数学归纳法的应用习题

第 2 课时 数学归纳法的应用 双基达标 限时20分钟 1 利用数学归纳法证明 n N 的过程中 由 1 n 1 1 n 2 1 2n 11 24 n k 递推到 n k 1 时 下列说法正确的是 A 增加了一项 1 2 k 1 B 增加了两项和 1 2k 1 1 2 k 1 C 增加了 B 中的两项 但又减少了一项 1 k 1 D 增加了 A 中的一项 但又减少了一项 1 k 1 解析 当 n k 时 不等式左边为 1 k 1 1 k 2 1 2k 当 n k 1 时 不等式左边为 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 2k 1 1 2k 2 答案 C 8 命题 P n 满足 若 n k k N 成立 则 n k 1 成立 下面说法正确的是 A P 6 成立则 P 5 成立 B P 6 成立则 P 4 成立 C P 4 成立则 P 6 成立 D 对所有正整数 n P n 都成立 解析 由题意知 P 4 成立 则 P 5 成立 若 P 5 成立 则 P 6 成立 所以 P 4 成立 则 P 6 成立 答案 C 9 已知 1 2 3 3 32 4 33 n 3n 1 3n na b c 对一切 n N 都 成立 则 a b c 的值为 解析 等式对一切 n N 均成立 n 1 2 3 时等式成立 即 Error 整理得Error 解得 a b c 1 2 1 4 答案 a b c 1 2 1 4 10 数列 an 中 已知 a1 2 an 1 n N 依次计算出 a2 a3 a4后 an 3an 1 归纳 猜测得出 an的表达式为 解析 a1 2 a2 a3 a4 猜测 an 2 7 2 13 2 19 2 6n 5 答案 an 2 6n 5 11 求证 1 1 n n 2 1 2 1 3 1 2n 1 2 证明 1 当 n 1 时 f 1 1 原不等式成立 1 2 2 设 n k k N 时 原不等式成立 即 1 1 k 成立 k 2 1 2 1 3 1 2k 1 2 当 n k 1 时 f k 1 f k 1 1 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 k 2 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 k 2 1 1 k 2 1 2 k 1 2 f k 1 f k k k 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 1 2 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 1 1 2 f k 1 k 1 即 n k 1 时 命题成立 1 2 综合 1 2 可得 原命题对 n N 恒成立 12 创新拓展 数列 an 满足 Sn 2n an n N 先计算前 4 项后猜想 an 并 用数学归纳法证明 证明 当 n 1 时 S1 2 a1 a1 1 n 2 时 S2 a1 a2 4 a2 a2 3 2 n 3 时 S3 a1 a2 a3 6 a3 a3 7 4 n 4 时 S4 a1 a2 a3 a4 8 a4 a4 15 8 猜想 an 2n 1 2n 1 用数学归纳法证明 当 n 1 时 a1 1 猜想成立 假设 n k 时猜想成立 即 ak 成立 2k 1 2k 1 那么 当 n k 1 时 Sk 1 2 k 1 ak 1 Sk ak 1 2k ak ak 1 2ak 1 2 a