数列解题技巧

1 第四讲第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧数列与探索性新题型的解题技巧 命题趋向命题趋向 从从 2007 年高考题可见数列题年高考题可见数列题命题有如下趋势 1 等差 比 数列的基本知识是必考内容 这类问题既有选择题 填空题 也有解答题 难度易 中 难 三类皆有 2 数列中 an与 Sn之间的互化关系也是高考的一个热点 3 函数思想 方程思想 分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到 解答试题时要注意灵活应 用 4 解答题的难度有逐年增大的趋势 还有一些新颖题型 如与导数和极限相结合等 因此复习中应注意 1 数列是一种特殊的函数 学习时要善于利用函数的思想来解决 如通项公式 前 n 项和公式等 2 运用方程的思想解等差 比 数列 是常见题型 解决此类问题需要抓住基本量 a1 d 或 q 掌握 好设未知数 列出方程 解方程三个环节 常通过 设而不求 整体代入 来简化运算 3 分类讨论的思想在本章尤为突出 学习时考虑问题要全面 如等比数列求和要注意 q 1 和 q 1 两种情况 等等 4 等价转化是数学复习中常常运用的 数列也不例外 如 an与 Sn的转化 将一些数列转化成等差 比 数列来解决等 复习时 要及时总结归纳 5 深刻理解等差 比 数列的定义 能正确使用定义和等差 比 数列的性质是学好本章的关键 6 解题要善于总结基本数学方法 如观察法 类比法 错位相减法 待定系数法 归纳法 数形结合法 养成良好的学习习惯 定能达到事半功倍的效果 7 数列应用题将是命题的热点 这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用 考点透视考点透视 1 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据递推公 式写出数列的前几项 2 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 并能运用公式解答简单的问题 3 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 并能运用公式解决简单的问题 4 数列是高中数学的重要内容 又是学习高等数学的基础 所以在高考中占有重要的地位 高考对本章的 考查比较全面 等差数列 等比数列的考查每年都不会遗漏 解答题多为中等以上难度的试题 突出考查 2 考生的思维能力 解决问题的能力 试题大多有较好的区分度 有关数列的试题经常是综合题 经常把数 列知识和指数函数 对数函数和不等式的知识综合起来 试题也常把等差数列 等比数列 求极限和数 学归纳法综合在一起 探索性问题是高考的热点 常在数列解答题中出现 本章中还蕴含着丰富的数学 思想 在主观题中着重考查函数与方程 转化与化归 分类讨论等重要思想 以及配方法 换元法 待 定系数法等基本数学方法 应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化 常需构造数列模型 将现实问 题转化为数学问题来解决 例题解析例题解析 考点考点 1 正确理解和运用数列的概念与通项公式正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念 正确应用数列的定义 能够根据数列的前几项写出数列的通项公式 典型例题 例 1 2006 年年广东卷 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若 干堆 正三棱锥 形的展品 其中第 1 堆只有 1 层 就一个球 第 2 3 4 堆最底层 第一层 分 别按图 4 所示方式固定摆放 从第二层开始 每层的小球自然垒放在下一层之上 第 n 堆第 n 层就放一 个乒乓球 以 f n 表示第 n 堆的乒乓球总数 则 f 3 f n 答案用 n 表示 思路启迪 从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是 12 3 4 推测出第 n 层的球数 解答过程 显然 f 310 第 n 堆最低层 第一层 的乒乓球数 第 n 堆的乒乓球数总数相当于 n 堆乒 n12n n n1 aaaa 2 乓球的低层数之和 即 222 12n n n111 f naaa 12n 222 所以 n n1n2 f n 6 例 2 2007 年湖南卷理 年湖南卷理 将杨辉三角中的奇数换成 1 偶数换成 0 得到如图所示的 0 1 三角数表 从 上往下数 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行 第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行 第次全行的n 数都为 1 的是第 行 第 61 行中 1 的个数是 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 3 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 思路启迪 计算图形中相应 1 的数量的特征 然后寻找它们之间的规律 解 第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行 第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行 第 3 次全行的2 1 2 21 数都为 1 的是第 7 行 第次全行的数都为 1 的是第行 第 61 行中 1 的个数 3 21 n21 n 是 5 21 32 应填 3221 n 考点考点 2 数列的递推关系式的理解与应用数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时 要对其关系式进行适当的变形 转化为常见的类型进行解题 如 逐差法 若且 我们可把各个差列出来进行求和 可得到数列的通项 nn 1 aan 1 a1 n a nnn 1n 1n 2211 aaaaaaaa n n1 nn12 1 2 再看 逐商法 即且 可把各个商列出来求积 n 1 n a n1 a 1 a1 nn 12 n1 n 1n 21 aaa aan n1n22 1n aaa AA AA A 另外可以变形转化为等差数列与等比数列 利用等差数列与等比数列的性质解决问题 例 3 2007 年北京北京卷理理 数列中 是常数 且成公比不为 的等比数列 n a 1 2a 1nn aacn c12 3n 123 aaa 1 I 求的值 II 求的通项公式 c n a 思路启迪 1 由成公比不为 的等比数列列方程求 123 aaa 1c 2 可根据递推公式写出数列的前几项 然后分析每一项与该项的序号之间的关系 归纳概括出 an 与 n 之间的一般规律 从而作出猜想 写出满足前 4 项的该数列的一个通项公式 解 I 1 2a 2 2ac 3 23ac 因为成等比数列 所以 解得或 123 aaa 2 2 2 23 cc 0c 2c 当时 不符合题意舍去 故 0c 123 aaa 2c II 当时 由于2n 4 21 aac 32 2aac 1 1 nn aanc 所以 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 故 1 2a 2c 2 2 1 2 2 3 n an nnnn 当时 上式也成立 1n 所以 2 2 12 n annn 小结 从特殊的事例 通过分析 归纳 抽象总结出一般规律 再进行科学地证明 这是创新意识的具 体体现 这种探索问题的方法 在解数列的有关问题中经常用到 应引起足够的重视 例 4 2006 年年广东卷 已知数列满足 若 则 n x 1 2 2 x x 12 1 2 nnn xxx 3 4 n lim2 n n x B 3 2 思路启迪 对递推关系变形 运用叠加法求得 特别注意的是对两边同时运用 解答过程 nn 1n 1 2xxx nn 1n 2n xxxx 相叠加 3213 4324 n 1n 2n 3n 1 nn 1n 2n xxxx xxxx xxxx xxxx n212nn 1 xxxxxx 1 2 x x 2 nn 11 2xx2x nn 11 nn lim 2xxlim2x n n limx2 1 2x6 1 x3 解答过程 2 由得 12 1 2 nnn xxx nn 1n 1n 2211 111 x xxxxxx 222 因为 nn 11 n 1 lim xxx 2 n n limx2 所以 1 x3 解答过程 3 由得 12 1 2 nnn xxx 2 nn 1n 1n 2n 2n 3 11 xxxxxx 22 n 2n 1 211 11 xxx 22 从而 2 321 1 xxx 2 3 431 1 xxx 2 n 1 nn 11 1 xxx 2 5 叠加得 23n 1 n21 111 xxx 222 n 2 n21 11 xxx1 62 n 2 n21 nn 11 limxlim xx1 62 从而 1 1 x1 2x 26 1 x3 小结 数列递推关系是近几年高高数学的热点 主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式 对连 续两项递推 可转化为 nn 1 akad n2 k1 对连续三项递推的关系 nn 1 dd ak a 1k1k n 1nn 1 akadan2 如果方程有两个根 则上递推关系式可化为 2 xkxd 0 或 n 1nnn 1 aaaa n 1nnn 1 aaaa 考点考点 3 数列的通项数列的通项与前与前 n 项和项和之间的关系与应用之间的关系与应用 n a n S 与与的关系 数列前 n 项和和通项是数列中两个重要的量 在运用它们的 n a n S 1 n nn 1 S n 1 a SS n2 n S n a 关系式时 一定要注意条件 求通项时一定要验证是否适合 解决含与与的式子 nnn 1 aSS n2 1 a n a n S 问题时 通常转化为只含或者转化为只的式子 n a n S 例例 5 2006 年辽宁卷 年辽宁卷 在等比数列中 前项和为 若数列也是等比数列 则等于 n a 1 2a n n S 1 n a n S A B C D 1 22 n 3n2n31 n 命题目的 本题考查了等比数列的定义和求和公式 着重考查了运算能力 过程指引过程指引因数列为等比 则 因数列也是等比数列 则 n a 1 2 n n aq 1 n a 22 12112221 2 1 1 1 22 12 01 nnnnnnnnnnnn n aaaaaa aaaaaa aqqq 即 所以 故选择答案 C 2 n a 2 n Sn 例 6 已知在正项数列 a n 中 S n表示前 n 项和且 求 a n nn 2 Sa1 思路启迪 转化为只含或者只含的递推关系式 n a n S 解答过程 1 由已知 得当 n 1 时 a1 1 当 n 2 时 nn 2 Sa1 6 a n S n S n 1 代入已知有 nnn 1 2 SSS1 n 1nn SS2 S1 又 故 2 n 1n SS1 nnn 1 a0 SS n 1n SS1 是以 1 为首项 1 为公差的等差数列 nn 1 SS1 n S 故 n Sn n a2n1 解答过程 2 由已知 得当 n 1 时 a1 1 当 n 2 时 nn 2 Sa1 因为 所以 2 n n a1 S 2 22 nn 1 n a1a1 a 22 22 nnnn 1n 1 4aa2aa2a 22 nnn 1n 1 a2aa2a0 因为 nn 1nn 1 aaaa20 n a0 所以 所以 nn 1 aa2 n a2n1 考点考点 4 数列中与数列中与 n 有关的等式的理解与应用有关的等式的理解与应用 对数列中的含 n 的式子 注意可以把式子中的 n 换为得到另外的式子 也可以把 n 取自然数中的具n1 体的数 1 2 3 等 得到一些等式归纳证明 例例 7 2006 年年福建卷 已知数列满足 n N n a 1n 1n a1 a2a1 求数列的通项公式 n a 若数列满足 n N 证明 是等差数列 n b n 312n b b1b1b1b1 n 4444a1 n b 思路启迪 本小题主要考查数列基本知识 考查化归的数学思想方法 考查综合解题能力 把递推关系 式变形转化 解答过程 I 解 1 21 nn aanN 1 12 1 nn aa 是以为首项 2 为公比的等比数列 n a1 1 a12 12 n n a 即 2 21 n anN II 证法一 n 312n b b1b1b1b1 n 4444a1 12 bb b b 42 nn nn 12 2 nn bbbnnb 7 1211 2 1 1 nnn bbbbnnb 得 11 2 1 1 nnn bnbnb 即 1 1 20 nn nbnb 21 1 20 nn nbnb 得 21 20 nnn nbnbnb 即 21 20 nnn bbb 211 nnnn bbbb nN 故是等差数列 n b 考点考点 5 等差 等比数列的概念与性质的理解与应用等差 等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差 等比数列中 已知五个元素或 中的任意三个 运用方程的思想 便可求出其余 1n a a n dq n S 两个 即 知三求二 本着化多为少的原则 解题时需抓住首项和公差 或公比 另外注意等 1 aq 差 等比数列的性质的运用 例如 1 等差数列中 若 则 等比数列中 若 n a mnpq mnpq aaaa n amnpq 则 mnpq a aa a 2 等差数列中 成等差数列 其中是等差数列的前 n 项和 n a n2nn3n2nknk n 1 S SS SS SS n S 等比数列中 成等比数列 其中是等比数列的前 n 项 n a q1 n2nn3n2nknk n 1 S SS SS SS n S 和 3 在等差数列中 项数 n 成等差的项也称等差数列 n a n a 4 在等差数列中 n a 2n 1n S2n1 a 2nnn 1 Sn aa 在复习时 要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式 注意方程思想 整体思想 分类讨 论思想 数形结合思想的运用 典型例题 例例 8 2006 年江西卷 年江西卷 已知等差数列的前 n 项和为 Sn 若 且 A B C 三点 n a 1 OaB 200 OAaOC 共线 该直线不过原点 O 则 S200 A 100 B 101 C 200 D 201 8 命题目的 考查向量性质 等差数列的性质与前 n 项和 过程指引过程指引 依题意 a1 a200 1 故选 A 例例 9 2007 年安徽卷文 理 某国采用养老储备金制度 公民在就业的第一年就交纳养老储备金 数目为 a1 以后每年交纳的数目均 比上一年增加 d d 0 因此 历年所交纳的储备金数目 a1 a2 是一个公差为 d 的等差数列 与 此同时 国家给予优惠的计息政府 不仅采用固定利率 而且计算复利 这就是说 如果固定年利率为 r r 0 那么 在第 n 年末 第一年所交纳的储备金就变为 a1 1 r n 1 第二年所交纳的储备金就变 成 a2 1 r n 2 以 Tn表示到第 n 年末所累计的储备金总额 写出 Tn与 Tn 1 n 2 的递推关系式 求证 Tn An Bn 其中 An 是一个等比数列 Bn 是一个等差数列 命题目的 本小题主要考查等差数列 等比数列的基本概念和基本方法 考查学生阅读资料 提取信息 建立数字模型的能力 考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力 解 I 我们有 2 1 1 narTT nnn II 反复使用上述关系式 得2 11 naT对 nnnnnn ararTarTT 1 1 1 1 2 21 1 1 1 1 2 2 1 1nn nn ararara 在 式两端同乘 1 r 得 1 1 1 1 1 2 1 1 21 rarararaTr nn nn n 得 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 21 1 为公差的等差数列首项是以 为公比的等比数列以为首项是以其中 则 如果记 即 r d r d r dra B rrr r dra A BAT n r d r dra Br r dra A r dra n r d r r dra T ararr r d arrrdrarT n n nnn n n n n n n nn n nnn n 2 解综合题要总揽全局 尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件 在后面求解的过程中适 时应用 9 考点考点 6 等差 等比数列前等差 等比数列前 n 项和的理解与应用项和的理解与应用 等差 等比数列的前 n 项和公式要深刻理解 等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 等比数列的 前 n 项和公式 因此可以改写为是关于 n 的指数 n 1 n11 n a 1q aa Sq 1q1q1q q1 n n Saqb ab0 函数 当时 q1 n1 Sna 例例 10 2007 年广东卷理理 已知数列的前 n 项和 Sn n2 9n 第 k 项满足 5 ak 8 则 k n a A 9B 8C 7D 6 思路启迪 本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识 考查逻辑思维能力 分析问题和解决问题 的能力 解 此数列为等差数列 由 5 2k 10a n a 3 记 n 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Sn ln n n n a b aa 思路启迪 1 注意应用根与系数关系求的值 2 注意先求 3 注意利用的关 fx 系 解 1 是方程 f x 0 的两个根 2 1f xxx 1515 22 2 21fxx 2 1 115 21 21 1 244 2121 nnn nn nnn nn aaa aa aaa aa 由基本不等式可知 当且仅当时取等号 5 11 4 21 4212 n n a a 1 1a 2 51 0 2 a 1 51 2 a 15 同 样 n 1 2 2 51 0 2 a 3 51 2 a 51 2 n a 3 而 即 1 1 2121 nnn nnn nn aaa aaa aa 1 1 同理 又 2 1 21 n n n a a a 2 1 21 n n n a a a 1 2 nn bb 1 13535 lnln2ln 1235 b 35 2 21 ln 2 n n S 专题训练与高考预测专题训练与高考预测 一 选择题 1 已知 a 是等比数列 且 a 0 a a 2 aa a a 25 那么 a a 的值等于 nn24354635 A 5 B 10 C 15 D 20 2 在等差数列 a 中 已知 a a a a a 20 那么 a 等于 n123453 A 4 B 5 C 6 D7 3 等比数列 an 的首项 a1 1 前 n 项和为 Sn 若 则Sn等于 32 31 5 10 S S lim n C 2D 2 3 2 B 3 2 A 4 已知二次函数 y a a 1 x2 2a 1 x 1 当 a 1 2 n 时 其抛物线在 x 轴上截得的线段长依 次为 d1 d2 dn 则 d1 d2 dn 的值是 lim n A 1 B 2C 3D 4 二 填空题 5 已知 a b a b 成等差数列 a b ab 成等比数列 且 0 logm ab 0 S130 知 q 0 nnn 因 a a 2 aa a a 25 243546 所以 a q a q 2a q a q a q a q 25 11 3 1 2 1 4 1 3 1 5 即 a q 1 q 25 a q 1 q 5 1 222 1 22 得 a a a q a q a q 1 q 5 故选择答案 A 351 2 1 4 1 22 解法二解法二 因 a 是等比数列 a a a a a a n 24 2 346 2 5 原式可化为 a 2 aa a 25 即 a a 25 2 335 2 535 2 因 a 0 a a 5 故选择答案 A n 35 2 解法一解法一 因为 a 是等差数列 设其首项为 a 公差为 d n1 由已知 a a a a a 20 有 5 a 10d 20 123451 a 2d 4 即 a 4 故选择答案 A 13 解法二解法二 因 a 是等差数列 所以 a a a a 2 a n15243 由已知 a a a a a 20 得 5 a 20 a 4 123453 3 故选择答案 A 3 解析 利用等比数列和的性质 依题意 而 a1 1 故 q 1 32 31 5 10 S S 根据等比数列性质知 S5 S10 S5 S15 S10 也成等比数列 且它的公比为 32 1 32 3231 5 510 S SS q5 q5 即 q 32 1 2 1 3 2 1 lim 1 q a Sn n 18 故选择答案 B 4 解析 当 a n 时 y n n 1 x2 2n 1 x 1 由 x1 x2 得 dn a 1 1 nn d1 d2 dn 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 1 1 32 1 21 1 21 n ddd nnnnn n n n 故选择答案 A 二 5 解析 解出 a b 解对数不等式即可 故填答案 8 6 解析 利用 S奇 S偶 得解 n n1 故填答案 第 11 项 a11 29 11 1 112 7 222 nnn nnn ii czz 解析设 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 21 nn nn cccS 2 2 1 2 22 22 1 lim n n S 故填答案 1 2 2 8 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列 an 可得 an 正三角形的内切圆构成等比数列 1 2 n a rn 可得 rn a 1 2 1 6 3 n 这些圆的周长之和 c 2 r1 r2 rn a2 lim n2 33 面积之和 S n2 r22 rn2 a2 lim n9 故填答案 周长之和 a 面积之和a2 2 33 9 9 解析 第一次容器中有纯酒精 a b 即 a 1 升 第二次有纯酒精 a 1 即 a 1 2 a b a b b a a b a 1 a b 升 故第 n 次有纯酒精 a 1 n升 a b 19 故填答案 a 1 n a b 10 解析 从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项 以 7 3 为公比的等比数列 a5 95933 1 7 3 4 120000 亿元 故填答案 120000 三 11 解 因为 a 为等比数列 所以 S S S S S是等比数列 n1020103020 即 5 15 5 S 15 是等比数列 得 5 S 15 10 S 35 3030 2 30 12 解 设等差数列 a 共有 2n 1 项 S 80 S 75 则 n12 2 1 S S 1 n n 75 80 15 16 得 n 16 所以 2n 1 2 16 1 31 即此数列共有 31 项 又由 a 的项数为 2n 1 知其中间项是 a 故 a S S 80 75 5 nnn12 a 5 16 13 解解 设等差数列 a 中 前 m 项的和为 S 其中奇数项之和为 S 偶数项之和为 S 由题意得 nm12 S 77 S 33 S S S 44 m21m2 令 m 2n 1 则 得 n 4 2 1 S S 1 n n 3 4 m 7 a S S 11 又 a a 18 得首项为 20 公差为 3 41217 故通项公式为 a 3 n 23 n 14 1 解 依题意有 0 2 1213 13 0 2 1112