解题方法：构造角平分线借助其性质解题

1 1 4 4 构造角平分线借助其性质解题构造角平分线借助其性质解题 在解决三角形的问题中 如果已知条件中涉及到角的平分线 我们则 可以考虑利用角的平分线的性质解题 现举例如下 一 证明线段相等一 证明线段相等 例 1 如图 1 在 ABC 中 BAC 的角平分线 AD 平分底边 BC 求证 AB AC 分析 根据已知可知 AD 是 BAC 的平分线 可通过点 D 作 BAC 的垂 线 根据角平分线的性质 结合三角形的面积进行证明 证明 过点 D 作 DE AB DF AC 垂足分别为 E F 因为 DA 为 BAC 的平分线 所以 DE DF 又因为 AD 平分 BC 所以 BD CD 所以 S ABD S ACD 又 S ABD AB DE S ACD AC DF 2 1 2 1 所以 AB DE AC DF 所以 AB AC 图 1 图 2 二 证明两角的和等于二 证明两角的和等于 180 例 2 已知 如图 2 AC 平分 BAD CD CB AB AD 求证 B D 180 2 2 4 4 分析 因为 AC 是 BAD 的平分线 所以可过点 C 作 BAD 的两边的垂线 构 造直角三角形 通过证明三角形全等解决问题 证明 作 CE AB 于 E CF AD 于 F 因为 AC 平分 BAD 所以 CE CF 在 CBE 和 CDF 中 因为 CE CF CB CD 所以 Rt CBE Rt CDF 所以 B 1 因为 1 ADC 180 所以 B ADC 180 即 B D 180 三 证明角相等三 证明角相等 例 3 如图 3 在 ABC 中 PB PC 分别是 ABC 的外角的平分线 求证 1 2 分析 要证明 AP 是 BAC 的平分线 需要证明点 P 到 BAC 两边的距离 相等 可作 PE AB PG AC PH BC 易证 PE PH PH PG 从而 PE PG 证明 过点 P 作 PE AB 于点 E PG AC 于点 G PH BC 于点 H 因为 P 在 EBC 的平分线上 PE AB PH BC 所以 PE PH 同理可证 PH PG 所以 PG PE 又 PE AB PG AC 所以 PA 是 BAC 的平分线 所以 1 2 3 3 4 4 图 3 图 4 四 证明角的平分线四 证明角的平分线 例 4 如图 4 DA AB CB AB P 是 AB 的中点 PD 平分 ADC 求证 CP 平分 DCB 分析 因为 DA AB PD 平分 ADC 所以可过点 P 作 PE AC 利用角 平分线的性质得到 PE PA 进而可得到 PE PB 证明 过点 P 作 PE DC 垂足于 E 因为 PD 平分 ADC PA AD 所以 PA PE 因为 P 为 AB 的中点 所以 PA PB 所以 PE PB 因为 CB BP CE PE 所以 CP 平分 DCB 五 求角的度数五 求角的度数 例 5 如图 5 在 ABC 中 ABC 100 ACB 20 CE 平分 ACB D 是 AC 上一点 若 CBD 20 求 ADE 的度数 分析 由于 CE 平分 ACB 可过点 E 作 ACB 的两边的垂线 通过证明 DE 是 ADB 的平分线解决问题 解 作 EN CA EM BD EP CB 垂足分别是 N M P 因为 ABD ABC CBD 100 20 80 PBA 180 100 80 所以 PBA ABD 4 4 4 4 因为 EM BD 于 M EP CB 于 P 所以 EP EM 又 CE