二次函数的基础知识和经典练习题

中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 二次函数二次函数 一 基础知识 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 二次函数的表示方法 数表法 图像法 表达式 3 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy 0 a kaxy 2 0 a 顶点式 2 hxay 0 a khxay 2 0 a 它们的图像都是对称轴平行于 或重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 4 各种形式的二次函数的图像性质如下表 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx hk cbxaxy 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 1 抛物线中的系数cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛物线的开口方向 aa 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 当时 抛物线开口向上 顶点为其最低点 当0 a 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 0 a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 当时 对称轴为轴 当 同号时 对称轴ba0 byab 在轴左侧 当 异号时 对称轴在轴右侧 yaby 3 决定抛物线与轴交点位置 当时 抛物线经过原点 当时 相交于轴的正cy0 c0 cy 半轴 当时 则相交于轴的负半轴 0 cy 2 求抛物线的顶点 对称轴的方法 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 1 公式法 顶点是 对称轴是直线 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得cbxaxy 2 khxay 2 到顶点为 对称轴是直线 其中 hkhx a bac k a b h 4 4 2 2 3 运用抛物线的对称性 抛物线是轴对称图形 所以对称点的连线的垂直平分线就是抛物线的 对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 3 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 两点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 4 抛物线与轴的交点x 设二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次方程cbxaxy 2 x 1 x 2 x 的两个实数根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来0 2 cbxaxx 判定 1 抛物线与轴有两个交点 2 40bac x 2 抛物线与轴有一个交点 顶点在轴上 2 40bac xx 3 抛物线与轴没有交点 2 40bac x 5 二次函数的应用 一 的性质cbxaxy 2 1 已知二次函数与 x 轴有交点 则 k 的取值范围是 77 2 xkxy 解 2 二次函数的图象如图 则直线的图象不经过第 象限 cbxaxy 2 bcaxy 理由 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 3 二次函数的图象如图 试判断 a b c 和的符号 cbxaxy 2 解 4 二次函数的图象如图 下列结论 1 c 0 2 b 0 3 cbxaxy 2 4a 2b c 0 4 a c 2 0 其中正确的是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 理由 5 二次函数的图象如图 那么 abc 2a b a b c a b c 这四个代数式中 cbxaxy 2 值为正数的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 理由 6 已知直线的图象经过第一 二 三象限 那么的图象为 baxy 1 2 bxaxy A B C D 7 已知函数 当函数值 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围是 4 2 1 2 xxy A x 1B x 1C x 2D 2 x 4 8 二次函数 y a x k 2 k 当 k 取不同的实数值时 图象顶点所在的直线是 A y xB x 轴C y xD y 轴 9 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如右图所示 则 A a 0 c 0 b2 4ac 0 B a 0 c 0 b2 4ac 0 C a 0 c 0 b2 4ac 0 D a 0 c 0 b2 4ac 0 10 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象如下图所示 则 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 A b 0 c 0 0 B b 0 c 0 0 C b 0 c 0 0 D b 0 c 0 0 11 二次函数 y mx2 2mx 3 m 的图象如下图所示 那么 m 的取值范围是 A m 0B m 3 C m 0D 0 m 3 12 在同一坐标系内 函数 y kx2和 y kx 2 k 0 的图象大致如图 13 函数 ab 0 的图象在下列四个示意图中 可能正确的是 x ab ybaxy 2 2 1 14 图中有相同对称轴的两条抛物线 下列关系不正确的是 A h mB k n C k nD h 0 k 0 15 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 有下列结论 abc 0 a b c 2 b 1 其中正确的结论是 2 1 a 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 A B C D 16 下列命题中 正确的是 若 a b c 0 则 b2 4ac 0 若 b 2a 3c 则一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根 若 b2 4ac 0 则二次函数 y ax2 bx c 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3 若 b a c 则一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根 A B C D 二 的最值cbxaxy 2 1 心理学家发现 学生对概念的接受能力 y 和提出概念所用的时间 x 单位 分 之间大体满足函数关系式 0 x 30 y 的值越大 表示接受能力越强 试根据关系式回答 436 21 0 2 xxy 1 若提出概念用 10 分钟 学生的接受能力是多少 2 概念提出多少时间时 学生的接受能力达到最强 2 某地要建造一个圆形喷水池 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA O 恰在水面中心 安置在柱子顶 端 A 处的喷头向外喷水 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 且在过 OA 的任一平面上 抛物线 形状如图 1 所示 图 2 建立直角坐标系 水流喷出的高度 y 米 与水平距离 x 米 之间的关系是 请回答下列问题 4 5 2 2 xxy 1 柱子 OA 的高度是多少米 2 喷出的水流距水平面的最大高度是多少米 3 若不计其他因素 水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落 在池外 3 体育测试时 初三一名高个学生推铅球 已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分 根2 12 1 2 xxy 据关系式回答 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 1 该同学的出手最大高度是多少 2 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少 3 该同学的成绩是多少 4 如图 正方形 EFGH 的顶点在边长为 a 的正方形 ABCD 的边上 若 AE x 正方形 EFGH 的 面积为 y 1 求出 y 与 x 之间的函数关系式 2 正方形 EFGH 有没有最大面积 若有 试确定 E 点位置 若没有 说明理由 三 函数解析式的求法 1 1 某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚 尺寸如图 1 根据如图直角坐标系求该抛物线的解析式 2 若菜农身高为 1 60 米 则在他不弯腰的情况下 在棚内的横向活动范围有几米 精确到 0 01 米 2 根据下列条件求抛物线的解析式 1 图象过点 1 6 1 2 和 2 3 2 图象的顶点坐标为 1 1 且与 y 轴交点的纵坐标为 3 3 图象过点 1 5 对称轴是直线 x 1 且图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 4 3 在一场足球赛中 一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门 当球飞行的水平距离为 6 米时 球到达最 高点 此时球高 3 米 已知球门高为 2 44 米 问能否射中球门 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 4 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A 2 0 B 3 0 两点 且函数有最大值是 2 1 求二次函数的图象的解析式 2 设次二次函数的顶点为 P 求 ABP 的面积 5 如图 1 求该抛物线的解析式 2 根据图象回答 当 x 为何范围时 该函数值大于 0 6 已知抛物线经过 A 3 0 B 0 3 C 2 0 三点 1 求这条抛物线的解析式 2 如果点 D 1 m 在这条抛物线上 求 m 值和点 D 关于这条抛物线对称轴的对称点 E 的坐标 并求出 tan ADE 的值 四 函数解析式的求法 2 1 已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜 从四月一日起开始上市的 30 天内 大蒜每 10 千克的批发价 y 元 是 上市时间 x 天 的二次函数 有近几年的行情可知如下信息 x 天 51525 y 元 151015 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 大蒜每 10 千克的批发价为 10 8 元时 问此时是在上市的多少天 2 如图 某建筑物从 10m 高的窗口 A 用水管向外喷水 喷出的水呈抛物线状 如果抛物线的最高点 M 离墙 1m 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 离地面m 求水流落点 B 离墙的距离 OB 的长 3 40 3 一男生推铅球 成绩为 10 米 已知该男生的出手高度为米 且当铅球运行的水平距离为 4 米时达到最大高 3 5 度 试求铅球运行的抛物线的解析式 4 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物 大门的地面宽度为 8 米 两侧距地面 3 米高处各有一个壁灯 两壁 灯之间的水平距离为 6 米 试求厂门的高度 5 抛物线经过 A B C 三点 顶点为 D 且与 x 轴的另一个交点为 E 1 求该抛物线的解析式 2 求四边形 ABDE 的面积 3 求证 AOB BDE 6 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过一次函数的图象与 x 轴 y 轴的交点 并也经过3 2 3 xy 1 1 点 求这个二次函数解析式 并求 x 为何值时 有最大 最小 值 这个值是什么 7 已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴的两个交点分别为 A m 0 B n 0 且 4 nm 3 1 n m 中小学 1 对 1 课外辅导专家 绿波帝欧校区电话 绿波帝欧校区电话 39638145 山东路校区电话 山东路校区电话 39639143 大纺校区电话大纺校区电话 39638142 1 求此抛物线的解析式 2 设此抛物线与 y 轴的交点为 C 过 C 作一条平行 x 轴的直线交抛物线于另一点 P 求 ACP 的面积 8 已知抛物线 y ax2 bx c 经过点 A 1 0 且经过直线 y x 3 与 x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C 1 求抛物线的解析式 2 求抛物线的顶点坐标 3 若点 M 在第四象限内的抛物线上 且 OM BC 垂足为 D 求点 M 的坐标 9 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售 对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研 结果如 下