2010年广州市高二数学竞赛试题doc

图 1 2010 年广州市高二数学竞赛试题 2010 5 92010 5 9 考生注意 用钢笔 签字笔或圆珠笔作答 答案写在答卷上 不准使用计算器 考试用时 120 分钟 全卷满分 150 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 2424 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 的 1 直线R R 与圆的交点个数是 10 xaya 22 40 xyx A 0 B 1 C 2 D 无数个 2 今年春 我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾 苍天无情人有情 某中学组织学生在社区开展 募捐活动 第 一天只有 10 人捐款 人均捐款 10 元 之后通过积极宣传 从第二天起 每天的捐款人数是前一天的 2 倍 且人均 捐款数比前一天多 5 元 则截止第 5 天 包括第 5 天 捐款总数是 A 4800 元 B 8000 元 C 9600 元 D 11200 元 3 函数R R 的最大值和最小值分别为 cos2sin f xxx x A B C D 7 0 8 7 2 8 9 0 8 9 2 8 4 若点是圆内的动点 则函数的一个零点在 a b 2 2 11xy 2 f xxaxb 内 另一个零点在内的概率为 1 0 0 1 A B C D 1 4 1 1 2 2 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3636 分 分 5 已知大于 1 的实数满足 x y lg 2lglgxyxy 则的最小值为 lglgxy 6 将一边长为 4 的正方形纸片按照图 1 中的虚线所示的方法剪开后 拼接为一正四棱锥 则该正四棱锥的体积为 7 设 都是单位向量 且 0 则的最大值为 abc a b abbc w w w k s 5 u c o m 8 对于两个正整数 定义某种运算 如下 当都为正偶数或正奇数时 m nA m n 当中一个为正偶数 另一个为正奇数时 则在此定义下 集合mnmn A m nmnmn A P x y D1C1 O D C B A l B A M N NN N中元素的个数是 10 Mp qpqp A q 9 设是数列的前项和 若N N 则 n S n an 11 1 3 2 n nn aa a n 2010 S 10 在 Rt 中 如果椭圆经过两点 它的一个焦点为 另一个焦ABC1ABAC A BC 点在上 则这个椭圆的离心率为 AB 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 满分小题 满分 9090 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 11 本小题满分 15 分 在 中 分别是内角的对边 已知 ABC a b c A B C 327 2 cos 42 ACAABA BC 1 求的值 cosB 2 求的值 b 12 本小题满分 15 分 如图 已知二面角的平面角为 在半平面内有一个半圆 其直径在 上 l 45 OABl 是这个半圆上任一点 除 外 直线 与另一个半平面所成的MOABAMBM 角分别为 试证明为定值 1 2 22 12 coscos 13 本小题满分 20 分 如图 矩形中 现以矩形的边为轴 的中点为原点建立直角坐标ABCD10AB 6BC ABCDABxAB 系 是轴上方一点 使得 与线段分别交于点 PxPCPDAB 1 C 1 D 且成等比数列 1111 ADDCC B 1 求动点的轨迹方程 P 2 求动点到直线距离P l60 xy 的最大值及取得最大值时点的坐标 P 14 本小题满分 20 分 设 函数 0 a 1ln 2 xaxxf 1 当时 求曲线在点处的切线方程 1 a xfy 1 1f 2 当时 求函数的最小值 1 x xf 15 本小题满分 20 分 已知定义在上的函数满足 且对于任意实数 R f x 5 1 2 f xy 总有成立 f x f yf xyf xy 1 求的值 并证明为偶函数 0 f f x 2 若数列满足 求数列的通项公式 n a2 1 1 2 3 n af nf n n n a 3 若对于任意非零实数 总有 设有理数满足 判断和 的大小关系 y 2f y 12 x x 12 xx 1 f x 2 f x 并证明你的结论 2010 年广州市高二数学竞赛试题年广州市高二数学竞赛试题 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 说明 说明 1 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如果考 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力 并给出了一种或几种解法供参考 如果考 生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 生的解法与参考答案不同 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后 继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 分 满分分 满分 24 分分 1 C 2 B 3 D 4 A K H l B A M 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 6 分 满分分 满分 36 分分 5 6 7 8 9 10 3lg2 8 2 3 12 13 1005 191 1 32 63 三 解答题 满分三 解答题 满分 9090 分 分 11 本小题满分 15 分 解 1 3 2 cos0 4 CAA 2 coscos22cos1CAA 2 31 210 48 0 0AC 0 0 22 AC 2 7 sin1 cos 4 AA 2 3 7 sin1cos 8 CC coscosBAC cos AC coscossinsinACAC 9 16 2 27 2 BA BC A 27 cos 2 acB 24ac sinsinsin22sincos accc ACAAA 由 解得 2 2cos3 c ac A 2 3 24 ac ac 4 6 a c 222 2cosbacacB 22 9 4622425 16 5b 12 本小题满分 15 分 证明 过作 为垂足 在内 作 为垂足 MMH H MKAB K 连接 则 KH AH BH 12 MAHMBH MHAB MHAB 平面 平面 MKMHM MK MHKMH MHK 平面 AB MHK 平面 HK MHK FE P x y D1C1 O D C B A 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 30 25 20 15 10 551015202530 l O y x ABHK 是二面角的平面角 MKH l MKH 45 2 2 MHMK 在 Rt中 AMB 222 AMAK AB BMBK AB MKAK BK AAA 在 Rt和 Rt中 MHA MHB 12 sin sin MHMH AMMB 22 12 sinsin 22 22 MHMH AMMB 22 22 MKMK AK ABBK AB AA 22 AK BKAK BK AK ABBK AB AA AA 2 BKAK AB 1 22 AB AB 22 12 coscos2 22 12 3 sinsin 2 13 本小题满分 20 分 解 1 设点的坐标为 过作交的延长线于 交的延P x y 0y P PECDDAECB 长线于 F 在中 得 DPE 1 D ADA PEDE 1 6 56 D A xy 得 1 6 5 6 x D A y 在中 PCD 111 C DPDEA CDPDED 6 y y 得 11 10 6 y C D y 同理可得 1 6 5 6 x C B y 成等比数列 1111 ADDCC B 2 1111 DCADC B A 2 6 56 510 666 xxy yyy A 化简得 22 10 259 xy y 动点的轨迹方程为 P 22 10 259 xy y 2 由图易知当与直线 平行的直线与半椭圆相切于点时 点到直线 距离的最大 lPPl 设与直线平行的直线方程为 代入 l60 xy 0 xyk 22 1 259 xy 得 22 3450252250 xkxk 由 22 2500340090kk 解得 由 得 2 34k 0k 34k 故点到直线 距离的最大值为 Pl 346 6 3 217 22 k 把代入 式 可解得点的坐标为 34k P 25 34 9 34 3434 14 本小题满分 20 分 解 1 当时 当时 1 a 1ln 2 xxxfxe 2 1 ln1 2f xxxfxx x 令 得 所以切点为 1 2 切线的斜率为 1 1 x 1 1 2 1 ff 所以曲线在处的切线方程为 xfy 1 x01 yx 2 当时 ex axaxxf ln 2 x a xxf 2 ex 恒成立 在上为增函数 0 a 0 xf xf e 故当时 ex 2 min eefy 当时 ex 1 2 lnf xxaxa 2 2 2 2 a x a x xx a xxf ex 1 当即时 若时 所以在区间上为增函数 故当时 1 2 a 20 a 1 ex 0fx xf 1 e1 x 且此时 ay 1 min 1 eff 当 即时 若时 e a 2 1 2 22ea 2 1 a x 0fx 若时 2 a xe 0fx 所以在区间上为减函数 在上为增函数 xf 2 1 a 2 e a 故当时 且此时 2 a x 2 ln 22 3 min aaa y 2 ef a f 当 即时 若时 所以在区间 1 上为减e a 2 2 2ea 1 ex 0fx xfe 函数 故当时 ex 2 min eefy 综上所述 当时 在和上的最小值都是 2 2ea xf e 1 e 2 e 所以在上的最小值为 xf 1 2 eef 当时 在时的最小值为 而 2 22ea xf 1 e 2 ln 22 3 2 aaaa f 2 ef a f 所以在上的最小值为 xf 1 2 ln 22 3 2 aaaa f 当时 在时最小值为 在时的最小值为 20 a xf e 2 e 1 eaf 1 1 而 所以在上的最小值为 1 eff xf 1 af 1 1 所以函数的最小值为 xfy 2 min 22 1 02 3 ln 22 222 2 aa aaa yae eae 15 本小题满分 20 分 解 1 令 又 1 0 xy 1011ffff 5 1 2 f 02f 令 得 即0 x 0 ff yf yfy 2 f yf yfy 对任意的实数总成立 为偶函数 f yfy y f x 2 令 得 1xy 1120ffff 25 2 2 4 f 17 2 4 f 1 175 2 2 1 6 22 aff 令 得 1 1xny 1 1 2 f nff nf n 5 2 1 2 f nf nf n 1 5 221211412 2 n af nf nf nf nf nf nf n 2 2 1 2 1 n f nf nan 是以为首项 以为公比的等比数列 n a62 1 6 2n n a 3 结论 12 f xf x 证明 时 0y 2f y 即 2 f xyf xyf x f yf x f xyf xf xf xy 令 故 总有成立 则xky k Nk N 1 1 fkyf kyf kyfky 对于 总有 1 1 1 2 0