《概率论与数理统计》习题三答案

1 概率论与数理统计 习题及答案 习题三习题三 1 将一硬币抛掷三次 以 X 表示在三次中出现正面的次数 以 Y 表示三次中出现正面次数 与出现反面次数之差的绝对值 试写出 X 和 Y 的联合分布律 解解 X 和 Y 的联合分布律如表 0123 10 1 3 1113 C 2228 A 2 3 111 C3 8 222 A 0 31 8 001111 2228 2 盒子里装有 3 只黑球 2 只红球 2 只白球 在其中任取 4 只球 以 X 表示取到黑球的只 数 以 Y 表示取到红球的只数 求 X 和 Y 的联合分布律 解解 X 和 Y 的联合分布律如表 0123 000 22 32 4 7 C C3 C35 A 31 32 4 7 C C2 C35 A 10 112 322 4 7 C C C6 C35 AA 211 322 4 7 C C C12 C35 AA 31 32 4 7 C C2 C35 A 2P 0 黑 2 红 2 白 224 227 1 C C C 35 A 121 322 4 7 C C C6 C35 AA 22 32 4 7 C C3 C35 A 0 3 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 F x y 0 2 0 2 0 sinsin 他他 yxyx 求二维随机变量 X Y 在长方形域内的概率 36 4 0 yx 解解 如图 0 3 2 4 63 PXY 公式 0 0 4 34 636 FFFF X Y X Y 2 sinsinsinsinsin0 sinsin0 sin 434636 2 31 4 AAAA 题 3 图 说明 也可先求出密度函数 再求概率 4 设随机变量 X Y 的分布密度 f x y 0 0 0 43 他他 yxA yx e 求 1 常数 A 2 随机变量 X Y 的分布函数 3 P 0 X 1 0 Y 2 解解 1 由 34 00 d ded d1 12 xy A f x yx yAx y 得 A 12 2 由定义 有 d d yx F x yf u vu v 34 34 00 12ed d 1 e 1 e 0 0 0 0 yy uvxy u vyx 其他 3 01 02 PXY 12 34 38 00 01 02 12ed d 1 e 1 e 0 9499 xy PXY x y 5 设随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 0 42 20 6 他他 yxyxk 1 确定常数 k 2 求 P X 1 Y 3 3 求 P X 1 5 4 求 P X Y 4 解解 1 由性质有 3 24 02 d d 6 d d81 f x yx ykxyy xk 故 1 8 R 2 13 1 3 d dP XYf x yy x 13 02 13 6 d d 88 kxyy x 3 1 1 5 1 5 d da d d xD P Xf x yx yf x yx y 如图 1 54 02 127 d 6 d 832 xxyy 4 2 4 4 d d d d X YD P XYf x yx yf x yx y 如图b 24 02 12 d 6 d 83 x xxyy 题 5 图 6 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 X 在 0 0 2 上服从均匀分布 Y 的密度函数为 fY y 0 0 5 5 他他 y y e 求 1 X 与 Y 的联合分布密度 2 P Y X 题 6 图 解解 1 因 X 在 0 0 2 上服从均匀分布 所以 X 的密度函数为 1 00 2 0 2 0 X x fx 其他 而 4 5 5e 0 0 y Y y fy 其他 所以 XY f x y X YfxfyA独立 55 1 5e25e 00 20 0 2 0 0 yy xy 且 其他 2 5 d d25ed d y y xD P YXf x yx yx y 如图 0 20 2 55 000 1 d25ed 5e5 d e0 3679 x yx xyx 7 设二维随机变量 X Y 的联合分布函数为 F x y 0 0 0 1 1 24 他他 yx yx ee 求 X Y 的联合分布密度 解解 42 2 8e 0 0 0 xy xyF x y f x y x y 其他 8 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 4 8 2 01 0 0 yxxyx 其他 求边缘概率密度 解解 d X fxf x yy x 2 0 4 8 2 d2 4 2 01 0 0 yxyxxx 其他 d Y fyf x yx 1 2 y 4 8 2 d2 4 34 01 0 0 yxxyyyy 其他 5 题 8 图 题 9 图 9 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 0 0 他他 eyx y 求边缘概率密度 解解 d X fxf x yy e de 0 0 0 yx x yx 其他 d Y fyf x yx 0 e de 0 0 0 y yx xyy 其他 题 10 图 10 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 0 1 22 他他 yxycx 1 试确定常数 c 2 求边缘概率密度 解解 1 d d d d D f x yx yf x yx y 如图 2 11 2 1 4 dd1 21 x xcx y yc 得 21 4 c 2 d X fxf x yy 6 2 1 242 2121 1 11 d 84 0 0 x xxxx y y 其他 d Y fyf x yx 5 2 2 217 d 01 42 0 0 y y x y xyy 其他 11 设随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 0 10 1 他他 xxy 求条件概率密度 fY X y x fX Y x y 题 11 图 解解 d X fxf x yy 1d2 01 0 x x yxx 其他 1 1 1d1 10 d1d1 01 0 y Y y xyy fyf x yxxyy 其他 所以 1 1 2 0 Y X X yxf x y fy xx fx 其他 7 1 1 1 1 1 1 0 X Y Y yx y f x y fx yyx fyy 其他 12 袋中有五个号码 1 2 3 4 5 从中任取三个 记这三个号码中最小的号码为 X 最 大的号码为 Y 1 求 X 与 Y 的联合概率分布 2 X 与 Y 是否相互独立 解解 1 X 与 Y 的联合分布律如下表 345 i P Xx 1 3 5 11 C10 3 5 22 C10 3 5 33 C10 6 10 20 3 5 11 C10 3 5 22 C10 3 10 300 2 5 11 C10 1 10 i P Yy 1 10 3 10 6 10 2 因 6161 1 3 1 3 101010010 P XP YP XY A 故 X 与 Y 不独立 13 设二维随机变量 X Y 的联合分布律为 2 5 8 0 4 0 8 0 15 0 30 0 35 0 05 0 12 0 03 1 求关于 X 和关于 Y 的边缘分布 2 X 与 Y 是否相互独立 解解 1 X 和 Y 的边缘分布如下表 258P Y yi 0 40 150 300 350 8 0 80 050 120 030 2 i P Xx 0 20 420 38 Y X X Y X Y 8 2 因 2 0 4 0 2 0 8P XP Y A0 160 15 2 0 4 P XY 故 X 与 Y 不独立 14 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量 X 在 0 1 上服从均匀分布 Y 的概率密度为 fY y 0 0 2 1 2 他他 y y e 1 求 X 和 Y 的联合概率密度 2 设含有 a 的二次方程为 a2 2Xa Y 0 试求 a 有实根的概率 解解 1 因 1 01 0 X x fx 其他 2 1 e 1 2 0 y Y y fy 其他 故 2 1 e01 0 2 0 y XY xy f x y X Yfxfy A独立 其他 题 14 图 2 方程有实根的条件是 2 20aXaY 2 2 40XY 故 X2 Y 从而方程有实根的概率为 2 2 d d xy P XYf x yx y 2 1 2 00 1 ded 2 12 1 0 0 1445 x y xy 15 设 X 和 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命 以小时计 并设 X 和 Y 相互独立 且服 从同一分布 其概率密度为 f x 0 1000 1000 2 他他 x x 9 求 Z X Y 的概率密度 解解 如图 Z 的分布函数 Z X FzP ZzPz Y 1 当 z 0 时 0 Z Fz 2 当 0 z0 的泊松分布 每位乘客在中途下车的概率 为 p 0 p 1 且中途下车与否相互独立 以 Y 表示在中途下车的人数 求 1 在 发车时有 n 个乘客的条件下 中途有 m 人下车的概率 2 二维随机变量 X Y 的概率分布 解解 1 C 1 0 0 1 2 mmn m n P Ym Xnppmn n Y X 15 2 P Xn YmP Xn P Ym Xn A e C 1 0 1 2 mmn mn n ppnmn n n A 24 设随机变量 X 和 Y 独立 其中 X 的概率分布为 X 而 Y 的概率密度为 f y 7 03 0 21 求随机变量 U X Y 的概率密度 g u 解解 设 F y 是 Y 的分布函数 则由全概率公式 知 U X Y 的分布函数为 0 3 1 0 7 2 G uP XYuP XYu XP XYu X 0 3 1 1 0 7 2 2 P YuXP YuX 由于 X 和 Y 独立 可见 0 3 1 0 7 2 G uP YuP Yu 0 3 1 0 7 2 F uF u 由此 得 U 的概率密度为 0 3 1 0 7 2 g uG uF uF u 0 3 1 0 7 2 f uf u 25 25 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且均服从区间 0 3 上的均匀分布 求 P max X Y 1 解解 因为随即变量服从 0 3 上的均匀分布 于是有 1 03 3 0 0 3 x f x xx 1 03 3 0 0 3 y f y yy 因为 X Y 相互独立 所以 1 03 03 9 0 0 0 3 3 xy f x y xyxy 推得 1 max 1 9 PX Y 26 设二维随机变量 X Y 的概率分布为 1 0 1 1 0 a 0 0 2 0 1 b 0 2 X Y 16 10 0 1 c 其中 a b c 为常数 且 X 的数学期望 E X 0 2 P Y 0 X 0 0 5 记 Z X Y 求 1 a b c 的值 2 Z 的概率分布 3 P X Z 解解 1 由概率分布的性质知 a b c 0 6 1 即 a b c 0 4 由 可得 0 2E X 0 1ac 再由 0 0 0 1 00 0 5 0 0 5 P XYab P YX P Xab 得 0 3ab 解以上关于 a