《多项式与方程》PPT课件.ppt

多项式与方程 常函数y c 幂函数y x Q 指数函数y ax 对数函数y logax 三角函数 y sinx y cosx y tanx等 反三角函数 y arcsinx y arccosx y arctanx等 是数学中最为基本的函数 我们把它们统称为基本初等函数 基本初等函数的定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性等基本性质 教学过程 一 多项式的值与多项式函数 思考 一 多项式函数 F中的根或零点 作映射f 为F上的多项式函数 1 带余除法和综合除法 二 整除性 设f x 与g x 是多项式 且g x 0 那么存在惟一的一组多项式q x 和r x 使地f x g x q x r x X a f x f a 整系数多项式a b f a f b 三 最大公因式 f x u x g x v x d x 四 因式分解 惟一因式分解定理 复数域上多项式 代数基本定理及推论 五 C R Q Z域 定理 的值相等 则 实数域上多项式 实系数多项式非复根的重要性质 实系数多项式的因式分解 高斯定理若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式 则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积 逆否 整系数多项式的因式分解 定理设 是一个整系数多项式 而是它的一个有理根 其中是互素的 则必有 定理艾森斯坦因Eisenstein判别法 设 是一个整系数多项式 若有一个素数使得 则在有理数域上是不可约的 Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件 而 非必要条件 注意 也就是说 如果一个整系数多项式 不满足Eisenstein判别法条件 则它可能是可约的 也可能是不可约的 有些整系数多项式不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约 此时可考虑用适当的代换使满足Eisenstein判别法条件 从而来判定原多项式不可约 六 根与系数的关系 韦达定理 1 首1多项式的根与系数的关系 2 非首1多项式的根与系数的关系 问题3 是F中任意n个数 能否确定一个n 1次多项 七 Lagrange插值多项式 作函数 则 这个公式也称为Lagrange插值公式 证明 设x0是f x 的一个整数解 则f x x0 a x0 b x0 c x0 d 25 0所以 x0 a x0 b x0 c x0 d 25 1 1 5 5这说明25能且只能是 1 1 5 5这四个因数的乘积 例 设a b c d是互不相等的整数 多项式f x x a x b x c x d 25有整数解 求证 4 a b c d 注意到这四个因数分别是 x0 a x0 b x0 c x0 d 于是 x0 a x0 b x0 c x0 d 1 1 5 5 0即 a b c d 4x0由于x0是整数所以4 a b c d 得证 例 如果整系数方程ax2 bx c 0 a 0 有有理根 求证 a b c至少有一个是偶数 证明 设即约分数r s是方程的根 则a r s 2 b r s c 0即ar2 brs cs2 0 1 下面对a b c的奇偶性进行讨论假设a b c均为奇数 由 r s 1知 r与s中至少有一个是奇数 1 当r s均为奇数时 ar2 brs cs2是三个奇数的和 其结果是奇数 与 1 式 0矛盾2 当r s一奇一偶时 ar2 brs cs2是两个偶数加一个奇数的和 其结果是奇数 也与 1 式 0矛盾故a b c至少有一个是偶数 P86例2 试确定所有的实系数多项式 使得 对所有实数均成立 解 取则 即是的一个根 取 则 即也是的一个根 有因式定理 可以写成的形式 其中是实系数多项式 把代入条件中的等式得 故 由此得 这表明对无穷多个 均取同一值 由定理10的推论1 可设 C 常数 因此所求的多项式为 本题与P92例题14相似 p91例13 求所有实数 使得 加拿大 1998 解1 设 得 故 得即故 得 即 得因为 故 解2原方程可化为构造 ABC 使AB AC BC边上的高AH 1 则BH CH 因为 BAC AHC 在 ABC中 由勾股定理 有即 因为 故 有 例11 求下面方程组的所有实数解 并证明你的结论 1 将三个方程相加 得 移项 整理得 注意到x y z的非负性 上式左边每一项皆非负 故只能为0 从而得 分析 答案 1答案 练习 答案提示 韦达 他1540年生于法国的普瓦图 1603年12月13日卒于巴黎 年轻时学习法律当过律师 后从事政治活动 当过议会的议员 在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码 韦达还致力于数学研究 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数 未知数及其乘幂 带来了代数学理论研究的重大进步 韦达在欧洲被尊称为 现代数学之父 韦达最重要的贡献是对代数学的推进 他最早系统地引入代数符号 推进了方程论的发展 韦达用 分析 这个词来概括当时代数的内容和方法 他创设了大量的代数符号 用字母代替未知数 系统阐述并改良了三 四次方程的解法 指出了根与系数之间的关系 给出三次方程不可约情形的三角解法 著有 分析方法入门 论方程的识别与订正 等多部著作 分析方法入门 是韦达最重要的代数著作 也是最早的符号代数专著 书中第1章应用了两种希腊文献 帕波斯的 数学文集 第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来 认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧 并自信希腊数学家已经应用了这种分析术 他只不过将这种分析方法重新组织 韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想 试图创立一般的符号代数 他引入字母来表示量 用辅音字母B C D等表示已知量 用元音字母A 后来用过N 等表示未知量x 而用Aquadratus Acubus表示x2 x3 并将这种代数称为本 类的运算 以此区别于用来确定数目的 数的运算 当韦达提出类的运算与数的运算的区别时 就已规定了代数与算术的分界 这样 代数就成为研究一般的类和方程的学问 这种革新被认为是数学史上的重要进步 它为代数学的发展开辟了道路 因此韦达被西方称为 代数学之父 1593年 韦达又出版了另一部代数学专著 分析五篇 5卷 约1591年完成 论方程的识别与订正 是韦达逝世后由他的朋友A 安德森在巴黎出版的 但早在1591年业已完成 其中得到一系列有关方程变换的公式 给出了G 卡尔达诺三次方程和L 费拉里四次方程解法改进后的求解公式 而另一成就是记载了著名的韦达定理 即方程的根与系数的关系式 韦达还探讨了代数方程数值解的问题 1600年以 幂的数值解法 为题出版 1593年韦达在 分析五篇 中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解 同年他的 几何补篇 Supplementumgeometriae 在图尔出版了 其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识 此外 韦达最早明确给出有关圆周率 值的无穷运算式 而且创造了一套10进分数表示法 促进了记数法的改革 之后 韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承 发展成为解析几何学 韦达从某个方面讲 又是几何学方面的权威 他通过393415个边的多边形计算出圆周率 精确到小数点后9位 在相当长的时间里处于世界领先地位 韦达最主要的贡献韦达最重要的贡献是对代数学的推进 他最早系统地引入代数符号 推进了