需按数列定义证明即证 当时 2n 为常数即可 2 根据 1 可知数列的通项公式 可得到 由 1 11 nn aa 1 n a 1 21 n a n 利用裂项相消法证明 2 22 11 44 21 n a nn n 222 12 1 4 n aaa 练习巩固练习巩固 1 在数列中 若的前项和为 则项数为 n a 1 1 n a n n n an 2015 2016 n 答案 2015 2 数列满足 且 则数列的前 10 项和为 n a1 1 a1 1 naa nn Nn 1 n a 答案 20 11 3 已知数列 n a满足 则 11 1 2n nn aaan N 2015 S A B C D 2015 2 1 1009 2 3 1007 32 3 1008 2 3 答案 B 解析 试题分析 根据题意 由 得 两式相除得 2 2a 1 2n nn aa 1 21 2n nn aa 所以数列 n a的奇数项和偶数项分别成等比数列 而数列的前项中有 2 2 n n a a 2015 项奇数项和项偶数项 而且奇数项和偶数项所构成的数列分别是以和为首项 100810072 以为公比的等比数列 所以 故选 B 2 10081007 2015 1 22 1 2 1 21 2 S 1009 23 4 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个 现 在有一个这样的细菌和 100 个这样的病毒 假设病毒不繁殖 问细菌将病毒全部杀死至少 需要 A 6 秒钟 B 7 秒钟 C 8 秒钟 D 9 秒钟 答案 B 5 在数列中 已知 记为数列的前项和 则 n a 1 1a 1 1 1 n n a a n S n an 2015 S 答案 1006 6 两个正数 a b 的等差中项是 一个等比中项是 且 a b 则双曲线 1 5 26 x2 a2 y2 b2 的离心率 e 答案 13 3 解析 由题有 或 舍 e a b 5 ab 6 a 3 b 2 a 2 b 3 c a 32 22 3 13 3 7 在等比数列 an 中 前 n 项和为 Sn 若 Sm Sm 2 Sm 1成等差数列 则 am am 2 am 1成等差数列 1 写出这个命题的逆命题 2 判断逆命题是否为真 并给出证明 7 已知等差数列 an 满足 a3 a6 a1 a8 a1 a8 1 3 4 3 1 求数列 an 的通项公式 2 把数列 an 的第 1 项 第 4 项 第 7 项 第 3n 2 项 分别作为数列 bn 的 第 1 项 第 2 项 第 3 项 第 n 项 求数列 2bn 的前 n 项之和 3 设数列 cn 的通项为 cn n 2bn 试比较 n 1 n 2 cn n n 1 cn 2与 2n n 2 cn 1的大小 8 已知数列 an 满足 an 2an 1 2n 1 n 2 且 a4 81 1 求数列 an 的前三项 a1 a2 a3 2 求证 数列为等差数列 并求 an an 1 2n 9 已知二次函数 y f x 的图象经过坐标原点 其导函数为 f x 6x 2 数列 an 的 前 n 项和为 Sn 点 n Sn n N 均在函数 y f x 的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn Tn是数列 bn 的前 n 项和 求使得 Tn 对所有 n N 都成立的 3 anan 1 m 20 最小正整数 m 解析 1 设该二次函数 f x ax2 bx a 0 则 f x 2ax b 由于 f x 6x 2 得 a 3 b 2 所以 f x 3x2 2x 又点 n Sn n N 均在函数 y f x 的图象 上 所以 Sn 3n2 2n 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 当 n 1 时 a1 S1 3 12 2 6 1 5 所以 an 6n 5 n N 2 由 1 得知 bn 3 anan 1 3 6n 5 6 n 1 5 故 Tn bi 1 1 2 1 6n 5 1 6n 1 n i 1 1 2 1 7 1 7 1 13 1 6n 5 1 6n 1 1 2 1 1 6n 1 因此 要使 n N 成立的 m 必须且仅须满足 即 m 10 所以 1 2 1 1 6n 1 m 20 1 2 m 20 满足要求的最小正整数 m 为 10 10 各项均为正数的数列 an 中 设 Sn a1 a2 an Tn 且 1 a1 1 a2 1 an 2 Sn 1 Tn 2 n N 1 设 bn 2 Sn 证明数列 bn 是等比数列 2 设 cn nan 求集合 m k r cm cr 2ck m k r m k r N 1 2 11 设函数 f x sinxcosx cos x cosx x R 3 1 求 f x 的最小正周期 2 若函数 y f x 的图象向右平移 个单位后再向上平移个单位得到函数 y g x 的 4 3 2 图象 求 y g x 在上的最大值 0 4 12 某公司一下属企业从事某种高