二面角习题及答案

1 二面角二面角 1 如图三棱锥 P ABC 中 PC 平面 ABC PC D 是 BC 的中点 且 ADC 3 2 是边长为 2 的正三角形 求二面角 P AB C 的大小 解 2 如图在三棱锥 S ABC 中 SA 底面 ABC AB BC DE 垂直平分 SC 且分别交 AC SC 于 D E 又 SA AB BS BC 求以 BD 为棱 BDE 与 BDC 为面的二面角的 度数 解 3 如图 ABCD 是矩形 AB 8 BC 4 AC 与 BD 相交于 O 点 P 是平面 ABCD 外一点 PO 面 ABCD PO 4 M 是 PC 的中点 求二面角 M BD C 大小 解 4 如图 ABC 与 BCD 所在平面垂直 且 AB BC BD ABC DBC 0 120 求二面角 A BD C 的余弦值 解 D P C A B E D B A S C S R N M O B D P A C D B A E C 2 5 已知正方体 AC M N 分别是 BB DD 的中点 求截面 AMC N 与面 ABCD CC D D 所成的角 解 6 如图 AC 面 BCD BD 面 ACD 若 AC CD 1 ABC 30 求二面角 的大小 DABC 解 7 三棱锥 A BCD 中 BAC BCD 90 DBC 30 AB AC AD 4 6 求二面角 A BC D 的度数 解 9 如图所示 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 a 的菱形 A 60 PC 平面 ABCD PC a E 是 PA 的中点 1 求证平面 BDE 平面 ABCD 2 求点 E 到平面 PBC 的距离 3 求二 D B D A C B A C M N B F E A C D D O A B C 3 面角 A EB D 的平面角大小 解析 10 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 E F 分别在棱 AB BC 上 G 在对角线 BD1 上 且 AE 4 1 BF 2 1 D1G GB 1 2 求平面 EFG 与底面 ABCD 所 成的二面角的大小 11 如图 设 ABC A1B1C1 是直三棱柱 E F 分别为 AB A1B1 的中点 且 AB 2AA1 2a AC BC 3 a 1 求证 AF A1C 2 求二面角 C AF B 的大小 12 如图 1111 DCBAABCD 是长方体 AB 2 1 1 ADAA 求二平面 CAB1 与 1111 DCBA 所成二面角的大小 4 13 在正方体 1111 DCBAABCD 中 1 BBK 1 CCM 且 1 4 1 BBBK 1 4 3 CCCM 求 平面 AKM 与 ABCD 所成角的大小 14 如图 将边长为 a 的正三角形 ABC 按它的高 AD 为折痕折成一个二面 角 CADC 1 若二面角 CADC 是直二面角 求 C C 的长 2 求 C A 与平面 CD C 所成的角 3 若二面角 CADC 的平面角为 120 求二面角 DCCA 的平面角的正 切值 5 参考答案 解 由已知条件 D 是 BC 的中点 CD BD 2 又 ADC 是正三角形 AD CD BD 2 D 是 ABC 之外心又在 BC 上 ABC 是以 BAC 为直角的三角形 AB AC 又 PC 面 ABC PA AB 三垂线定理 PAC 即为二面角 P AB C 之平面角 易求 PAC 30 2 解 BS BC 又 DE 垂直平分 SC BE SC SC 面 BDE BD SC 又 SA 面 ABC SA BD BD 面 SAC BD DE 且 BD DC 则 EDC 就是所要求的平面角 设 SA AB a 则 BC SB a 且 AC 23 D P C A B E D B A S C 6 易证 SAC DEC CDE SAC 60 3 解 取 OC 之中点 N 则 MN PO PO 面 ABCD MN 面 ABCD 且 MN PO 2 2 过 N 作 NR BD 于 R 连 MR 则 MRN 即为二面角 M BD C 的平面角 过 C 作 CE BD 于 S 则 RN CE 在 Rt BCD 中 CD BC BD CE 2 1 5 8 BD BCCD CE 5 4 RN 2 5 RN MN MRNtan 2 5 arctanMRN 4 解 过 A 作 AE CB 的延长线于 E 连结 DE 面 ABC 面 BCD AE 面 BCD E 点即为点 A 在面 BCD 内的射影 EBD 为 ABD 在面 BCD 内的射影 设 AB a 则 AE DE ABsin60 a 2 3 AD 4 1 ABDcos 2 6 sin ABD 4 15 又 22 ABD a 8 15 4 15 a 2 1 S a 2 1 BE S R N M O B D P A C 7 2 BDE a 8 3 a 2 1 a 2 3 2 1 S 5 5 S S cos ABD BDE 5 解 设边长为 a 易证 ANC N 是菱形 且 MN A C a2a3 AMC N 2 a 2 6 AC 2 1 MN 由于 AMC N 在面 ABCD 上的射影即 为正方形 ABCD ABCD 2 a 3 6 a 2 6 a cos 2 2 1 3 6 arccos 1 取 CC 的中点 M 连结 DM 则平行四边形 DM C N 是四边形 AMC N 在 CC D D 上的射影 DM C M 2 a 2 1 6 6 a 2 6 a 2 1 cos 2 2 2 6 6 arccos 2 6 解 作 DF AB 于 F CE AB 于 E AC CD 1 ABC 30 AD BC 23 AB 2 BD 2 在 Rt ABC 中 D B D A C B A C M N B F E A C D 8 2 3 2 31 AB BCAC CE 同理 1 2 22 AB BDAD DF 1DFBDBF 22 2 1 CEACAE 22 2 1 2 1 12EF cosDFEF2EFDFCECD 2222 3 3 cos 即所求角的大小为 3 3 arccos 7 解 由已知条件 BAC 90 AB AC 设 BC 的中点设为 O 则 OA OC 3 BC 32 2 3 3 3230tanBCDC 0 cosCDAO2CDOCAOAD 2222 解之得 2 1 cos 150 9 解析 1 设 O 是 AC BD 的交点 连结 EO ABCD 是菱形 O 是 AC BD 的中点 E 是 PA 的中点 EO PC 又 PC 平面 ABCD EO 平面 ABCD EO 平面 BDE 平面 BDE 平面 ABCD 2 EO PC PC 平面 PBC EO 平面 PBC 于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离 作 OF BC 于 F EO 平面 ABCD EO PC PC 平面 PBC 平面 PBC 平面 ABCD 于是 OF 平 面 PBC OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离 D O A B C 9 由条件可知 OB 2 a OF 2 a 2 3 4 3 a 则点 E 到平面 PBC 的距离为 4 3 a 3 过 O 作 OG EB 于 G 连接 AG OE AC BD AC AC 平面 BDE AG EB 三垂线定理 AGO 是二面角 A EB D 的平面角 OE 2 1 PC 2 1 a OB 2 3 a EB a OG EB OBOE 4 3 a 又 AO 2 1 a tan AGO OG AO 3 32 AGO arctan 3 32 评析 本题考查了面面垂直判定与性质 以及利用其性质求点到面距离 及二面角的求法 三垂线定理及逆定理的应用 10 设 G 在底面 ABCD 上的射影为 H H BD DD GH 1 BD GB 1 3 2 GH 3 2 作 HM EF 于 M 连 GM 由三垂线定理知 GM EF 则 GMH 就是平面 BFG 与底 面 ABCD 所成的二面角的平面角 tan HM GH 下面求 HM 的值 建立如图所示的直角坐标系 据题设可知 H 3 1 3 2 E 4 1 0 F 1 2 1 10 直线 EF 的方程为 0 2 1 0 y 4 1 1 4 1 x 即 4x 6y 1 0 由点到直线的距离公式可得 HM 22 64 1 3 2 6 3 1 4 136 11 tg 3 2 11 136 11 134 arctg 11 134 说明 运用解析法来求 HM 的值是本例的巧妙所在 11 分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识 解 1 AC BC E 为 AB 中点 CE AB 又 ABC A1B1C1 为直棱柱 CE 面 AA1BB 连结 EF 由于 AB 2AA1 AA1FE 为正方形 AF A1E 从而 AF A1C 2 设 AF 与 A1E 交于 O 连结 CO 由于 AF A1E 知 AF 面 CEA1 COE 即为二面角 C AF B 的平面角 AB 2AA1 2a AC BC 3 a CE 2a OE 2 2 a tan COE a a 2 2 2 2 二面角 C AF B 的大小是 arctan2 12 解析 平面 ABCD 平面 1111 DCBA 平面 CAB1 与平面 1111 DCBA 的交线 l 为 过点 1 B 且平行于 AC 的直线 直线 l 就是二平面 CAB1 与 1111 DCBA 所成二面角的棱 又 1 AA 平面 1111 DCBA 过 1 A 作 AH l 于 H 连结 AH 则 1 AHA 为二面角 1 AlA 的 11 平面角 可求得 2 5 tan 1 AHA 因此所求角的大小为 2 5 arctan 或 2 5 arctan 14 解析 1 若 90DCC AC a aCDDC 2 1 aCC 2 2 2 CDA