第十一章概率与统计

15 某射手射击 1 次 击中目标的概率是 0 9 他连续射击 4 次 且各次射击是否击中目标 相互之间没有影响 有下列结论 他第 3 次击中目标的概率是 0 9 他恰好击中目标 3 次的概率是 0 93 0 1 他至少击中目标 1 次的概率是 1 0 14 其中正确结论的序号是 写出所有正 确结论的序号 2004 年福建 答案 18 本小题满分 12 分 甲 乙两人参加一次英语口语考试 已知在备选的 10 道试题中 甲能答对其中的 6 题 乙能答对其中的 8 题 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试 至少答对 2 题才 算合格 求甲答对试题数 的概率分布及数学期望 求甲 乙两人至少有一人考试合格的概率 2004 年福建 解 本小题主要考查概率统计的基础知识 运用数学知识解决问题的能力 满分 12 分 解 依题意 甲答对试题数 的概率分布如下 0123 P 30 1 10 3 2 1 6 1 甲答对试题数 的数学期望 E 0 30 1 1 10 3 2 2 1 3 6 1 5 9 设甲 乙两人考试合格的事件分别为 A B 则 P A 3 10 3 6 1 4 2 6 C CCC 120 2060 3 2 P B 3 10 3 8 1 2 2 8 C CCC 120 5656 15 14 因为事件 A B 相互独立 方法一 甲 乙两人考试均不合格的概率为 P BA P A P B 1 3 2 1 15 14 45 1 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 P 1 P BA 1 45 1 45 44 答 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 44 方法二 甲 乙两人至少有一个考试合格的概率为 P P A B P A B P A B P A P B P A P B P A P B 3 2 15 1 3 1 15 14 3 2 15 14 45 44 答 甲 乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 44 21 本小题满分 12 分 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0 3 一旦发生 将造成 400 万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措施 所需的费用分别为 45 万元和 30 万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为 0 9 和 0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请确定预防 方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 2004 年湖北 解答 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力 满分 12 分 解 不采取预防措施时 总费用即损失期望为 400 0 3 120 万元 若单独采取措施甲 则预防措施费用为 45 万元 发生突发事件的概率为 1 0 9 0 1 损失期望值为 400 0 1 40 万元 所以总费用为 45 40 85 万元 若单独采取预防措施乙 则预防措施费用为 30 万元 发生突发事件的概率为 1 0 85 0 15 损失期望值为 400 0 15 60 万元 所以总费用为 30 60 90 万元 若联合采取甲 乙两种预防措施 则预防措施费用为 45 30 75 万元 发生突发 事件的概率为 1 0 9 1 0 85 0 015 损失期望值为 400 0 015 6 万元 所 以总费用为 75 6 81 万元 综合 比较其总费用可知 应选择联合采取甲 乙两种预防措施 可 使总费用最少 5 某公司甲 乙 丙 丁四个地区分别有 150 个 120 个 180 个 150 个销售点 公司 为了调查产品销售的情况 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本 记这 项调查为 在丙地区中有 20 个特大型销售点 要从中抽取 7 个调查其收入和售后服 务等情况 记这项调查为 则完成 这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A 分层抽样法 系统抽样法B 分层抽样法 简单随机抽样法 C 系统抽样法 分层抽样法D 简单随机抽样法 分层抽样法 2004 年湖南 答案 B 14 同时抛物线两枚相同的均匀硬币 随机变量 1 表示结果中有正面向上 0 表示结果中没有正面向上 则 E 2004 年湖南 答案 0 75 18 本小题满分 12 分 2004 年湖南 甲 乙 丙三台机床各自独立地加工同一种零件 已知甲机床加工的零件是一等品而 乙机床加工的零件不是一等品的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 4 1 不是一等品的概率为 甲 丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 12 1 9 2 分别求甲 乙 丙三台机床各自加工零件是一等品的概率 从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 求至少有一个一等品的概率 解 设 A B C 分别为甲 乙 丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件 由题设条件有 9 2 12 1 1 4 1 1 9 2 12 1 4 1 CPAP CPBP BPAP CAP CBP BAP 即 由 得 代入 得 27 P C 2 51P C 22 0 8 9 1 CPBP 解得 舍去 9 11 3 2 或 CP 将 分别代入 可得 3 2 CP 4 1 3 1 BPAP 即甲 乙 丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是 3 2 4 1 3 1 记 D 为从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 至少有一个一等品的事件 则 6 5 3 1 4 3 3 2 1 1 1 1 1 1 CPBPAPDPDP 故从甲 乙 丙加工的零件中各取一个检验 至少有一个一等品的概率为 6 5 18 本小题满分 12 分 一接待中心有 A B C D 四部热线电话 已知某一时刻电话 A B 占线的概率均为 0 5 电话 C D 占线的概率均为 0 4 各部电话是否占线相互之间没有影响 假设该时刻有 部电话占线 试求随机变量 的概率分布和它的期望 2004 年北京 本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念 考查运用概率知识解决实际问题 的能力 满分 12 分 解 P 0 0 52 0 62 0 09 P 1 0 52 0 62 0 52 0 4 0 6 0 3 1 2 C 1 2 C P 2 0 52 0 62 0 52 0 4 0 6 0 52 0 42 0 37 2 2 C 1 2 C 1 2 C 2 2 C P 3 0 52 0 4 0 6 0 52 0 42 0 2 2 2 C 1 2 C 1 2 C 2 2 C P 4 0 52 0 42 0 04 于是得到随机变量 的概率分布列为 01234 P0 090 30 370 20 04 所以 E 0 0 09 1 0 3 2 0 37 3 0 2 4 0 04 1 8 13 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中随机取出 2 个球 设其中有 个红球 则随机变量 的概率分布为 2004 年全国 答案 0 1 0 6 0 3 18 本小题满分 12 分 已知 8 支球队中有 3 支弱队 以抽签方式将这 8 支球队分为 A B 两组 每组 4 支 求 A B 两组中有一组恰有两支弱队的概率 A 组中至少有两支弱队的概率 2004 年全国 答案 本小题主要考查组合 概率等基本概念 相互独立事件和互斥事件等概率的计算 运用数学知识解决问题的能力 满分 12 分 解法一 三支弱队在同一组的概率为 7 1 4 8 1 5 4 8 1 5 C C C C 故有一组恰有两支弱队的概率为 7 6 7 1 1 解法二 有一组恰有两支弱队的概率 7 6 4 8 2 5 2 3 4 8 2 5 2 3 C CC C CC 解法一 A 组中至少有两支弱队的概率 2 1 4 8 1 5 3 3 4 8 2 5 2 3 C CC C CC 解法二 A B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1 由于对 A 组和 B 组来说 至少有两支弱队的概率是相同的 所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 2 1 19 本小题满分 12 分 某同学参加科普知识竞赛 需回答三个问题 竞赛规则规定 每题回答正确得 100 分 回答不正确得 100 分 假设这名同学每题回答正确的概率均为 0 8 且各题回答正确与否相 互之间没有影响 求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望 求这名同学总得分不为负分 即 0 的概率 2004 年全国 答案 本小题主要考查离散型随机变量的分布列 数学期望等概念 以及运用概率统计知 识解 决实际问题的能力 满分 12 分 解 的可能值为 300 100 100 300 P 300 0 23 0 008 P 100 3 0 22 0 8 0 096 P 100 3 0 2 0 82 0 384 P 300 0 83 0 512 012 P 所以的概率分布为 300 100100300 P0 0080 0960 3840 512 根据的概率分布 可得的期望 E 300 0 08 100 0 096 100 0 384 300 0 512 180 这名同学总得分不为负分的概率为 P 0 0 384 0 512 0 896 13 某工厂生产 A B C 三种不同型号的产品 产品数量之比依次为 现用分层5 3 2 抽样方法抽出一个容量为 n 的样本 样本中 A 种型号产品有 16 件 那么此样本的容量 n 2004 年天津 答案 80 18 本小题满分 12 分 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 设随机变量表示所选 3 人中女生 的人数 1 求的分布列 2 求的数学期望 3 求 所选 3 人中女生人数 的概率 2004 年天津 1 答案 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念 考查运用概率知识解决实际 问题的能力 满分 12 分 1 解 可能取的值为 0 1 2 2 1 0 3 6 3 42 k C CC kP kk 所以 的分布列为 012 P 5 1 5 3 5 1 2 解 由 1 的数学期望为 1 5 1 2 5 3 1 5 1 0 E 3 解 由 1 所选 3 人中女生人数 的概率为1 5 4 1 0 1 PPP 18 本题满分 12 分 盒子中有大小相同的球 10 个 其中标号为 1 的球 3 个 标号为 2 的球 4 个 标号为 5 的球 3 个 第一次从盒子