《整式乘法与因式分解》复习指南

第十章 整式乘法与因式分解 综合指导 河北省 刘新民 一 复习目标一 复习目标 1 掌握幂的运算性质 整式乘法法则和因式分解的定义与方法 通过观察 归纳 实验 概括 逆向思 维等 发展对问题的探究能力 2 能够运用幂的运算性质 整式乘法法则和乘法公式正确 合理地进行有关计算 理解整式乘法和 因式分解的关系 能用提取公因式法和公式法对多项式进行因式分解 3 了解零次幂和负整数次幂的意义 会用负整数次幂对一些较小的数用科学记数法加以表示 4 通过幂的运算性质的归纳概括过程 整式乘法法则的归纳概括过程等 发展归纳思维和推理能力 通 过从整式乘法法则到乘法公式的推导过程 发展演绎思维和推理能力 通过对整式乘法和多项式的因式分解的 关系的认识 发展从正 逆两个方面认识事物的能力 二 知识结构网络二 知识结构网络 三 基础知识回顾三 基础知识回顾 1 幂的运算性质 整 式 的 乘 法 幂的运算性质 同底数幂相乘 mnm n aaa 单项式乘多项式 多项式乘多项式 乘法公式 单项式乘多项式 幂的乘方 mnmn aa 积的乘方 m mm a bab 用分配律转化 用分配律转化 22 ab abab 222 2abaabb 提公因式法 公式法 因式分解 逆用乘法分配律 逆用乘法公式 1 同底数幂的乘法法则 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 用字母表示为 mnm n aaa 为正整数 mn 2 幂的乘方法则 幂的乘方 底数不变 指数相乘 用字母表示为 都是正整数 mnmn aa mn 3 积的乘方的法则 积的乘方等于把积中的每个因式分别乘方 再把所得的幂相乘 用字母表示为 是正整数 n nn aba b n 4 同底数幂的除法法则 同底数幂相除 底数不变 指数相减 用字母可表示为 mnm n aaa 是正整数 0a mn 5 零指数幂的意义 即任何非零数的 0 次幂都等于 1 0 1a 0a 6 负整数指数幂的意义 是正整数 即何非零数的次幂 都等于这个数的 1 p p a a 0a pp 次幂的倒数 p 2 整式的乘法 1 单项式乘以单项式的法则 单项式乘以单项式 把它们的系数 相同字母的幂分别相乘 其余字母 连同它们的指数不变 作为积的因式 2 单项式乘以多项式 就是根据乘法分配律用单项式的去乘以多项式的每一项 再把所得的积相加 3 多项式乘以多项式的法则 多项式乘以多项式 先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每 一项 再把所得的积相加 3 乘法公式 1 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 用公式表示为 22 ab abab 平方差公式的结构特征是 公式左边的两个二项式中 一项完全相同 一项互为相反数 右边是相同项的 平方减去相反项的平方 2 完全平方公式 两数和 或差 的平方等于它们的平方和加上 或减去 它们乘积的 2 倍 用公式 表示为 2 ab 22 2aabb 完全平方公式的结构特征是 两个公式的左边是一个二项式的完全平方 二者仅有一个 符号 不同 右 边都是二次三项式 其中有两项是左边二次项中每一项的平方 中间一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍 二者 也只有一个 符号 不同 4 因式分解 1 定义 因式分解指的是把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式 2 因式分解与整式乘法的关系 因式分解和整式乘法是互逆变形 因式分解是把和差化为积的形式 而整式乘法是把积化为和差的形式 虽然它们都是恒等变形 但却是互逆的两个过程 鉴于因式分解与整式乘 法是互逆变形 因此可将因式分解的结果运用整式乘法还原成多项式 以检验因式分解的结果是否正确 3 因式分解的方法 提公因式法和公式法 4 因式分解的一般步骤 在分解因式时 要注意观察题目本身的特点 按一定的思维顺序正确选择因 式分解的方法 给一个多项式 首先看是否有公因式 有公因式先提取公因式 公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数 公因式的字母取各项中都含有的字母 并且相同字母的指数取次数最低的 再看这个多项 式是几项式 如果是二项式 就考虑能否运用平方差公式 如果是三项式 就考虑能否运用完全平方公式分解 因式 需要注意的是在提取公因式后 要看括号内剩下的式子能否运用公式接着分解 需要强调的是 一定要 分解到每一个因式都不能分解为止 四 重点 难点提示四 重点 难点提示 重点 本章的重点是整式的乘除法 尤其是其中的乘法公式 以及用提公因式法和公式法分解因式 难点 本章的难点是乘法公式以及整式乘法和因式分解的区别与联系 五 思想方法总结五 思想方法总结 1 由特殊到一般的思想 本章中许多结论的得出都是先举出一些具体的例子 然后找出它们的共性 再加以推广 最后概括出一般 化的结论 如同底数幂的乘法法则 幂的乘方与积的乘方的性质都是由特殊到一般的探讨过程得出的 2 转化思想 在本章的学习和研究中 多次用到了转化思想 例如 单项式乘以单项式问题 要转化为有理数乘法 同 底数幂相乘问题 单项式乘以多项式 多项式乘以多项式 都要转化为单项式乘法等 3 逆向变换思想 本章所学的公式和法则均既可正向运用 又可逆向运用 学会逆用公式或变式运用公式 往往能使运算简 便 4 数形结合思想 数无形 少直观 形无数 难入微 对于本章中一些整式乘法的法则及乘法公式的理解 若借助于几 何图形可以起到直观 形象的效果 能使学生从数 形两方面更深一层的理解和记忆 六 注意事项六 注意事项 1 要正确区分幂的底数 如的底数是 而的底数则是 3 a a 3 a a 2 要注意区分各种运算法则 尤其是幂的运算性质 不要将幂的乘方与积的乘方相混淆 注意省略的指 数是 1 而不是 0 3 幂的运算性质成立的条件是 而同学们往往忽视这一条件 0 1a 0a 4 明确公式的结构特征是正确运用公式的前提条件 只有明确了结构特征 才能在不同的情况下正确运 用公式 乘法公式中的字母可以是具体的数 也可以是单项式或多项式 明确了这一点 就可以在更广的 a b 范围内应用乘法公式 例如在计算时 可将视为公式中的 将视为公式中 2 2 xyz xyz 2xy az 的 再用平方差公式展开 b 5 提公因式的依据是乘法的分配律 提公因式时 容易出现 漏项 的错误 检查是否漏项的方法 最 好是用单项式乘以多项式的法则乘回去 进行验证 也可以看看提公因式后 括号内的项数是否与原多项式的 项数一致 如果项数不一致 就说明漏项了 6 因式分解必须是恒等变形 因式分解必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止 七 典型例题分析七 典型例题分析 一 考查幂的有关运算 一 考查幂的有关运算 例例 1 下列运算正确的是 A B C D 347 xx 3412 xxx 22 3 9xx 22 3 6xx 分析 因为 A 是幂的乘方运算 指数应该相乘 不能相加 即 所以 A 错误 B 是同底 343 412 xxx 数幂相乘 指数应相加 即 所以 B 错误 积的乘方等于积中各因式乘方的积 所以 343 47 xxxx 故 C 正确 而 D 不正确 2222 3 39xxx 解 选 C 例例 2 计算 得 220032003 5 04 0 A 1 B 1 C D 2003 5 1 2003 5 1 分析 逆用积的乘方法则得 20032003 2200320032003 0 04 5 0 04 5 5 20032003 0 04 5 5 2003200320032003 0 2 5 0 2 5 11 解 选 A 例例 3 已知 求的值 21 2448 xx x 分析 解这种有关指数方程的基本方法是 将左右两边变形为两个幂相等的等式 且左右两边幂的底数相 同 再根据两个底数相同的幂相等 其指数必定相等列出方程 解这个方程即可 注意到 4 是 2 的平方 左边 可写成关于 2 的幂的形式 右边也可写成 2 的幂的形式 利用幂的性质就能解决此问题 解 又 2122222 2422 2 2223 2 xxxxxxx 21 2448 xx 2 3 248 x 即 2 216 x 24 22 x 24 2xx 二 考查整式的乘法运算 二 考查整式的乘法运算 例例 4 若 求的值 1221253 mnnm ababa b mn 分析 先利用单项式乘以单项式的法则求出 再由指数对应相等 建立方程组 即 12212 mnnm abab 可求出的值 mn 解 因为 又因 12212222 mnnmmnm n ababab 1221253 mnnm ababa b 所以 故 解得 所以 222mnm n ab 53 a b 25 223 mn mn 1 3 m n 1 32mn 例例 5 有这样一道题 计算 的值 其中 甲同学把 23 32 6 3 516xxx xx 2005x 错抄成 但他的计算结果也是正确的 你说这是怎么回事 2005x 2050 x 分析 这是一道说理性试题 既然把 错抄成了 但计算结果正确 于是可以猜测2005x 2050 x 此式子化简后与的值无关 所以这时应从式子的化简入手 揭开它的神秘面纱 x 解 因为 即原式化简后得 22 22 23 32 6 3 51664966185xxx xxxxxxxx 1622 所以式子的值与的取值无关 故把 错抄成 计算结果也是正确的 x2005x 2050 x 三 考查乘法公式 三 考查乘法公式 例例 6 如下图 在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形 把剩下的部分拼成一个梯abab 形 分别计算这两个图形阴影部分的面积 验证了公式 分析 这是一道与乘法公式相关的创新题 题目借助于图形的分拆与拼接 通过图形面积的不同表示形式 验证了乘法公式 从左图中可知阴影部分的面积是两个正方形的面积之差 即 由右图可知梯形的上 22 ab 底是 下底是 高为 所以梯形的面积为 根据阴影部分的面积2b2aab 1 22 2 ab abab ab 相等 可得乘法公式 22 ab ab ab 解 验证的乘法公式是 22 ab ab ab 例例 7 已知 求的值 8 12abab 2 ab 分析 完全平方公式的主要变形我们要熟悉 2222 2 2ababababab 这道题用 可以解决 2222 2 ababab 22 4ababab 解 由完全平方公式 得 所以 22 4ababab 22 4ababab 因为 所以 8 12abab 22 84 12644816ab 例例 8 计算 248 2 1 21 21 21 1 分析 直接计算显然非常繁琐易错 观察该式中四个因式的规律 如果再增添一个因式便可连续应 2 1 用平方差公式 问题就能迎刃而解 a a b b b b bb aa 解 248 2 1 21 21 21 1 248 2 1 2 1 21 21 21 1 2248448 881616 21 21 21 21 1 21 21 21 1 21 21 121 12 四 考查因式分解的意义与方法 四 考查因式分解的意义与方法 例例 9 下列各式由左边到右边的变形中 是分解因式的为 A B a xyaxay 2 44 4 4xxx x C D 2 1055 21 xxxx 2 163 4 4 xxxx 分析 解答此类题目要充分理解分解因式的定义和具体要求 显然 A 属于整式乘法 B 只是分解了 局部 没有完全化成整式的积的形式 而 D 虽然等式右边是一个多项式 左边是整式的积的形式 但由平 方差公式可知是分解的结果 所以式子在变形过程中丢掉了 不属于恒等变形 4 4 xx 2 16x 3x 因而也不属于分解因式 解 选 C 例例 10 已知 x y 1 求的值 22 11 22 xxyy 分析 通过已知条件不能求出 的值 所以要考虑把所求式子进行变形 构造出的整体形式 xyxy 因此观察系数的特点 可考虑将所求的式子进行因式分解 解 222222 111111 2 1 222222 xxyyxxyyxy 例例 11 为整数 试证明的值一定能被 12 整除 n 22 5 1 nn 分析 要证明的值能被 12 整除 只要将此式分解因式 使 12 成为其中的一个因式即可 22 5 1 nn 解 因为为整数 所以 22 5 1 5 1 5 1 nnnnnn 24 62 2 612 2 nnn n 也为整数 故能被 12 整除 即的值一定能被 12 整除 2n 12 2 n 22 5 1 nn 五 考查完全平方式 五 考查完全平方式 例例 12 多项式加上一个单项式后 使它能成为一个整式的完全平方 那么加上的单项式可以是 2 91x 填上一个你认为正确的即可 分析 根据完全平方公式的特点 若表示了的话 则有 222 2 aabbab 2 91x 22 ab 所以 缺少的一项为 此时 如果认为3 1ax b 22 3 16abxx 22 91 6 31 xxx 表示了的话 则有 所以 缺少的一项为 此时 2 91x 2 2abb 2 4 5 1ax b 2224 4 5 20 25axx 从另外一个角度考虑 一个整式的完全平方 中所指的 整式 既可以是 4222 20 2591 4 51 xxx 上面提到的多项式 以可以是单项式 注意到 所以 保留二项式中的任何一项 222 9 3 11xx 2 91x 都是 一个整式的完全平方 故所加单项式还可以是或者 此时有 或者1 2 9x 222 91 19 3 xxx 222 91 91xx 解 所加上的单项式可以是 或者 6x 4 20 25x1 2 9x 六 考查归纳探究的能力 六 考查归纳探究的能力 例例 1313 在日常生活中如取款 上网等都需要密码 有一种用 因式分解 法产生的密码 方便记忆 原 理是 如对于多项式 因式分解的结果是 若取x 9 y 9 时 则各个因式的 44 xy 22 xy xy