数学思想方法

数学思想方法 初中数学新课程标准 在基本理念的第二条中提到 数学是人们生活 劳动和学 习必不可少的工具 能够帮助人们处理数据 进行计算 推理和证明 数学模型可以有效 地描述自然现象和社会现象 数学为其他科学提供了语言 思想和方法 是一切重大技术 发展的基础 这里出现了 思想 方法 并且是 一切重大技术发展的基础 可见 数 学思想方法的重要性 它是一切重大技术发展的基础 因此 新课标 在第二部分课程目 标中明确提出 通过义务教育阶段的数学学习 学生能够 获得适应未来社会生活和进一 步发展所必需的重要数学知识 包括数学事实 数学活动经验 以及基本的数学思想方法 和必要的应用技能 即在初中让学生获得 基本的数学思想方法 是初中数学教学目标之 一 一 数学思想方法在初中数学中的地位和作用一 数学思想方法在初中数学中的地位和作用 数学思想方法在数学知识体系和数学教学中有着十分重要的作用 一 数学思想方法是教材体系的灵魂 从教材的构成体系来看 整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统 的两条线 一条是由具体的知识点构成的易于被发现的明线 它是构成数学教材的 骨架 另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的暗线 它是构成数学教材的 血脉 灵 魂 没有脱离数学知识的数学思想方法 也没有不包含数学思想方法的数学知识 有了数 学思想方法作灵魂 各种具体的数学知识点才不再成为孤立的 零散的东西 教师在教学 中如能抓住数学思想这一主线 便能提挈教材进行再创造 才能使教学见效快 收益大 二 数学思想方法是进行教学设计提高课堂质量的指导思想和保证 无论哪个层次上的教学设计 都必须依靠数学思想作为指导 有了深刻的数学思想作 指导 才能做出创新设计来 教学中教师只有达到一定的思想深度 才能保证准确辨别学 生提出的各种各样问题的症结 给出中肯的分析 恰当适时地运用类比联想 把抽象的问 题形象化 把复杂的问题简单化 敏锐地发现学生的思想火花 鼓励学生大胆地进行创造 把众多学生牢牢地吸引住 并能积极主动地参与到教学活动中来 真正成为教学过程的主 体 也才能使有一定思想的教学设计 真正变成高质量的数学教学活动过程 三 数学思想方法对学生认知的实现发挥着重要的作用 学习的认知结构理论告诉我们 数学学习过程 是一个数学认知过程 这个过程是通 过同化和顺应两种方式实现的 无论是同化还是顺应 都是在原数学认知结构和新的数学 内容之间 改造一方去适应另一方 这种加工要具有自觉的方向性和目的性 数学思想和 方法担当起了指导 加工 的重任 它不仅提供思想策略 设计思想 而且还提供实施目标 的具体手段 化归技能 实际上这种改造就是转换或化归 而转换或化归是数学思想方法 体系中的 主梁 和精髓 数学思想方法产于数学认知活动 又反回来对数学认知活动起重 要作用 因此可以说数学思想方法是数学认知结构中最积极最活跃的因素 是认知的实现 因素 1 掌握了数学思想方法能够使得数学知识更容易理解 心理学认为 由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识 因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系 这种学习便称为下位学 习 当学生掌握了一些数学思想和方法 再去学习相关的数学知识 就属于下位学习 了 下位学习所学知识 具有足够的稳定性 有利于牢固地固定新学习的意义 即可使新知 识能够顺利地纳入到学生已有的认知结构中去 学生学习了数学思想 方法就能够更好地 理解和掌握教学内容 例如 如果学生掌握了类比的思想方法 他在学习因式分解时 就 会将因式分解与因数分解作如下类比 从学习因式分解的目的性上类比 算术里学习分数时 为了约分与通分的需要 必须 学习把一个整数分解因数 类似地 代数里学完了整式四则运算就开始学习分式 为了约 分与通分也必须学会把一个多项式分解因式 由此更加激起学生的求知心理 从因式分解的形式上类比 把整数 33 因数分解是 3 11 类似地 整式 a2 b2是 a b 与 a b 乘积的结果 因而多项式 a2 b2因式分解为 a b a b 那么 a b 与 a b 都是 a2 b2的 因式 这样类比 不仅可领会因式分解的意义 而且为因式分解的方法指明了思路 从因式分解的结果上类比 算术里把一个整数分解为质因数幂的形式 如 24 23 3 类 似地 把一个多项式分解因式 要分解到每一个因式都不能再分解为止 即分解后的因式 必须是质因式 这样的类比 能使学生认识到因式分解是数到式的发展过程 是特殊与一般的思维体 现 由此产生对概念的迁移 正确辨别出数 式分解的相同点和不同点 从而能真正理解 因式分解 2 有利于数学知识的记忆 布鲁纳 1915 布鲁纳是美国心理学家和教育家 结构主义教育思想的代表人物 认为 除非把一件件事情放进构造得好的模型里面 否则很快就会忘记 学习基本原理的 目的 就在于保证记忆的丧失不是全部丧失 而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得 以把一件件事情重新构思起来 高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具 而且也是明 天用以回忆那个现象的工具 由此可见 数学思想方法作为数学学科的 一般原理 在数 学学习中是至关重要的 有人认为 对于中学生 不管他们将来从事什么业务工作 唯有深 深地铭刻于头脑中的数学的精神 数学的思维方法 研究方法 却随时随地发生作用 使 他们受益终身 3 有利于 原理和态度的迁移 曹才翰 我国著名的数学教育家 北京师范大学数学系教授 原北师大图书馆馆长曹 才翰先生因病于 1999 年 10 月 3 日病逝 享年 66 岁 教授认为 如果学生认知结构中具有 较高抽象 概括水平的观念 对于新学习是有利的 只有概括的 巩固的和清晰的知识才 能实现迁移 美国心理学家贾德通过实验证明 学习迁移的发生应有个先决条件 就是学 生需先掌握原理 形成类比 才能迁移到具体的类似学习中 学生学习数学思想方法有利 于实现学习迁移 特别是原理和态度的迁移 从而可以较快地提高学习质量和数学能 力 教学时学生在教师创设的与教材内容吻合的 新奇的 充满疑问和情趣的教学情境中 去发现 去体验 去领悟 实现知识的迁移 让学生的思维卷入知识再发现的过程 面对 疑问 困难 障碍 亲身经历探究知识的全过程 从而领悟数学思想方法 同时 又运用 掌握的数学思想方法促进数学问题的解决 获取新的知识 享受学习成功的乐趣 促进学 生知识 思想 方法 情感的和谐发展 二 数学思想和数学方法二 数学思想和数学方法 一 思想和数学思想 1 思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果 它是从大量的思维 活动中获得的产物 经过反复提炼和实践 如果一再被证明为正确 就可以反复被应用到 新的思维活动中 并产生出新的结果 本文所指的思想 都是那些颠扑不破 屡试不爽的 思维产物 因此 对于学习者来说 思想就成为他们进行思维活动的细胞和基础 思想和 下面述及的方法都是他们的思维活动的载体 2 所谓数学思想 是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中 经过思 维活动而产生的结果 它是对数学事实与数学理论的本质认识 首先 数学思想比一般说 的数学概念具有更高的抽象和概括水平 后者比前者更具体 更丰富 而前者比后者更本 质 更深刻 其次 数学思想 数学观点 数学方法三者密不可分 如果人们站在某个位 置 从某个角度并运用数学去观察和思考问题 那么数学思想也就成了一种观点 而对于 数学方法来说 思想是其相应的方法的精神实质和理论基础 方法则是实施有关思想的技 术手段 中学数学中出现的数学观点 例如方程观点 函数观点 统计观点 向量观点 几 何变换观点等 和各种数学方法 都体现着一定的数学思想 3 数学思想中的基本数学思想 在数学思想中 有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的 思维成果 这些思想可以称之为基本数学思想 基本数学思想含有传统数学思想的精华和 近现代数学思想的基本特征 并且也是历史地形成和发展着的 基本数学思想包括 符号与变元表示的思想 集合思想 对应思想 公理化与结构思 想 数形结合的思想 化归的思想 对立统一的思想 整体思想 函数与方程的思想 抽 样统计思想 极限思想 或说无限逼近思想 等 它有两大 基石 符号与变元表示的思 想和集合思想 又有两大 支柱 对应思想和公理化与结构思想 有些基本数学思想是 从 基石 和 支柱 衍生出来的 例如 函数与方程的思想 衍生于符号与变元表示的 思想 函数式或方程式 集合思想 函数的定义域或方程中字母的取值范围 和对应思想 函 数的对应法则或方程中已知数 未知数的值的对应关系 所以我们说基本数学思想是体现 或应该体现于 基础数学 而不是说 初等数学 的具有奠基性和总结性的思维成 果 基本数学思想及其衍生的数学思想 形成了一个结构性很强的网络 中学数学教育 教学中传授的数学思想 应该都是基本数学思想 二 方法和数学方法 1 所谓方法 是指人们为了达到某种目的而采取的手段 途径和行为方式中所包含的 可操作的规则或模式 人们通过长期的实践 发现了许多运用数学思想的手段 门路或程 序 同一手段 门路或程序被重复运用了多次 并且都达到了预期的目的 便成为数学方 法 2 所谓数学方法是指以数学为工具进行科学研究的方法 即用数学语言表达事物的状 态 关系和过程 经过推导 运算和分析 以形成解释 判断和预言的方法 数学方法具有以下三个基本特征 一是高度的抽象性和概括性 二是精确性 即逻辑 的严密性及结论的确定性 三是应用的普遍性和可操作性 数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用 一是提供简洁精确的形式化 语言 二是提供数量分析及计算的方法 三是提供逻辑推理的工具 现代科学技术特别是 电脑的发展 与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相成 3 基本数学方法 宏观的数学方法包括 模型方法 变换方法 对称方法 无穷小方法 公理化方法 结构方法 实验方法 微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类 1 逻辑学中的方法 例如分析法 包括逆证法 综合法 反证法 归纳法 穷举法 要 求分类讨论 等 这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则 又因运用于数学之中而具 有数学的特色 2 数学中的一般方法 例如建模法 消元法 降次法 代入法 图象法 也称坐标 法 代数中常用图象法 解析几何中常用坐标法 向量法 比较法 数学中主要是指比较 大小 这与逻辑学中的多方位比较不同 放缩法 同一法 数学归纳法 这与逻辑学中的 不完全归纳法不同 等 这些方法极为重要 应用也很广泛 3 数学中的特殊方法 例如配方法 待定系数法 加减法 公式法 换元法 也称之为 中间变量法 拆项补项法 含有添加辅助元素实现化归的数学思想 因式分解诸方法 以 及平行移动法 翻折法等 这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用 不可等闲视 之 三 数学思想方法 数学思想是人们对数学内容的本质认识 是对数学知识和数学方法的进一步抽象和概 括 属于对数学规律的理性认识的范畴 而数学方法则是解决数学问题的手段 具有 行为 规则 的意义和一定的可操作性 同一个数学成果 当用它去解决这个别问题时 就称之为 方法 当论及它在数学体系中的价值和意义时 就称之为思想 例如 极限 用它去求导 数 求积分时 人们就说极限方法 当我们讨论它的价值 即将变化过程趋势用数值加以 表示 使无限向有限转化时 人们就讲 极限思想 了 为了将这两重意思合在一起说 于 是也有 极限思想方法 数学思想方法 之类的提法 M 克莱因 M Klein 的巨著 古 今数学思想 其实说的都是 古今数学方法 只不过从数学史角度看 人们更加注重那些 数学大师们的思想贡献 文化价值 因而才称之为数学思想 又如大家熟悉的图象法也是 这个道理 总之 欲将数学思想与数学方法严格区分开来是困难的 因此 人们常常对这些两者 不加区分 而统称为数学思想方法 这样会显得更为方便 在大纲 教科书和实际教学中 有时把 思想方法 作为一个词语使用 为什么可以 这样做呢 这要看我们从哪个角度来分析 例如在解二元一次方程组时 我们常说要让学生 掌握 消元 的思想方法 事实上 当我们从 化未知为已知 的角度去分析此问题时 其思想属于 化归的思想 当我们从 化二元为一元 的角度去分析此问题时 其方法属 于 消元法 而当我们从 代入公式直接求解 的角度去分析此问题时 就出现了 行列 式法 其实也是 代入法 根据这样的认识 在不少场合下笼统使用 思想方法 一 词是合理的 但作为科学研究 必须把 思想 和 方法 分开予以界定 三 初中数学中的基本数学思想和方法三 初中数学中的基本数学思想和方法 一 初中数学中的基本数学思想 初中数学教学中应该向学生传授的基本数学思想 在程度上有 渗透 介绍 和 突出 之分 1 渗透 渗透 就是把某些抽象的数学思想逐渐 融进 具体的 实在的数学知识中 使学 生对这些思想有一些初步的感知或直觉 但还没有从理性上开始认识它们 要渗透的有集 合思想 对应思想 公理化与结构思想 抽样统计思想 极限思想等 前四种基本数学思 想从初中一年级就开始渗透了 并贯彻于整个中学阶段 极限思想从初中三年级的教科书 中安排类似于 关于圆周率 这样的阅读材料开始渗透 这种渗透是随年级逐步深入的 例如集合思想 初中是用文氏图或列举法来表示集合 不等式 组 的解集可以用数轴表示或用不等式 组 表示 高中则是列举法 描述法 文氏图 三者并举 并同时允许用不等式 组 区间或集合的描述法来表示实数集的某些子集 又 如对应思想 初中只用文字 数轴或平面直角坐标系来讲对应 高中则在此基础上引入了 使用符号语言的对应法则 至于公理化与结构思想 抽样统计思想和极限思想在初 高中 阶段的不同渗透水平 则是众所周知的 渗透 到一定程度 就是 介绍 的前奏了 2 介绍 介绍 就是把某些数学思想在适当时候明确 引进 到数学知识中 使学生对这些 思想有初步理解 这是理性认识的开始 要介绍的有符号与变元表示的思想 数形结合的 思想 化归的思想 函数与方程的思想 抽样统计思想 极限思想等 这种介绍也是随年 级逐步增加的 有的思想从初中一年级起就开始介绍 例如前五种基本数学思想 有的则 是先渗透后介绍 例如后一种基本数学思想 介绍 与 渗透 的基本区别在于 渗透 只要求学生知道有什么思想和是什么思想 而 介绍 则要求学生在此基础上进而知道为 什么叫做思想 含思想的要素和特征 用什么思想 含思想的用途 并学会运用 作为补充 也可以就问题适时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想 3 突出 突出 就是把某些数学思想经常性地予以强调 并通过大量的综合训练而达到灵活 运用 它是在介绍的基础上进行的 目的在于最大限度地发挥这些数学思想的功能 要突 出的有数形结合的思想 化归的思想 函数与方程的思想 整体思想 分类思想等 这些 基本数学思想贯穿于整个中学阶段 最重要 最常用 是中学数学的精髓 也最能长久保 存在人一生的记忆之中 介绍 与 突出 的基本区别在于 介绍 只要求学生知道用 什么和会用 而 突出 则要求学生在此基础上进而知道选用和善用 作为补充 也可以 就数学问题经常向学生突出分类思想的运用 二 初中数学中的基本方法 在传授基本数学方法方面 分为 了解 理解 掌握 和 灵活运用 这四个层 次 要求 了解 的方法有 分类法 类比法 反证法等 要求 理解 或 掌握 的方法有 待定系数法 消元法 降次法 配方法 换元法 图象法等 灵活运用 的方法有 数学 模型法 数形结合法 变换法 函数法和类分法等 三 从 方法 了解 思想 用 思想 指导 方法 一般讲 在初中数学中分析 处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下 运用 数学方法 通过一系列数学技能操作来完成的 许多数学思想和方法是一致的 两者之间很难分割 它们既相辅相成 又相互蕴 含 只是方法较具体 是实施有关思想的技术手段 而思想是属于数学观念一类的东西 比较抽象 因此 在初中数学学习中 加强对数学方法的理解和应用 以达到对数学思想 的了解 是使数学思想与方法得到交融的有效方法 比如 化归思想 可以说是贯穿于整 个初中阶段的数学学习中 具体表现为从未知到已知的转化 一般到特殊的转化 局部与 整体的转化 课本引入了许多数学方法 比如换元法 消元降次法 图象法 待定系数法 配方法等 四 几个重要的数学思想四 几个重要的数学思想 一 函数与方程的思想 方程和函数两大块是初中数学的重点内容 它们像一根主干贯穿于初中代数的始终 而体 现其基本观点和处理问题的基本方法和思想 则贯穿在整个数学教学之中 随着中考改革的深 入 突出方程和函数思想的考查 这是素质教育的必然要求 是从知识立意到能力立意的必然 结果 1 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构 造方程 通过解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解 决 方程的数学是对方程概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观 点观察处理问题 2 函数的思想 是用运动和变化的观点 集合与对应的思想 去分析和研究数学中的 数量关系 建立函数关系或构造函数 运用函数的图像和性质去分析问题 转化问题 从 而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用函数 知识或函数观点观察 分析和解决问题 3 函数与方程是两个不同的概念 但它们之间有着密切的联系 对于函数 y f x 当 y 0 时 就转化为方程 f x 0 也可以把函数式 y f x 看做二元方程 y f x 0 函 数问题 例如求反函数 求函数的值域等 可以转化为方程问题来求解 方程问题也可以 转化为函数问题来求解 如解方程 f x g x 就是求函数 y f x 和 y g x 的图象的交点 的橫坐标 例 1 已知 如图 在中 D 是 BC 的中点 垂足ABCRt 90CABDE 为 E AE 7 求的长 2 1 tan BDE 分析 思路一 因为已知 所以 可 2 1 tan B 在中求 但题中只告诉了一条边 无BDERt DE 法直接求出 DE 思路二 用方程的思想 建立关于的等式 DE 求出 DE 例 2 方程的正根的个数为 x xx 2 25 2 A 3 B 2 C 1 D 0 分析 思路一 方程思想 原方程可化为 0225 23 xxx 分解因式得 0 62 62 1 xxx 思路一是直接用化分为整来确定方程根的个数 超越了初中数学教材的范畴 就算学生自学掌握了高 次方程的解法 解选择题用这种方法费时也较多 思路二 函数思想 令 25 2 1 xxy 在同一坐标系中作出这两个函数的图像 x y 2 2 例 3 已知 且072634 zyxzyx 求的值 0 xyz yzx zyx 3 632 2 22 解 解方程组 得 072 0634 zyx zyx zy zx 2 3 所以 5 12 69 61218 3 632 22 222 2 222 zz zzz yzx zyx 在方程思想与函数思想中 学生自然而然要选择方程思想不用函数思想 一个很明显 的例子是 例 4 已知 求 6 0 13 12 3 sin cos BC A D E 345 A B CP 思路一 1cossin 13 12 cos 2 3 sin 2 1 22 思路二 3 cos cos 这种类型的题是三角函数部分一类非常重要的题型 多数学生常用思路一求解 但因 计算量大往往又不能算出最后答案 为什么学生不用很简单的思路二呢 原因很简单 学生 接触方程思想比函数思想早 方程的概念比函数的概念容易理解 所以 学生拿到题先想 到的是方程 二 数形结合思想 数形结合思想 就是用联系的观点 根据数的结构特征 构造出与之相适应的图形 并利用图形的性质和规律 解决 数 的问题 或将图形的部分信息或全部信息转换成 数 的信息 弱化或消除 形 的推理 从而将 形 的问题转化为数量关系来解决 数缺形 少 直观 形缺数 难入微 这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻 透彻的阐释 给 数 的问题以直观图形的描述 揭示出问题的几何特征 就能变抽象为直观 给 形 的问题以数的度量 分析数据之间的关系 更能从本质上深刻认识 形 的几何属性 在运用数形结合思想分析和解决问题时 要注意三点 第一要彻底明白一些概念和运 算的几何意义以及曲线的代数特征 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析 其代数意义 第二是恰当设参 合理用参 建立关系 由数思形 以形想数 做好数形转 化 第三是正确确定参数的取值范围 例 5 求的最小值 5 4 3 xxx 分析 由绝对值的几何意义可想到数形结合 思想 因此 由图可得 2 5 4 3 PCPBPAxxx 这种解法除蕴含着数形结合思想 由数想形 外 还蕴含着函数思想 运动观点 用 多媒体演示能很好的体现这种函数思想 例 6 求代数式的最小值 9 12 4 22 aa 分析 由式子结构特点可联想到勾股定理 因此 可构造三角形加以解决 例 7 比较与的大小 13105 26 分析 由联想到正方形的对角线长 因而可构造正方形加以解决 2 三 整体思想 所谓整体思想 指注重对对象的整体把握的思维倾向 即从整体的角度去思考问题 寻找简捷的解题思路 它是求解数学题的一种重要方法 灵活使用它可使疑难问题迎刃而 解 繁琐问题变得简单 例 8 已知 求的值 13 x 12 423 2 2 xx xx 分析 直接把代入式子求值 运算量很大 很繁杂 若能联想到13 x 是一个二次方程的根 则有 因此用整体思想整体代入 原式 13 x22 2 xx 1 12 223 1 2 2 23 2 2 xx xx 例 9 如图 P 为 O 外一点 PA 与 PB 切 O 于 A B 点 PB 8cm EF 切 O 于 C 点 交 PA PB 于 E F 点 则 EFP 的周长等于 上海中考题 分析 由切线长定理可得 E E F F 而 F 的周长 E E F F E E F F 整体求出 故 的周长 cm 例 10 如图 在高 2 米 坡角为 30o的楼梯表面铺 地毯 则地毯长度至少需 米 分析 若直接求很复杂 不易解答 但若用整体思想 很容易求得地毯长度至少需 米 5 5322 整体思想在初中代数中应用广泛 希望老师们加强这方面的训练 四 转化思想 所谓转化思想是指在求解数学问题时 如果对当前的问题感到生疏 困惑 可以把它 进行变换 使之化繁为简 化难为易 化生疏为熟悉 从而使问题得以解决的思维方 法 即通过不断的转化 把不熟悉 不规范 复杂的问题转化为熟悉 规范 简单的问题 来解决 这种思想是科学研究和数学学习中常用的一种基本数学思想方法 著名的数学家 莫斯科大学教授 C A 雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发 表 什么叫解题 的演讲时提出 解题就是把要解题转化为已经解过的题 数学的解题 过程 就是从未知向已知 从复杂到简单的化归转换过程 转化有等价转化与非等价转化 等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的 才 保证转化后的结果仍为原问题的结果 非等价转化其过程是充分或必要的 要对结论进行 必要的修正 如无理方程化有理方程要求验根 它能给人带来思维的闪光点 找到解决问 题的突破口 我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求 实施等价转 化时确保其等价性 保证逻辑上的正确 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性 在应用等价转化的思想方法去解决 数学问题时 没有一个统一的模式去进行 它可以在数与数 形与形 数与形之间进行转 换 它可以在宏观上进行等价转化 如在分析和解决实际问题的过程中 普通语言向数学 语言的翻译 它可以在符号系统内部实施转换 即所说的恒等变形 消去法 换元法 数 形结合法 求值求范围问题等等 都体现了等价转化思想 我们更是经常在函数 方程 不等式之间进行等价转化 教材中很多地方都体现了转化思想 如各种方程 组 的解法 几何中四边形的问题 就充分体现了转化思想 中学数学处处都体现出化归的思想 如化繁为简 化难为易 化 未知为已知 化高次为低次等 它是解决问题的一种最基本的思想 在具体内容上 有加 法与减法的转化 乘法与除法的转化 乘方与开方的转化 以及添加辅助线 增设辅助元 等等都是实现转化的具体手段 如图 在两个同心圆中 三条直径把大圆分成相等的六部分 若大圆的半径为 2 则 图中阴影部分的面积是 五 分类讨论思想 在解答某些数学问题时 有时会遇到多种情况 需要对各种情况加以分类 并逐类求 解 然后综合得解 这就是分类讨论思想 分类讨论是一种逻辑方法 是一种重要的数学 思想 同时也是一种重要的解题策略 它体现了化整为零 积零为整的思想与归类整理的 方法 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性 综合性 探索性 能训练人的思 维条理性和概括性 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的 如 a 的定义分 a 0 a 0 ab c 0 则 ac bc 这种分类讨论题型可以称为性质型 某些不确定的数量 不确定的图形的形状或位置 不确定的结论等 都主要通过分 类讨论 保证其完整性 使之具有确定性 分类讨论一般应遵循以下的原则 对问题中的某些条件进行分类 要遵循同一标准 分类要完整 不重复 不遗漏 有时分类并不是一次完成 还须进行逐级分类 对于不同级的分类 其分类标准不 一定统一 解答分类讨论问题时 我们的基本方法和步骤是 首先要确定讨论对象以及所讨论对 象的全体的范围 其次确定分类标准 正确进行合理分类 即标准统一 不漏不重 分类 互斥 没有重复 再对所分类逐步进行讨论 分级进行 获取阶段性结果 最后进行归纳 小结 综合得出结论 例 11 方程kx2 2x 3 0 有几个实数根 学生往往不注意k对方程性质的影响 讨论或讲评中 使学生明确系数k决定方程的 次数 从而分k 0 k 0 两类讨论 当k 0 时 再分 0 0 0 三种情况进行讨 论 例 12 解不等式 2 ax 例 13 初中课本第四册证明圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 在几何中 常常 由于图形的的形状 位置的不同而要进行 分类讨论 这是课本 第一次正式的采用分 类的方法证明几何定 理的 为什么要根据 圆心相对于圆周角的 位置分成三种情况 如上图 去证 要在学生画图 测量 分析 讨论后形成思路 决不 能在这些活动之前给出分类证明 否则就失去了从一般到特殊 从特殊到一般的思维过程 无法体会分类证明的目的和优点 只有通过学生的活动 才能体会到恰当的分类可增强题 设的条件 即把分类的依据做为附加条件 先证明特殊情况 再由特殊情况推广到一般情 况的解决问题的思路 这是常用分类的方法 教材在第六册弦切角的定理的证明时 再一 A O BC A A B C D O B O C D 次用到这一方法 此时 可试着让学生自己分类证明 五 实施数学思想方法教学的做法五 实施数学思想方法教学的做法 1 钻研教材 充分挖掘教材中蕴涵的数学思想方法 教材的弹性很大 其选择的材料是精心组织 合理安排的 表达了一定的思想 方法 和目的 但是从怎样的材料出发 教师设计怎样的现实情景 或数学情景 学生在参与 这一情景研究的过程中形成怎样的数学思想和方法 教材只做了简短的说明 但是由这些 材料反映出来的数学思想 方法确如灵魂一样支配着整个教材 因此 教师在教学过程中 一定要研究大纲 吃透教材 揣摩教材编写的意图 挖掘教材中蕴涵的数学思想 方法 把握住支配整个教材的思想 把要渗透的思想方法精心设计到教案中去 例如初一代数的 核心是字母表示数 正是因为有了字母表示数 我们才能总结一般公式和用字母表示定律 才形成了代数学科 这册教材从列代数式到整式加减至一元一次方程 以字母表示数为主 线贯穿始终 列代数式是用字母表示已知数 列方程是用字母表示未知数 同时本章通过 求代数式的值渗透了对应的思想 用数轴把数和形紧密联系起来 通过数形结合来巩固具 有相反意义的量的概念 了解相反数及绝对值 研究有理数加 减法和乘法的意义等 通 过有理数 整式概念的教学 渗透了分类思想 教师只有这样去把握教材的思想体系 才 能在教学中合理地不失时机地渗透数学思想和方法 2 注重在知识介绍与展示过程中渗透数学思想和方法 概念 公式 法则 性质 定理等数学结论的导出过程 不是简单的再现 教师要创 设一定的问题情景 提供丰富的感知材料 使学生的思维经历数学结论的发生 民展 形 成的全过程 并在这一过程中通过尝试 观察 猜想 归纳 概括 类比 假设 检验等 自我接受数学思想 方法的渗透 教师要抓住各种时机 引导学生透过问题表面理解问题 本质 总结出教学思想方法上的一些规律性的内容 例如 进行同底数幂的乘法教学时 首先从数的运算特例中 抽象概括出幂的一般运 算性质 先让学生计算 10 10 23 22 底数一般化 a3a2 指数再一般化 aman 由此得 法则 aman am n 这样让学生经历了观察 发现 由特殊到一般 从具体到抽象的过程 较好地渗透了数学思想 方法 同样 幂的乘方 积的乘方和同底数幂的除法的运算法则 的导出 学生就可以利用已掌握的思想方法 自己从实例中就能抽象概括得到 这样为学生后继学习兼定了理论基础 再如 学习整式的加 减 乘 除运算时 用 数的运算性质去探索式的同类运算也具有这样的性质 实现数 式的转化 也是由特殊到 一般 由具体到抽象的关系 3 点滴孕伏 不断再现 逐渐强化 数学思想 方法不可能经历一次就能正确认识并迁移 需要在长期的教学中 点点滴 滴地孕伏 断断续续再现 若隐若明的引导 日积月累的强化 使学生达到掌握的程 度 例如初中数学中数形结合思想 转化思想 类比思想 换元法随处可见 我们在教学 中要不失时机的反复渗透 如学习代数因式分解时可给下列题组 分解因式 1 x2 11x 24 2 x4 11x2 24 3 x y 2 11 x y 24 4 x2 2x 2 11 x2 2x 24 5 x2 2x 3 x2 2x 8 36 6 x 1 x 2 x 3 x 4 36 由 1 题过渡到 2 3 4 渗透了整体的思想 5 6 渗透了化归思想 化归的思想方法随处可见 如解 一元二次方程要化为一元一次方程 解一次方程组通过消元法把三元转化为二元 把二元 转化为一元 使学生加深对把复杂问题转化为简单问题的消元思想 从一元二次方程到可 化为一元二次方程的分式方程 无理方程 使学生进一步获得对事物的转化的认识 学习 了二元二次方程组 学生对消元 降次的教学思想 方法的认识更深化了 化归思想方法 日趋成熟 再如 对等式性质和不等式性质进行类比 一元一次方程和一元一次不等式的解法对 比使学生了解它们的联系与区别 从而利于学生对知识的理解和记忆 同时让学生学会了 用类比思想解决问题的方法 在学分式及其运算时 学生运用类比的思想由分数的性质和 运算可以自主展开对分式的研究 4 把基本数学思想 方法 知识 技能融于一体 思想方法不能与知识 技能脱离 空谈思想方法 学生感觉空洞 无法运用 思想方 法只有通过具体的知识 技能才可呈现 教师在课堂中要把基本的数学思想 方法与知识 技能融于一体 使学生在学习知识 技能的同时 也悟到一定的数学思想方法 在运用思 想方法的同时 也巩固了知识 技能 这样 思想方法有载体 知识 技能有灵魂 才能 真正提高学生的数学素养 5 有计划 有目的 有组织地上好思想方法训练课 小结课 复习课是系统知识 深化知识 使知识内化的最佳课型 也是渗透数学思想 方法的最佳时机 通过对所学知识系统整理 挖掘提炼解题指导思想 归纳总结上升到思 想方法的高度 掌握本质 揭示规律 初中数学中有许多体现 分类讨论 思想的知识和技 能 复习课上 可以把这些知识进行整理归纳 如 会把给出的实数按要求进行分类 会 按角的大小和边的关系对三角形进行分类 求任意实数的绝对值分大于零 等于零 小于 零三种情况讨论等 以上问题的解决都是运用了 分类讨论 的思想方法 6 运用多媒体手段使数学思想方法形象化 现代教育技术手段在课堂教学中应用越来越广泛 现代教育技术手段能充分开发 综 合和利用各种有益而丰富的学习资源 扩展教育和学习的空间 使学习信息呈现的形式多 样化 教师要掌握现代教育技术理论 如现代教育思想 教学理论 学习理论 教学设计 理论 现代多媒体的操作技能 教学软件和设计 编制 使用等 特别是加强熟练多媒体 操作技能 学会利用各种媒体工具 发挥多媒体优势 取得最优化的教学效果 使数学思 想 方法借助于知识 技能的载体更加形象化的出示在学生面前 教学实践证明 加强数学思想方法的教学对于提高教学质量 改变重结论 轻过程 重知识 重形式 轻思想的现状 培养高素质人才有着深远而重大的现实意义 六 初中数学思想方法教学的基本原则六 初中数学思想方法教学的基本原则 在初中进行数学思想萄教学 要遵循以下原则 1 目标性原则 目标性原则 既然数学思想方法被纳入数学基础知识的范畴 那么数学课堂教学应该有数学思想方 法的教学目标 否则 数学思想方法的教学就得不到应有的保障 在数学课堂教学中亦无 法落实 遵循数学思想方法教学的目标性原则 首先要明晰教材中所有数学思想方法 就 目前共识的共有三大类 18 种 即策略思想方法 包括抽象概括 方程与函数 整体 化归 猜想 逻辑型思想方法 包括分类 类比 归纳 反证 演绎 特殊化 技巧型思想方法 包括换元 配方 待定系数 构造 参数 判别式 其次对某些重要的数学思想方法进行 分解 细化 使之明朗化 具有层次性 如了解某种数学思想方法的含义及价值为第一层 次 掌握某种数学思想方法的初步应用为第二层次 会应用该种数学思想方法指导思维活 动 解决某些具体的数学问题为第三层次 第三 在具体的每一节课教学中 数学思想方 法教学目标应与课堂教学结构的各个重要环节相匹配 形成知识目标与思想方法目标的有 机整合 使之具有可操作性 2 渗透性原则 渗透性原则 数学思想方法教学依附于数学知识的教学 但又不同于数学知识教学 在数学思想方 法教学中 应以数学知识为载体 挖掘教材中蕴含的数学思想方法 进行恰当的 适时的 渗透性 教学 遵循渗透性教学原则需做到以下两点 1 挖掘渗透内容 虽然数学思想方法纳入数学基础知识范畴 但数学思想方法是数学 知识的精髓 它内隐于数学知识之中 需要从数学知识中挖掘 提炼 比如 在初一新学 期开始的第一课 可以有目的地向学生渗透分类的数学思想方法 新教材共分上下两册 上册分为四章 下册又分为三章 每章都有若干节 使学生刚接触到教材就受到分类 思想的熏陶 又在寻找各种具体的有理数运算结果的规律中 渗透归纳 抽象概括的思想 方法 在 两个相反数相加得零 写在 异号两数相加 的法则里 渗透特殊与一般的思想方 法 有理数的大小比较借助于绝对值的概念转化为算术数的大小比较 有理数的减法 除法 运 算借助于相反数 倒数 概念转化为加法 乘法 运算等多处渗透化归的数学思想方法 教师只 有认真钻研教材 才能正确地挖掘出课本知识中所蕴含的数学思想方法 这是课堂教学中 渗透数学思想方法的前提 2 把握渗透的方法 由于学生数学思想方法的形成和发展比数学知识的增长和积累需 要更长的时间 花费更大的精力 因此 在教学中 有机地结合数学表层知识的传授 恰 当地渗透其中的数学思想方法 让学生在 数学知识的再发现 过程中享受 创造 或 发现 的愉悦 孕育数学发现的精神品质 这才是成功的渗透方法 3 层次性原则 层次性原则 数学思想方法的形成难于知识的理解和掌握 数学思想方法教学应与知识教学 学生 认知水平相适应 数学思想方法教学应螺旋式上升 并遵循阶梯式的层次结构 在实验研 究中 笔者认为数学思想方法教学一般要经过渗透孕育期 领悟形成期 应用发展期 巩 固深化期四个层次 遵循层次性原则 达到螺旋上升的目的 下面以化归思想方法教学为 例 简要说明 1 渗透孕育期 这一阶段为初一代数上册的教学 通过有理数的大小比较 有理数的 四则运算 整式加减 一元一次方程的解法教学来反复孕育化归思想方法 使学生初步了 解和体会到化归思想方法的意义和价值