高二数学椭圆知识点整理15798

第 1 讲 课题 椭圆 课 型 复习巩固复习巩固 上课时间 20132013 年年 1010 月月 3 3 日日 教学目标 1 了解圆锥曲线的来历 2 理解椭圆的定义 3 理解椭圆的两种标准方程 4 掌握椭圆离心率的计算方法 5 掌握有关椭圆的参数取值范围的问题 教学重点 椭圆方程 离心率 教学难点 与椭圆有关的参数取值问题 知识清单知识清单 一 椭圆的定义 1 椭圆的第一定义椭圆的第一定义 平面内与两定点的距离和等于常数 21 FF 大于 的点的轨迹叫做椭圆椭圆 a2 21F F 说明说明 两个定点叫做椭圆的焦点焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距 c2 2 椭圆的第二定义 平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数 当时 点的轨迹是椭圆 椭圆上一点到e10 e 焦点的距离可以转化为到准线的距离 二 椭圆的数学表达式 022 2121 FFaaPFPF 02 2 2121 FFaaPFPFPM 三 椭圆的标准方程 焦点在焦点在轴轴 x 01 2 2 2 2 ba b y a x 焦点在焦点在轴轴 y 01 2 2 2 2 ba b x a y 说明说明 是长半轴长 是短半轴长 焦点始终在长轴所在的数轴上 且满足ab 222 cba 四 二元二次方程表示椭圆的充要条件 方程方程表示椭圆的条件 表示椭圆的条件 BACBACByAx 均不为零 且 22 上式化为 所以 只有同号 且1 22 C By C Ax 1 22 B C y A C x CBA 时 方程表示椭圆 当时 椭圆的焦点在轴上 当BA B C A C x 时 椭圆的焦点在轴上 B C A C y 五 椭圆的几何性质 以为例 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 1 范围范围 由标准方程可知 椭圆上点的坐标都适合不等式 yx 即说明椭圆位于直线和所围成1 1 2 2 2 2 b y a x byax ax by 的矩形里 封闭曲线 该性质主要用于求最值 轨迹检验等问题 2 2 对称性对称性 关于原点 轴 轴对称 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是xy 椭圆的对称中心 3 3 顶点顶点 椭圆和它的对称轴的交点 有四个 0B 0B 0 0 2121 bbaAaA 4 4 长轴 短轴 长轴 短轴 叫椭圆的长轴 是长半轴长 叫 21A AaaAA 2 21 21B B 椭圆的短轴 是短半轴长 bbBB 2 21 5 5 离心率离心率 1 椭圆焦距与长轴的比 2 a c e 10 0 eca 即 这是椭圆的 22F OBRt 2 2 2 2 2 22 OFOBFB 222 cba 特征三角形 并且的值是椭圆的离心率 3 椭圆 22 cosBOF 的圆扁程度由离心率的大小确定 与焦点所在的坐标轴无关 当 接近于 1 时 越接近于 从而越小 椭圆越eca 22 cab 扁 当 接近于 0 时 越接近于 0 从而越大 ec 22 cab 椭圆越接近圆 当时 两焦点重合 图形是0 ebac 0 圆 6 通径通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦 通径长为 a b22 7 7 设为椭圆的两个焦点 为椭圆上一点 当三点不在 21 FF P 21 FFP 同一直线上时 构成了一个三角形 焦点三角形焦点三角形 依椭圆 21 FFP 的定义知 cFFaPFPF2 2 2121 例题选讲例题选讲 一 选择题 1 1 椭圆的离心率为 14 22 yx A B C D 2 3 4 3 2 2 3 2 2 2 设是椭圆上的点 若是椭圆的两个焦点 则p 22 1 2516 xy 12 FF 等于 12 PFPF A 4 B 5 C 8 D 10 3 3 若焦点在轴上的椭圆的离心率为 x1 2 22 m yx 2 1 则 m A B C D 3 2 3 3 8 3 2 4 4 已知 ABC的顶点B C在椭圆 y2 1 上 顶点A是椭圆的一个焦 x 3 点 且椭圆的另外一个焦点在BC边上 则 ABC的周长是 A 2 B 6 C 4 D 12 33 5 5 如图 直线过椭圆的左焦点022 yxl F1和 一个顶点 B 该椭圆的离心率为 A B C D 5 1 5 2 5 5 5 52 6 6 已知 F1 F2是椭圆的两个焦点 过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭 圆于 A B 两点 若 ABF2是正三角形 则这个椭圆的离心率是 A 3 2 B 3 3 C 2 2 D 2 3 7 7 已知以F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线 043 yx 有且仅有一个交点 则椭圆的长轴长为 A B C D 23627224 二 填空题 8 8 在中 若以为焦点的椭圆经过ABC 90A 3 tan 4 B AB 点 则该椭圆的离心率 Ce 9 9 已知椭圆中心在原点 一个焦点为 F 2 0 且长轴长是短3 轴长的 2 倍 则该椭圆的标准方程是 1010 在平面直角坐标系中 已知顶点和 顶点xOyABC 4 0 A 4 0 C 在椭圆上 则 B1 925 22 yxsinsin sin AC B 1111 椭圆长轴上一个顶点为A 以A为直角顶点作一个内接44 22 yx 于椭圆的等腰直角三角形 该三角形的面积是 三 解答题 1212 已知椭圆的一个焦点为 0 2 求的值 063 22 mymxm 1313 已知椭圆的中心在原点 且经过点 求椭圆 03 Pba3 的标准方程 1414 已知方程表示椭圆 求的取值范围 1 35 22 k y k x k 1515 已知表示焦点在轴上的椭圆 求1cossin 22 yx 0 y 的取值范围 16 16 求中心在原点 对称轴为坐标轴 且经过和两 2 3 A 1 32 B 点的椭圆方程 导数及其应用 知识点总结 一 导数的概念和几何意义 1 函数的平均变化率 函数在区间上的平均变化率为 f x 12 x x 21 21 f xf x xx 2 导数的定义 设函数在区间上有定义 若无限趋近 yf x a b 0 xa b x 于 0 时 比值无限趋近于一个常数A 则称函数在处可 00 f xxf xy xx f x 0 xx 导 并称该常数A为函数在处的导数 记作 函数在处的导 f x 0 xx 0 fx f x 0 xx 数的实质是在该点的瞬时变化率 3 求函数导数的基本步骤 1 求函数的增量 2 求平均 00 yf xxf x 变化率 3 取极限 当无限趋近与 0 时 无 00 f xxf x x x 00 f xxf x x 限趋近与一个常数A 则 0 fxA 4 导数的几何意义 函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率 由此 f x 0 xx yf x 00 xf x 可以利用导数求曲线的切线方程 具体求法分两步 1 求出在x0处的导数 即为曲线在点处的切线的斜率 yf x yf x 00 xf x 2 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 求得切线方程为 000 yyfxxx 当点不在上时 求经过点P的的切线方程 可设切点坐标 00 P xy yf x yf x 由切点坐标得到切线方程 再将P点的坐标代入确定切点 特别地 如果曲线在 yf x 点处的切线平行与y轴 这时导数不存在 根据切线定义 可得切线方程为 00 xf x 0 xx 5 导数的物理意义 质点做直线运动的位移S是时间t的函数 则表示瞬时速度 表 S t VS t av t 示瞬时加速度 二 导数的运算 1 常见函数的导数 1 k b为常数 2 C为常数 kxbk 0C 3 4 1x 2 2xx 5 6 32 3xx 2 11 x x 7 8 为常数 1 2 x x 1 x x 9 10 ln 0 1 xx aaa aa 11 log log 0 1 ln aa xeaa xxa 11 12 xx ee 1 ln x x 13 14 sin cosxx cos sinxx 2 函数的和 差 积 商的导数 1 2 C 为常数 f xg xfxg x Cf xCfx 3 4 f x g xfx g xf x g x 2 0 f xfx g xf x g x g x g x gx 3 简单复合函数的导数 若 则 即 yf uuaxb xux yyu xu yya 三 导数的应用 1 求函数的单调性 利用导数求函数单调性的基本方法 设函数在区间内可导 yf x a b 1 如果恒 则函数在区间上为增函数 0fx yf x a b 2 如果恒 则函数在区间上为减函数 0fx yf x a b 3 如果恒 则函数在区间上为常数函数 0fx yf x a b 利用导数求函数单调性的基本步骤 求函数的定义域 求导数 yf x fx 解不等式 解集在定义域内的不间断区间为增区间 解不等式 解 0fx 0fx 集在定义域内的不间断区间为减区间 反过来 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题 如确定参数的取值范围 设函数在区间内可导 yf x a b 1 如果函数在区间上为增函数 则 其中使的值不 yf x a b 0fx 0fx x 构成区间 2 如果函数在区间上为减函数 则 其中使的值不 yf x a b 0fx 0fx x 构成区间 3 如果函数在区间上为常数函数 则恒成立 yf x a b 0fx 2 求函数的极值 设函数在及其附近有定义 如果对附近的所有的点都有 yf x 0 x 0 x 或 则称是函数的极小值 或极大值 0 f xf x 0 f xf x 0 f x f x 可导函数的极值 可通过研究函数的单调性求得 基本步骤是 1 确定函数的定义域 2 求导数 3 求方程的全部实根 f x fx 0fx 顺次将定义域分成若干个小区间 并列表 x变化时 和值的 12n xxx fx f x 变化情况 x1 x 1 x 12 x x n x n x fx 正负 0 正负 0 正负 f x 单调性单调性单调性 4 检查的符号并由表格判断极值 fx 3 求函数的最大值与最小值 如果函数在定义域I内存在 使得对任意的 总有 则称 f x 0 xxI 0 f xf x 为函数在定义域上的最大值 函数在定义域内的极值不一定唯一 但在定义域内的 0 f x 最值是唯一的 求函数在区间上的最大值和最小值的步骤 f x a b 1 求在区间上的极值 f x a b 2 将第一步中求得的极值与比较 得到在区间上的最大值与最 f af b f x a b 小值 4 解决不等式的有关问题 1 不等式恒成立问题 绝对不等式问题 可考虑值域 的值域是时 不等式恒成立的充要条件是 即 f x xA a b 0f x max 0f x 不等式恒成立的充要条件是 即