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直角坐标系中将三重积分化为三次积分 一 化三重积分为三次积分 如图 得 是x y的函数 注意 三重积分化为三次积分的过程 得到 事实上 得到 事实上 得到 事实上 得到 解 于是 于是 得到 解 于是 解 原式 因此 二 三重积分的变量替换 解 作变换 而 所以 1 利用柱面坐标计算三重积分 规定 简单地说 柱面坐标就是 xoy面上的极坐标 z坐标 柱面坐标与直角坐标的关系为 如图 三坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 从而 所以 如图 柱面坐标系中的体积元素为 于是 再根据V 中z r 的关系 化为三次积分 一般 先对z积分 再对r 最后对 积分 解 1 画 图 2 确定z r 的上下限 将 向xoy面投影 得 或 过 r D做平行于z轴的直线 得 即 过 r D做平行于z轴的直线 得 于是 解 求交线 将 向xoy面投影 得 或 即 过 r D做平行于z轴的直线 得 或 解 将 向xoy面投影 得 或 过 r D做平行于z轴的直线 得 即 或 过 r D做平行于z轴的直线 得 即 规定 2 球面坐标 如图 三坐标面分别为 圆锥面 球面 半平面 球面坐标与直角坐标的关系为 由 所以 球面坐标系中的体积元素为 如图 再根据再V 中 的关系 化为三次积分 一般 先对 积分 再对 最后对 积分 例9用球面坐标计算 其中 解 画 图 确定r 的上下限 1 将 向xoy面投影 得 射线 得 即 将 向xoy面投影 得 在半平面上 任取一 过原点作射线 得 解 轴作半平面 得 即 解 由三重积分的性质 有 例12 计算
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