巧用长方体模型辅助解题

1 A C D 巧用长方体模型辅助解题巧用长方体模型辅助解题 耒阳市第一中学耒阳市第一中学 谷根文谷根文 长方体因其图形的特殊性 及其几何位置的特殊性 在解立体几何中 若能借长方体因其图形的特殊性 及其几何位置的特殊性 在解立体几何中 若能借 助其特殊性解题 往往会带来意想不到的效果 助其特殊性解题 往往会带来意想不到的效果 下面就几类题型谈谈 下面就几类题型谈谈 一一 在三视图中的巧用 在三视图中的巧用 例 例 2012 2012 北京 北京 某三棱锥的三视图如图所示 该三梭锥的表某三棱锥的三视图如图所示 该三梭锥的表 面积是 面积是 A 28 65 B 30 65 C 56 125 D 60 125 解析 本题学生感觉到比较困难的是还原该几何体 若能把其放到长方体中 解析 本题学生感觉到比较困难的是还原该几何体 若能把其放到长方体中 则还原起来比较容易 即借助一个长为则还原起来比较容易 即借助一个长为 5 5 宽为 宽为 4 4 高为 高为 4 4 的长方体即可 的长方体即可 如图 如图 B 根据三视图写上可以画出上图的立体图形 因此问题转化为求三棱锥根据三视图写上可以画出上图的立体图形 因此问题转化为求三棱锥 A BCDA BCD 的的 表面积 这样便很容易得出答案 表面积 这样便很容易得出答案 二 在特殊三棱锥中的巧用 二 在特殊三棱锥中的巧用 例例 2 2 如图 正四面体如图 正四面体 ABCD 的顶点的顶点 A B C 分别在两两垂直的三条射线分别在两两垂直的三条射线 Ox Oy Oz 上 给出下列四个命题 上 给出下列四个命题 多面体多面体 O ABC 是正三棱锥 是正三棱锥 x 2 直线直线 OB 平面平面 ACD 直线直线 AD 与与 OB 所成的角为所成的角为 45 二面角二面角 D OB A 为为 45 B D O A C Y Z 其中真命题有 其中真命题有 写出所有真命题的序号 写出所有真命题的序号 解析 解析 此题若直接去解 其难度较大 但我们发现此题若直接去解 其难度较大 但我们发现 A B C 分别在两两垂直的分别在两两垂直的 三条射线三条射线 OX OY OZ 上 若以上 若以 O 为长方体的一个顶点 放到一个具体的长方为长方体的一个顶点 放到一个具体的长方 体中 如图所示 不难发现体中 如图所示 不难发现 是正确的是正确的 三三 在球中的巧用在球中的巧用 例例 3 3 已知正三棱锥 已知正三棱锥P P ABCABC 点点P P A A B B C C都在半径为都在半径为的球面上的球面上 若若PAPA PBPB PCPC两两 3 3 两相互垂直两相互垂直 则球心到截面则球心到截面ABCABC的距离为的距离为 解析 此题为解析 此题为 20122012 年辽宁卷的高考题 其难点是如何画出此三棱锥在球中的位年辽宁卷的高考题 其难点是如何画出此三棱锥在球中的位 置 及球心与面置 及球心与面 ABCABC 的位置关系难以确定 但若我们以的位置关系难以确定 但若我们以 PAPA PB PCPB PC 分别为分别为 棱长为棱长为 A A 的长方体 即如图所示 的长方体 即如图所示 X 3 E P A A1 B C1 B C E1 O O1 P D1 B1 C 则球心则球心 O O 为为 PDPD1 1中点 中点 O O1 1O 1 2POO 1 2PO1 1 3a 3a 又 又 PDPD1 1 a 2 a 2 3 33 33 3 解得解得 a 2a 2 OO OO1 1 3 3 3 3 四 在空间角中的巧用四 在空间角中的巧用 例例 4 4 平面平面 P P 与平面与平面 Q Q 所成的二面角是锐角所成的二面角是锐角 直线 直线 ABAB 在平面在平面 P P 且与二面角的且与二面角的 棱成的角为锐角棱成的角为锐角 又 又 ABAB 和平面和平面 Q Q 成的角为成的角为 则 则 之间的某一三之间的某一三 角函数关系为角函数关系为 D A B1 解析 此题若直接去画图求解比较麻烦 但若以一个长方体来辅助解决 则比解析 此题若直接去画图求解比较麻烦 但若以一个长方体来辅助解决 则比 4 C1 较容易 如图 则上述问题转化在长方体中 面较容易 如图 则上述问题转化在长方体中 面 ABCEABCE 为平面为平面 P P 面 面 ACAC1 1B B1 1E E1 1为平面为平面 Q Q 二面角 二面角 B ACB AC1 1 B B1 1为为 BAC BAC1 1 BAB BAB1 1 则则 之间的某一三角函数关系为之间的某一三角函数关系为 AB AE sin EE AB AE sin EE1 1 sin sin sin EEsin EE1 1 sin sin sin sin 又又 AB BBAB BB1 1 sin sin EE EE1 1 sin sin BBsin sin BB1 1 sin sin 解得解得 sin sin si