从“乘以”到“乘”

从从 乘以乘以 到到 乘乘 江津区石蟆小学 唐海燕 在我们读书的年代 犹记得数学老师在讲授 乘法的初步认识 时 反复 强调了 乘以 和 乘 是两个不同的概念 练习中也多次出现区别这两个词 的习题 总是让人烦恼不已 在上个世纪 80 年代中期展开了一轮关于 乘法意 义 的讨论 当时的结论基本上是赞同不必区分被乘数和乘数 但这一说法并 未深入人心 在具体的课堂教学实践中 不少小学数学教师仍存在一些困惑 很多教师提出 由于 乘法意义 的改革使教学实践中产生了一些很难理解的 问题 例如 既然不再区分被乘数与乘数 也就不再区分相同加数与相同加数 的个数的位置 这样一来 8 2 或 2 8 都可以用来表示 8 个 2 那么 求几个相同加数的和的简便运算 该怎么理解呢 再如 3 2 3 根据一个 数乘分数的意义应该表示 3 的 2 3 是多少 但是根据整数乘法意义的延伸 是 否也可理解为 3 个 2 3 相加是多少呢 又如 路程 速度 时间 如果交换因数 的位置来列式 列出来的算式又该如何理解呢 纵观上述观点 部分教师认为 乘法意义应遵循老教材的说法 的一个重 要原因是对一些算式无法做出 合理 的解释 例如 8 2 到底表示 8 个 2 相乘 还是表示 2 个 8 相乘 3 2 3 是表示 3 的 2 3 是多少 还是也 可以表示 3 个 2 3 是多少 同学们去植树 每人植 2 棵 某班 50 人 共植 多少棵树 如果列式为 50 2 该如何理解等等 我认为出现这样的困惑很 大程度上与改革的进程和新课程理念的落实有一定关系 事实上 在 90 年代 就已确定不再强调被乘数与乘数的区分问题 新一轮课程改革更加明确了这一 思想 并将其写入了 义务教育数学课程标准 但是直到如今 很多地区的数 学教学仍将小数乘法的意义与分数乘法的意义作为一个学习的重点与难点来安 排 仍在强调 3 2 3 与 2 3 3 两个算式的不同意义 由于不了解新教材 的编写理念 市场上很多教辅资料仍有要求进行严格区分算式意义的习题 这 样一来 就与新教材的乘法意义发生了一定程度的冲突 面对这样一个 转型 阶段 我们更应深入地把握教材 深入地领会新课程理念 一 正确把握新课程关于 乘法意义 的相关规定 1 结合情境理解乘法意义 是新课程提出的新理念 在 数学课程标准 明确表示 结合具体情境 体会四则运算的意义 由此可见 单独追问一个算式表示的意义已成为历史 填空 3 2 3 表示 之类的题目将随着教材的更新而退出舞台 实际上 在一个具体的问题情境中 乘法算式所代表的意义一般可以认为是特定的 如 一根 3 米长的绳子 用去 2 3 用去多少米 不论你写成 3 2 3 还是写成 2 3 3 都可以理解为 3 米的 2 3 另外 数学课程标准 对学生 运算意义的理解和应用 的要求做了相 应的调整 只要能 运用数与计算的知识描述并解决实际问题 就已达到了学 习的要求 2 淡化乘法意义的教学 是教材改编中的指导思想之一 根据新课标关于乘法意义的改动 新教材对相关内容做出了合理的调整 乘法意义的教学呈淡化趋势 在五年级上册 小数乘法 部分 已找不到关于 小数乘法意义 的专门介绍 并且在相应的教师用书中强调了意义教学的淡 化与解决问题教学的重要性 在六年级上册 分数乘法 部分 也找不到关于 分数乘法的意义 的专门介绍 二 深入理解新课程关于乘法意义改动的必要性 1 新教材 乘法意义 更接近乘法的本质 更为科学 整数乘法的意义是 求几个相同加数的和的简便运算 这一本质在过去和 今天的教材中都是一样的 只是在形式上 新教材允许把 2 2 2 2 2 2 2 2 改写成 2 8 也可以改写成 8 2 反过来 也就是 说 2 8 可以表示 8 个 2 相加的和 也可以表示 2 个 8 相加的和 这可 以说是 乘法意义 的一次突破 使我们对 乘法意义 的认识更接近其本质 因为 2 8 可以表示两种意义 以前只有一种意义完全是人为规定的 实质上 乘法意义 具有阶段性与统一性 乘法意义 在不同阶段有不 同的含义 首先 几个 是 几倍 的特例 在整数乘法中 两者是等价的 这种思想可以让学生更容易认识 几倍 当得不到整数倍时 就出现了小数倍 这时的 几个 是 几倍 的一种特例 乘法意义也就开始了扩展 其次 一 个数的几分之几 也是 一个数的几倍 的特例 当不到 1 倍时 我们就习惯 于说 几分之几 而不说 几倍 再次 在学习了百分数后 几倍 和 几 分之几 都可以用百分数来表示 这样 乘法意义不同表述之间的统一性又一 次得到了体现 由此可见 乘法意义 具有阶段性 同时又有统一性 过去 我们的思想一直停留在一种不统一的状态 或人为分裂的状态 2 新教材 乘法意义 为学生学习更多的 有价值的数学 提供了支持 第一 它减轻了学生的操练性负担 如让学生算 5 个 3 是多少 过去 教师在审题阶段就要反复强调 3 是相同加数 5 是相同加数的个数 在列式时 还要强调谁做被乘数 谁做乘数 即使这样 还是避免不了学生列出过去被认 为是错误的 5 3 这样的算式 而新教材的改动 使教师从这样的枯燥反复的 教学中解放出来 学生也不必再为 谁在前 谁在后 而抓耳挠腮 从而有更 多的时间与精力投入到探究性的能发展思维的数学知识的学习当中去 学有价 值的数学 的新课程理念也在这里得到了落实 第二 它方便了学生对一些数学规律的探索 例如乘法交换律部分的编写 教材直接出示图片 让学生计算一共有多少个鸡蛋 由于乘法意义的变革 学 生 习以为常 地写出的 4 9 与 9 4 这两道算式 为学习乘法交换律的 引入创造了有利条件 然后让学生举出几个这样的例子 由于在二年级就已经 做过这样的练习 这种列式方法被学生熟练掌握 因此学生能在举例后说出 两个因数位置交换 积不变 这一规律 乘法交换律的学习自然水到渠成 第三 它拓展了学生的思维空间 如在三年级上学期 刚学多位数乘一位 数时 学生利用加法思考乘法算式的结果时 就多了一种思路可以选择 譬如 学习 2 10 的计算 按以前的要求 可以通过想 10 个 2 相加是多少 来求 得答案 而现在由于乘法意义的改动也可以通过思考 2 个 10 相加是多少 来 求得计算的结果 可以肯定的是 相比而言 探索 2 10 的计算结果 思考 2 个 10 相加是多少 比思考 10 个 2 相加是多少 更加方便 而且 学生在 思考 3 200 甚至更大的多位数乘一位数时 这种以前不敢使用的思考方法更 有优势 又如让学生计算 72 8 2 72 这种题型在过去是一个教学难点 因为理 解它必须用到 交换律 和 分配律 要不就会 拐不过弯来 今天的学生 却可以十分自然地选择适当的意义而想到 8 个 72 加上 2 个 72 不就是 10 个 72 啦 而这种如此简单的想法在过去会被认为是不合逻辑或不严密的 因此 新 教材 乘法意义 解放了学生的思想 开拓了学生的思维