函数的奇偶性及奇偶函数的图象.ppt

函数奇偶性 函数y f x 在定义域A内任取一个x A 且 x A 1 都有f x f x 2 都有f x f x 3 都有f x f x 且f x f x 则f x 是偶函数 则f x 是非奇非偶函数 则f x 是奇函数 问题 1 奇偶性在什么范围内考虑的 2 在定义域A内任取一个x 则 x一定在定义域A内吗 注意 1 奇偶性在整个定义域内考虑 2 定义域若不是关于原点对称的区间 则f x 是非奇非偶函数 3 考虑函数奇偶性必需先求出定义域 例1 判断下列函数是否有奇偶性 1 f x 6x6 3x2 12 f x x3 x5 解 此函数的定义域为R f x 6 x 6 3 x 2 1 6x6 3x2 1 f x f x 是偶函数 解 此函数的定义域为R f x x 3 x 5 x3 x5 x3 x5 f x f x 是奇函数 3 f x x2 2x 44 f x 解 此函数的定义域为R f x x 2 2 x 4 x2 2x 4 f x 是非奇非偶函数 解 此函数的定义域为 2 f x 是非奇非偶函数 例2 判断函数f x 的奇偶性 解 由题 函数的定义域为 1 0 0 1 此时f x f x 故f x 是奇函数 判定函数的奇偶性的步骤 1 先求函数的定义域 若定义域不是关于原点对称的区间 则函数为非奇非偶函数若定义域是关于原点对称的区间 进入第二步 2 计算f x 化向f x 的解析式 若等于f x 则函数是偶函数若等于 f x 则函数是奇函数若不等于 则函数是非奇非偶函数3 结论 奇偶函数的图象 想一想 观察下列函数的奇偶性 并指出图象有何特征 奇函数 关于原点成中心对称 关于y轴成轴对称 偶函数 非奇非偶函数 简称关于原点对称 简称关于y轴对称 不关于原点及y轴对称 定理 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 反之 如果一个函数的图象关于原点 y轴 对称 那么这个函数是奇 偶 函数 此定理的作用 简化函数图象的画法 1 若函数是奇函数 2 若函数是偶函数 例4 作出函数y x2 x 6的图象 解 当x 0时 y x2 x 6 当x 0时 y x2 x 6 若利用对称法作图 先作出x 0的图象 再用对称法作出另一半的图象 可知函数是偶函数 例5 已知f x 是奇函数 当x 0时 f x x2 2x 求当x 0时 f x 的解析式 并画出此函数f x 的图象 解 f x 是奇函数 f x f x 即f x f x 任意取x 0时 则 x 0 x 0时f x x2 2x f x x 2 2 x x2 2x f x f x x2 2x 例6 已知f x 是偶函数 而且在 0 上是增函数 问f x 在 0 上是增函数还是减函数 解 设0 x1 x2 在所证区间上取值 则 x2 x1 0 f x 在 0 上是增函数 f x2 f x1 f x 是偶函数 f x2 f x1 故f x 在 0 上是减函数 课堂作业 1 已知f x 是奇函数 而且在 0 上是增函数 问f x 在 0 上是增函数还是减函数 2 作出下列函数的图象 1 y 2x 2 y