洗衣服的数学

洗衣服的数学 设衣服经洗涤充分拧干后残存水量 w 含污物g 漂洗用清水 A 分为 n 次使用 0 m 用量为 n aaa 21 第一次 含污物g 的 w 水放到 水中 充分搓洗 使g 污物均匀分布到 0 m 1 a 0 m w 水中 倒掉污水拧干 残留污物量与残留水量 w 成正比 1 a 1 m wa w m m 10 1 即 w a m m 1 0 1 1 类似可得到 两次漂洗后残留污物量 2 m 1 1 1 21 0 2 1 2 w a w a m w a m m 对 n m 1 1 1 21 0 w a w a w a m m n n 从 式可以看出 1 与成正比 n m 0 m 2 w 越小 越小 n m 下面的问题是 1 怎样分配水的使用才使 达到最小 2 n 越大越好吗 对 1 就是求怎样的能使最大 条件是 n aaa 21 1 1 1 21 w a w a w a n A n aaa 21 显然是定值 记为 S 根据算术 几何平均不等 w A n w a w a w a n 1 1 1 21 式 可知 nn n n n S n w a w a w a w a w a w a 1 1 1 1 1 1 21 21 显然最大值在时取得最大值 即每次用水量相等 可以使乘积 n A aaa n 21 nn n S w a w a w a 1 1 1 21 最大 相应地 式 1 1 1 21 0 w a w a w a m m n n 最小 记为 nn n nw A m n S m m 1 00 对 2 比较与 n n nw A m m 1 0 1 0 1 1 1 n n wn A m m 有 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n nn wn A n nw A n nw A nw A 所以有 1 nn mm 说明分成 n 1 份比 n 份的污物最小残余量要小 简单说 将水分的份数越多越好 当然这 是理论说法 每次漂洗用水总要将衣物浸泡了才行吧 从理论上考虑 污物最少能剩多少呢 这里最好是将 n 趋向于正无穷 注意到 e n n n 1 1 lim w A w A k k knw A nn n n e m k m nw A m mm 00 1 0 1 1 1 lim limlim 可见 污物虽然越来越少 但不会少于 所谓洗干净衣服 A 不可能无穷大 不过是 w A e m0 感官感觉而已 当然也能看出 总水量 A 与残余水量的比是一个关键 比越大 废水越多 污物残留少自是正常现象 但又考虑节约用水 比如设定 5 则 w A 0 0 5 0 5 0 007 0 14871828 2 m mm e m m 这个理论效果一般就可以满意了 这时 n 是多少呢 0 0 007 0 1 m nw A m m n n 即 007 0 5 1 1 n n 用电子表格计算 n n n 5 1 1 10 167 20 082 30 053 40 039 50 031 60 026 70 023 80 021 90 019 100 017 110 016 120 015 130 015 140 014 150 013 160 013 170 012 180 012 190 012 200 012 210 011 220 011 230 011 240 011 250 010 260 010 270 010 280 010 290 010 300 010 310 010 320 010 330 010 会发现 n 20 以后污物下降缓慢 用 Mathcad 作图 f n 1 1 5 n n 051015202530 0 2 0 4 f n n 可以发现 n 10 左右 下降速度明显变慢 观察一下变化率 2 n f n d d 2 1 1 5 n n ln 1 5 n 5 n1 5 n 2 25 1 5 n n n31 5 n 2 如下图 051015 0 10 20 g n n 用电子表格计算 g n ng n 10 26884 20 04449 30 01354 40 00556 50 00273 60 00151 70 00091 80 0