2015年高考数学(理)试题(安徽卷)

2015 年高考数学 理 试题 安徽卷 年高考数学 理 试题 安徽卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设 i 是虚数单位 则复数 2 1 i i 在复平面内所对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 B 解析 由题意 其对应的点坐标为 1 1 2 1222 1 1112 iiii i iii 位于第二象限 故选 B 知识点 复数的运算 复数的几何意义 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 复数的运算 复数的几何意义 2 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 A ycosx B ysin x C yln x D 2 1yx 答案 A 解析 对于 A 定义域为 R 并且 cos x cosx 是偶函数并且 有无数个零点 对于 B sin x sinx 是奇函数 由无数个零点 对于 C 定义域为 0 所以是非奇非偶的函数 有一个零点 对于 D 定义域为 R 为偶函数 都是没有零点 知识点 函数的奇偶性 函数零点的概念 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 函数的奇偶性 函数零点的概念 3 设 p 1 x 2 q 2x 1 则 p 是 q 成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 q 2x 20 解得 x 0 易知 p 能推出 q 但 q 不能推出 p 故 p 是 q 成立的充分不必要条件 选 A 知识点 指数运算 充要条件的概念 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 指数运算 充要条件的概念 4 下列双曲线中 焦点在y轴上且渐近线方程为 y 2x 的是 A B 2 2 1 4 y x 2 2 1 4 x y C D 2 2 1 4 x y 2 2 1 4 x y 答案 C 解析 由题意 选项 A B 的焦点在 x 轴 故排除 A B C 项的渐 近线方程为 即 y 2x 故选 C 2 2 1 4 x y 知识点 双曲线的渐近线 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 双曲线的渐近线 5 已知 m n 是两条不同直线 是两个不同平面 则下列命题 正确的是 A 若 垂直于同一平面 则 与 平行 B 若 m n 平行于同一平面 则 m 与 n 平行 C 若 不平行 则在 内不存在与 平行的直线 D 若 m n 不平行 则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案 D 解析 对于 A 若 垂直于同一平面 则 与 不一定平行 例 如墙角的三个平面 故 A 错误 对于 B 若 m n 平行于同一平面 则 m 与 n 平行 相交或者异面 故 B 错误 对于 C 若 不平行 则在 内存在无数条与 平行的直线 故 C 错误 对于 D 若 m n 不平行 则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 假设 两条直线同时垂直同一个平面 则这两条在平行 故 D 正确 故选 D 知识点 直线 平面的垂直 平行判定定理以及性质定理的应用 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 直线 平面的垂直 平行判定定理以及性质定理的应用 6 若样本数据的标准差为8 则数据 1210 xxx 的标准差为 1210 212121xxx A 8 B 15 C 16 D 32 答案 C 解析 设样本数据的标准差为 则 8 即 1210 xxx DXDX 方差 DX 64 而数据的方差 D 2X 1 1210 21 2 21xxx 1 22DX 22 64 所以其标准差为 故选 C 2 26416 知识点 样本的方差与标准差的应用 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 样本的方差与标准差的应用 7 一个四面体的三视图如图所示 则该四面体的表面积是 A 13 B 23 C 12 2 D 2 2 答案 B 解析 根据几何体的三视图 得 该几何体是底面为等腰直角三角 形的三棱锥 如图所示 该几何体的表面积为 2 PACPABABC SSSS AAA表面积 故选 B 2 131 2 1222 123 242 知识点 由三视图求面积 体积 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 由三视图求面积 体积 8 C A 是边长为 2 的等边三角形 已知向量满足2aA a b C2abA 则下列结论正确的是 A 1b B C 1a b D ab 4Cab 答案 D 解析 由题意 故 故 A 错误 22BCACABabab 2b 所以 又222aa 1a 所以 故 2 22422 2cos602AB ACaabaab 1a b B C 错误 设 B C 中点为 D 则 且 所2ABACAD ADBC 以 故选 D 4abBC 知识点 平面向量的线性运算 平面向量的数量积 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 平面向量的线性运算 平面向量的数量积 9 函数 2 axb f x xc 的图象如图所示 则下列结论成立的是 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 答案 C 解析 函数在 P 处无意义 由图象看 P 在 y 轴右边 所以 c 0 得 c0 所以 2 2 又因为当 时 函数 f x 取得最小值 所以 2 3 x 可解得 所以 23 22 32 kkZ 2 6 kkZ 22sin 2 66 f xAsinxkAx 所以 2sin4sin420 66 fAA 2sin 40 6 fA 又因为 而 f x 5 0sinsin0 66 fAA 35 42 2662 Asinx 在区间是单调递减的 所以 f 2 f 2 f 0 故选 A 2 23 知识点 三角函数的图象与应用 函数值的大小比较 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 三角函数的图象与应用 函数值的大小比较 二 填空题 共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 的展开式中 x5的系数是 用数字填写答案 7 3 1 x x 答案 35 解析 由题意 令 21 4r 5 得 r 4 则 x5 7 321 4 177 1 r r rrr r TCxC x x 的系数是 4 7 35C 知识点 二项式定理的展开式应用 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 二项式定理的展开式应用 12 在极坐标中 圆 8sin 上的点到直线 R 距离的最大 3 值是 答案 6 解析 圆 8sin 化为 2 8 sin x2 y2 8y 化为 x2 y 4 2 16 直线 R 化为 所以圆心 C 0 4 到直线的距离 3 3yx 所以圆 8sin 上的点到直线 R 距离的 2 4 2 13 d 3 最大值 d r 2 4 6 故答案为 6 知识点 极坐标方程与平面直角坐标方程的转化 圆上的点到直线 的距离 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 极坐标方程与平面直角坐标方程的转化 圆上的点到直 线的距离 13 执行如图所示的程序框图 算法流程图 输出的 n 为 答案 4 解析 模拟执行程序框图 可得 a 1 n 1 满足条件 a 1 414 0 005 a n 2 3 2 满足条件 a 1 414 0 005 a n 3 7 5 满足条件 a 1 414 0 005 a n 4 17 12 不满足条件 a 1 414 0 00267 0 005 退出循环 输出 n 的值为 4 故答案为 4 知识点 程序框图的应用 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 程序框图的应用 14 已知数列 n a是递增的等比数列 1423 9 8aaa a 则数列 n a的前 n 项和等于 答案 21 n 解析 由题意 解得 a1 1 a4 8 或者 14 2314 9 8 aa aaa a a1 8 a4 1 而数列是递增的等比数列 所以 a1 1 a4 8 即 n a 所以 q 2 因而数列的前 n 项和 3 4 1 8 a q a n a 1 1 1 2 21 11 2 n n n n aq S q 知识点 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和公式 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和公式 15 设 x3 ax b 0 其中 a b 均为实数 下列条件中 使得该三次 方程仅有一个实根的是 写出所有正确条件的编号 a 3 b 3 a 3 b 2 a 3 b 2 a 0 b 2 a 1 b 2 答案 解析 设 f x x3 ax b 3x2 a fx a 3 b 3 时 令 3x2 3 0 解得 x 1 x 1 时 f 1 fx 5 f 1 1 并且 x 1 或者 x 1 时 0 所以 f x 在 1 和 fx 1 都是增函数 所以函数图象与 x 轴只有一个交点 故 x3 ax b 0 仅有一个实根 如图 a 3 b 2 时 令 3x2 3 0 解得 x 1 x 1 时 f 1 0 f fx 1 4 如图 a 3 b 2 时 函数 f x x3 3x b f 1 2 b 0 函数图象形状 如图 所以方程 x3 ax b 0 只有一个根 a 0 b 2 时 函数 f x x3 2 3x2 0 恒成立 故原函数 fx 在 R 上是增函数 故方程方程 x3 ax b 0 只有一个根 a 1 b 2 时 函数 f x x3 x 2 3x2 1 0 恒成立 故原 fx 函数在 R 上是增函数 故方程方程 x3 ax b 0 只有一个根 综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是 故答案为 知识点 函数零点与方程的根之间的关系 函数的单调性及其极值 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 函数零点与方程的根之间的关系 函数的单调性及其极 值 三 解答题 16 本小题满分 12 分 在 ABC 中 点 D 在 BC 边上 3 63 2 4 AABAC AD BD 求 AD 的长 答案 10 解析 在 ABC 中 由余弦 3 63 2 4 AABAC 定理可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos BAC 90 BC 3 10 在 ABC 中 由正弦定理可得 sinsin ACBC BBAC 10 sin 10 B 过点 D 作 AB 的垂线 DE 垂足为 E 由 AD BD 3 10 cos 10 B 得 cos DAE cosB Rt ADE 中 3 10 coscos AE AD DAEB 知识点 正弦定理 余弦定理的应用 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 正弦定理 余弦定理的应用 17 本小题满分 12 分 已知 2 件次品和 3 件正品放在一起 现需要通过检测将其区分 每 次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出 2 件次品或者检 测出 3 件正品时检测结束 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概 率 已知每检测一件产品需要费用 100 元 设 X 表示直到检 测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 单位 元 求 X 的分布列和均值 数学期望 答案 350 3 10 解析 记 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 为事件 A 则 11 23 2 5 3 10 A A P A A X 的可能取值为 200 300 400 2 2 2 5 1 200 10 A P X A 3112 3232 3 5 3 300 10 AC C A P X A 6 4001200300 10 P XP XP X X 的分布列为 EX 200 300 400 350 1 10 3 10 6 10 知识点 概率 随机变量的分布列与期望 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 概率 随机变量的分布列与期望 18 本小题满分 12 分 设 n N xn是曲线 y x2n 2 1 在点 1 2 处的切线与 x 轴交点的 横坐标 求数列 xn 的通项公式 记 证明 222 1321nn Tx xx 1 4 n T n 答案 证明过程见解析 1 n n x n 解析 y x2n 2 1 2n 2 x2n 1 曲线 y x2n 2 1 在点 1 2 处的切线斜率为 2n 2 从而切线方程为 y 2 2n 2 x 1 令 y 0 解得切线与 x 轴的交点的横坐标为 1 1 11 n n x nn 证明 由题设和 中计算结果可知 当 n 1 时 222 222 1321 1321 242 nn n Tx xx n A 1 1 4 T X200300400 P 1 10 3 10 6 10 当 n 2 时 22 2 2 2122 2121121221 22 22 n nnnnn x nnn nn 所以 2 11211 2234 n n T nn 综上所述 可得对任意的 n N 均有 1 4 n T n 知识点 曲线的切线方程 数列的通项公式 放缩法证明不等式 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 曲线的切线方程 数列的通项公式 放缩法证明不等式 19 本小题满分 13 分 如图所示 在多面体 A1B1D1DCBA 四边形 AA1B1B ADD1A1 ABCD 均为正方形 E 为 B1D1的中点 A1 D E 的平面交 CD1于 F 证明 EF B1C 求二面角 E A1D B1余弦值 答案 证明过程见解析 6 3 解析 证明 B1C A1D 且 A1B1 CD 四边形 A1B1CD 为 平行四边形 B1C A1D 又 B1C平面 A1EFD B1C 平面 A1EFD 又 平面 A1EFD 平面 B1CD1 EF EF B1C 以 A 为坐标原点 以 AB AD AA1所在直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 A xyz 如图 设边长为 2 AD1 平面 A1B1CD 为平面 A1B1CD 的一个法向 1 0 2 2AD 量 设平面 A1EFD 的一个法向量为 nxyz 又 1 0 2 2AD 1 1 1 0AE 1 1 0220 0 0 n ADyz xy n AE 取 y 1 所以 所以二面角 1 1 1n 1 1 1 6 cos 3 n AD n AD n AD E A1D B1余弦值为 6 3 知识点 线面平行的判定定理与性质定理 二面角的求解 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 线面平行的判定定理与性质定理 二面角的求解 20 本小题满分 13 分 设椭圆 E 的方程为 点 O 为坐标原点 点 A 的 22 22 10 xy ab ab 坐标为 a 0 点 B 的坐标为 0 b 点 M 在线段 AB 上 满足 BM 2 MA 直线 OM 的斜率为 5 10 I 求 E 的离心率 e II 设点 C 的坐标为 0 b N 为线段 AC 的中点 点 N 关于 直线 AB 的对称点的纵坐标为 求 E 的方程 7 2 答案 I II 2 5 5 22 1 459 xy 解析 I 由题设条件知 点 M 的坐标为 又 21 33 ab 5 10 OM k 从而 进而得 故 5 210 b a 22 5 2ab cabb 2 5 5 c e a II 由题设条件和 I 的计算结果可得 直线 AB 的方程为 点 N 的坐标为 设点 N 关于直线 AB 的对1 5 xy bb 51 22 ab 称点 S 的坐标为 则线段 NS 的中点 T 的坐标为 1 7 2 x 又点 T 在直线 AB 上 且 从而有 1 517 b 4244 x b 1 NSAB kk 解得 b 3 所以 故椭圆 E 的方程为 1 1 517 b 4244 1 5 71 22 5 5 b 2 x b bb b x 3 5a 22 1 459 xy 知识点 椭圆的离心率 椭圆的标准方程 点点关于直线对称的应 用 关键字 高考真题 金考卷 新高考 5 年真题汇编 2015 年安徽卷 理科试题 椭圆的离心率 椭圆的标准方程 点点关于直线