线性代数B-2.5 矩阵的秩+习题s.ppt

线性代数B 任课教师 胡凤珠 秩 rank 是矩阵更深层的性质 是矩阵理论的核心概念 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在1879年首先提出的 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存在性 向量组的线性相关性等问题的重要工具 矩阵的秩 课本 2 6矩阵的秩 一 矩阵的秩的概念 二 矩阵的秩的求法 r 行阶梯形矩阵 r 行最简形矩阵 c 标准形 形式不唯一 形式唯一 矩阵常用的三种特殊的等价形式 标准形由数r完全确定 r也就是A的行阶梯形中非零行的行数 这个数便是矩阵A的秩 一 矩阵的秩的概念 r 行阶梯形矩阵 r 行最简形矩阵 c 标准形 形式不唯一 形式唯一 矩阵常用的三种特殊的等价形式 由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明 也可以借助行列式来定义矩阵的秩 一 矩阵的秩的概念 1 k阶子式 例如 是A的一个二阶子式 定义1在m n矩阵A中 任取k行k列位于这些行列交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式 定义2设在m n矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D 且所有r 1阶子式 如果存在的话 全等于0 那么数r称为矩阵A的秩 D称为矩阵A的最高阶非零子式 2 矩阵的秩 提示 例1和例2综合求矩阵A和B的秩 其中 在A中 容易看出一个2阶子式 A的3阶子式只有一个 A 经计算可知 A 0 因此r A 2 以3个非零行的首非零元为对角元的3阶子式 是一个上三角行列式 它显然 24不等于0 因此r B 3 B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵 其所有4阶子式全为零 对于行阶梯形矩阵 它的秩就等于非零行的行数 3 矩阵的秩的性质 1 若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则r A s 若A中所有t阶子式全为0 则r A t 2 若A为m n矩阵 则0 r A min m n r Am n min m n 4 对于n阶矩阵A 当 A 0时 r A n 当 A 0时 r A n 可逆矩阵 非奇异矩阵 又称为满秩矩阵 不可逆矩阵 奇异矩阵 又称为降秩矩阵 可叫做满秩矩阵 否则叫做降秩矩阵 3 r A r AT 在秩是r的矩阵中 有没有等于0的r 1阶子式 有没有等于0的r阶子式 解答 可能有 例如 r A 3 是等于0的2阶子式 是等于0的3阶子式 补充例3 定理1若A与B等价 则r A r B 根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等 行 变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩 二 矩阵的秩的求法 问题 经过初等变换后 矩阵的秩变吗 任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵 即初等变换不改变矩阵的秩 因为 解 所以r A 3 为求A的最高阶非零子式 考虑由A的1 2 4列构成的矩阵 又因A0的子式 所以这个子式是A的最高阶非零子式 行变换 可见r A0 3 行阶梯形矩阵 例5 即AB与B等价 例6 小结 2 初等变换法 1 矩阵的秩的概念 2 求矩阵的秩的方法 1 定义法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 寻找矩阵中非零子式的最高阶数 P67 31 练习题P67 31 32 P67 31 练习题P67 31 32 P67 31 练习题P67 31 32 继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响 结果同解法一 P67 32 练习题P67 31 32 P67 32 练习题P67 31 32 第一章 P21 2 P21 5 3 P21 5 3 习题1 5 P25 5 4 P40 3 3 4 3 4 P40 4 6 P40 6 作业 P46 1 1 7 1 P66 18 P46 1 1 求下列矩阵的逆矩阵 7 1 P66 18 P66 22 分块矩阵 P60 4 4 矩阵的初等变换 P60 4 4