期中复习：圆周运动

圆周运动基础知识圆周运动基础知识 一 基本概念一 基本概念 1 匀速圆周运动 描述匀速圆周运动快慢的物理量 1 线速度 一周 单位 2 角速度 一周 单位 3 周期 周期长 表示运动 周期短 表示运动 4 转数 单位时间内质点做圆周运动的圈数 定义 5 频率 单位时间内质点做周期性运动的次数 定义 角速度与线速度 周期 频率 转数关系 下图个点线速度和角速度大小关系 同一转动物体上 角速度相等同一转动物体上 角速度相等 同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等同一皮带轮连接的轮边缘上线速度相等 线速度 VA VB Vc 角速度 A B C 2 向心力 向心加速度 F a 向心加速度是描述 物理量 产生向心加速度的力叫向心力 向心力只改变速度 不改变速度 二 典型例题二 典型例题 匀速圆周运动基本思路 合外力 向心力 水平面上的圆周运动 水平面上的圆周运动 1 圆锥摆 质量为m 小球 长为L的细线 细线与竖直方向夹角为 求 1 轨道半径 2 绳子拉力 3 线速度 4 角速度 例题 长度不同的两根细绳 悬于同一点 另一端各系一个质量相同的小球 使它们在 同一水平面内作圆锥摆运动 如下图所示 则 A 它们的周期相同 B 较长的绳所系小球的周期较大 C 两球的向心力与半径成正比 D 两绳张力与绳长成正比 2 旋转盘 物体 A 距离中心为 R 接触面摩擦因数为 求物体的最大速度 例题 如下图所示 细绳一端系着质量 M 0 6kg 的物体 静止在 水平面 另一端通过光滑小孔吊着质量 m 0 3kg 的物体 M 的中点与圆孔距离为 0 2m 并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N 现使此平面绕中心轴线转动 问角速度 在什么范围 m 会处于静止状态 g 10m s2 3 飞车走壁 人与墙壁摩擦因数为 人距中心轴距为 r 求若使人不落下时的最 小角速度 例题 小球 B 在圆锥形曲面内做圆周运动 如图夹角为 小球距离底部高位 h 求 v h 4 汽车 摩托车 拐弯 1 水平面 什么力提供向心力 最大安全速度 2 倾斜路面 为了更安全的转弯 路面设计成外侧路面高于内侧路面 什么力提供向心力 设计速度是多大 例题 在高速公路的拐弯处 路面造得外高内低 即当车向右拐弯时 司机左侧的 路面比右侧要高一些 路面与水平面间的夹角为 设拐弯路段是半径为 R 的圆弧 要 使车轮与路面之间的横向 即垂直于前进方向 摩擦力等于零 车速 v 应多大 汽车在此 处转弯时 能否超过这个速度 若低于这个速度呢 5 火车拐弯 1 火车在水平轨道面拐弯 火车在水平方向上受到哪些力 什么力提供 向心力 长期使用会导致的后果 2 在倾斜的轨道处拐弯 为了便于更好的拐弯 火车轨道设计成外轨道与内轨 如图 什么力提供向心力 设计转弯速度多大 例题 火车转弯轨道处的路面设计成外高内低 这样更有利于火 车转弯 某段弯道半径为 1000m 设计速度为 72km h 则弯道上 路轨与水平面夹角 多大 火车能否超过 72km h 的速度转弯 竖直面上的圆周运动 竖直面上的圆周运动 1 过桥 受力分析方程 1 恰好能达到最高点 2 当车对桥压力为零时 速度 若超过这个速度会有什么情况 例题 质量为 m 的汽车 以速度 V 通过半径 R 的凸形桥最高点时对桥的压力为 当速度 V 时对桥的压力为零 以速度 V 通过半径为 R 凹型最低点时对桥 的压力为 2 绳拉球 圆轨道 最高点 达到最高点的临界条件 临界速度 能通过最高点速度 例题 如图所示 一光滑的半径为 R 的半圆形轨道放在水平面上 一个质量为 m 的小球 以某一速度冲上轨道 当小球将要从轨道口飞出时 轨道的压力恰好为零 则小球落地 点 C 距 A 处多远 求在 C 点的速度大小 3 杆拉球 圆管形轨道 1 最高点 能达到最高点的临界条件 临界速度 能通过最高点速度 2 当拉力为零时 速度 v 当 v 时 杆对球为 圆管轨道对球为 当 v 时 杆对球为 圆管轨道对球为 例题 杆长 L 0 5m m 2kg 它绕 O 点在竖直面做圆周运动 当通过最高点 时 求 1 当 v 1m s 时 杆受到多大的力 是什么力 2 当 v 4m s 时 杆受到的力多大 是什么力 典型例题 1 如图所示为一皮带传动装置 右轮的半径为 r a 是它边缘上的一点 左侧是一轮轴 大轮的半径是 4r 小轮的半径为 2r b 点在小轮上 到小轮中心的距离为 r c 点和 d 点 分别位于小轮和大轮的边缘上 若在传动过程中 皮带 不打滑 则角速度 线速度 向心加速度 2 质量相等的小球 A 占分别固定在轻杆的中点及端点 当杆在光滑的水平面上绕 O 点匀速转动时 如图 4 2 6 所示 求杆的 O 段及 AB 段对球的拉力之比 3 若火车按规定速率转弯时 内 外轨对车轮皆无侧压力 则以较小速率转弯时 A 仅内轨对车轮有侧压力 B 仅外轨对车轮有侧压力 C 内 外轨对车轮都有侧压力D 内 外轨对车轮均无侧压力 竖直面上的圆周运动 1 过桥问题 2 绳拉球问题 环形轨道 3 杆拉球问题 圆管轨道 4 万有引力定律 万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的 它是自然科学最伟大的 成果之一 宇宙间一切物体都是相互吸引的 任何两个物体间引力的大小跟它们质量的 乘积成正比 跟它们距离的平方成反比 这就是万有引力定律 用公式来表示为 F Gm1m2 r2 式中 G 为引力常量 G 的单位从上述公式中可推导出是 N m2 kg2 G 的数值为 6 67 10 11 这个数值等于两个质量 1kg 的物体相距 1m 时相互之间万有引力的牛顿 数 它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的 普通两个物体之间的万有引力是微不足道的 我们一般不予考虑 但在天体系统中 由于天体质量很大 所以它们之间的万有引力十分强大 天体之间的万有引力是这些天 体做什么运动 怎样运动的直接的 决定性的因素 月亮绕地球运转 地球绕太阳公转 月亮 地球在运动过程中所需要的向心力就是由万有引力来提供的 练习一 1 以下说法是否正确 因为 n 为转数 所以角速度与转数成正比 n 2 向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢 向心加速度描述的是质点在圆周运动中 向心力变化的快慢 2 如图所示 为 A B 两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图 像 其中 A 为双曲线的一个分支 由图可知 A A 物体运动的线速度大小不变 B A 物体运动的角速度大小不变 C B 物体运动的角速度大小不变 D B 物体运动的线速度大小不变 答案 AC 3 如图所示 物体在恒力 F 作用下沿曲线从 A 运动到 B 这时突然使它所受力反向 大小不变 即由 F 变为 F 关于此后物 体的运动情况 下列说法正确的是 A 物体不可能沿曲线 Ba 运动 B 物体不可能沿直线 Bb 运动 C 物体不可能沿曲线 Bc 运动 D 物体不可能沿原曲线 B 返回 A 4 物体运动的速度方向 加速度方向与作用在物体上合外力方向的关系是 A 速度方向 加速度方向 合力方向三者总是相同的 B 速度方向可与加速度方向成任何夹角 但加速度方向总是与合力方向相同 C 速度方向总是和合外力方向相同 加速度方向可能和合外力相同 也可能不同 D 速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹 角 5 如图所示 在匀强电场内将一质量为 m 电量为 q 的 摆球拉至与悬点 O 同一水平面处 由静止释放 则在开始的一 小段时间内摆球将作 A 匀速直线运动 B 匀加速直线运动 C 匀减速直线运动 D 变速圆周运动 二 向心力应用问题二 向心力应用问题 1 向心力的来源 向心力是合外力在指向圆心方向的分力 它不是某种性质力的名称 而是根据力的 作用效果来命名的 向心力可以由某一个力提供 也可以由几个力的合力提供 还可以 由某一个力的分力提供 如果合外力始终指向圆心且大小不变 则物体作匀速圆周运动 2 向心力公式的应用 应用方法 以指向圆心方向为正方向 将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向 求出指向圆心的各个分力的合力 即为向心力 据牛顿第二定律列方程 F向 ma向 例 在高速公路的拐弯处 路面造得外高内低 即当车向右拐弯 时 司机左侧的路面比右侧要高一些 路面与水平面间的夹角为 设拐弯路段是半径为 R 的圆弧 要使车轮与路面之间的横向 即 垂直于前进方向 摩擦力等于零 车速 v 应多大 解答 如图所示 为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况 重力与路面的弹 力的合力提供向心力 由平行四边形定则及牛顿第二定律得 F合 G tg F合 mv2 R gRtgv 练习二 1 关于向心力 下列说法中正确的是 A 物体受到向心力作用才可能做圆周运动 B 向心力是指向圆心方向的合力 是根据力的作用效果来命名的 C 向心力可能是重力 弹力 摩擦力等各种力的合力 也可能是其中某一种力或 某一种力的分力 D 向心力只改变物体运动的方向 不可能改变物体运动的快慢 2 放置在地面上的物体 由于地球自转 A 都具有向心加速度 B 向心加速度大小随纬度增加而减小 C 向心加速度方向都指向地球中心 D 产生此向心加速度的力都是由地球对物体的引力提供的 解答 物体做匀速圆周运动 随着纬度的增加 半径减小 由 a 2R 可知 a 减小 向心力由引力与地球的弹力的合力提供 答案 AB 3 如图所示 小球用长为 L 的细绳悬于 O 点 使之在竖直平面内 做圆周运动 小球通过最低点时速率为 v 则小球在最低点时细绳的张 力大小为 小球质量为 m 4 如图 质量为 m 的滑块滑到弧形底端时速率为 v 已知圆弧形 轨道的半径为 R 则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为 5 如图示 质量为 m 的小球用细绳悬于 O 点 绳长为 L 在竖直 平面内做圆周运动 到达最高点时速度为 v 则此时绳子的张力为 三 求解匀速圆周运动的思路和步骤三 求解匀速圆周运动的思路和步骤 匀速圆周运动的求解应在动力学问题的框架范围内 它的核心仍是 F ma 1 确定研究对象 分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤 2 以指向圆心的方向为正方向 来确定各个力的正 负号 建立起牛顿第二定律 的方程 并结合运用 a v2 R 2R 等有关知识求解 例 如图所示 有一质量为 m 的小球 P 与穿过光滑水平板上小孔 O 的轻绳相连 用 手捡着绳子另一端 使 P 在水平板内绕 O 作半径为 a 角速度为 的匀速圆周运动 求 1 此时拉绳的力多 大 2 若将绳子从此状态迅速放松 后又拉直 使 P 绕 O 作半径为 b 的匀速圆周运动 从放松到拉直这段 过程经过了多长时间 3 P 作半径为 b 的匀速圆周运 动时 绳子拉力又为多大 解答 1 手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆 周运动向心力的大小是相等的 故有 F m 2a 2 松手后 绳子拉力消失 小球将从刚松手的位置 沿圆周的切线方向 在光滑 的水平面上作匀速直线运动 当绳在水平板上长为 b 时 绳又被拉紧 在这一段匀速直 线运动的过程中 球运动的距离为 如图 b 所示 故 22 ab t s v a 22 ab 3 将刚拉紧绳时球的速度 a 1分解为沿绳分量和垂直于绳分量 在绳被拉紧的短 暂过程中 球损失了沿线的分速度 保留着垂直于绳的分速度作匀速圆周运动 被保留 的速度的大小为 v va b a2 b 所以绳子后来的拉力 F 为 四 竖直面上圆周运动四 竖直面上圆周运动 最高点 恰能通过最高点的临界速度gRv 最低点 最大速度 最大拉 压 力 联系最高点和最低点 机械能守恒定律 例 如图 轻杆长 质量可忽略不计 杆的一端连接着一质量为 的小球 另一 端装在固定转轴上 设小球在竖直平面内作圆周运动 1 当它在圆周的最低点 速率 为 时 求其对杆作用力的大小和方向 2 当它在圆周最高点 速率为 时 求其对杆作用力的大小和方向 解答 小球在竖直平面内作的圆周运动并不是匀速圆周运 动 但在最低点和最高点这两个特殊位置 我们仍可用求解匀 速圆周运动的方法和公式求解 因为在这两个位置 小球受的 外力都在圆周半径方向上 它们的合力就是向心力 在最低点 此位置杆对球作用力 的方向只可能向上 并 且 故有 L 在最高点 此位置杆对球作用力的方向尚不能确定 我们可暂时假设 N 与 mg 同向 即杆对球有向下拉力作用 则有 如果 确与 同向 方向指向圆心 则 0 即 Lgv 若 则由 的表达式可得 0 即此时杆对球无作用力 重力唯一地起Lgv 着向心力的作用 若 可得 0 则说明杆对球有向上托力作用 这个力的方向与正方向Lgv 相反 背离圆心 根据上述分析 我们可以得到这样的结论 在最低点 不管小球以多大的速度运动 杆对球的拉力都是向上的 但在最高点 杆对球作用力的大小和方向取决于 v 的大小 是一个临界值 当时 因速度大 所需的向心力就大 不能满足向LgLgv 心力的需要 需要杆向下的拉力来补充 当时 因速度小 所需的向心力也小 Lgv 超过了向心力的需要 故杆产生了向上的托力来抵消 的一部分作用 若 这说明重力 恰能满足向心力的需要 故此时杆对球没有作用力 Lgv 如果此题小球不是固定在轻杆的下端 而是系在细线下端 让它在竖直平面内做圆 周运动 则小球能运动到圆周最高点的最小速度应为 若 如前所述 LgLgv 重力己超过了向心力的需要 而细绳在最高点又不可能象轻杆那样对球有向上的托力 所以此时小球不可能到达圆周最高点 它到达最高点前就已离开圆周了 五 万有引力定律五 万有引力定律 这里列出的五个式子中 左边两个代表万有引力 重 力 它们是天体运动向心力的来源 右边三个式子代表向 心力 依据万有引力 重力 作为天体运动的向心力的思 路 可按照题设已知条件和未知量在此五式中选择两个组 成方程 通过求解方程得到所需要的结果 式中 r 为轨道半径 r R h g 为高度为 h 的轨道上 的重力加速度 g hR R g 2 2 例 求第一宇宙速度 1 已知 M R 2 已知 g R 解答 由 得 1 R v m R Mm G 2 2 R GM v 由 可得 2 R v mmg 2 gRv 将 1 2 两式中的 R 都用地球半径 M 用地球质量 g 用地面附近重力加速度数 值 9 8m s2代入 均可得到第一宇宙速度 v1 7 9 103m s 例 试证明天空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的平方根成反比 解答 由 和 解得 R T m R Mm G 2 0 2 2 4 3 3 4 RM G T 3 六 天体和卫星的运动六 天体和卫星的运动 我们把月亮绕地球的运转 地球绕太阳的公转以及人造地球卫星的运动都近似地处 2 r Mm G gmmg r v m 2 rm 2 r T m 2 2 4 理成匀速圆周运动的问题 研究这一类问题的基础是万有引力定律 牛顿第二定律以及 有关匀速圆周运动线速度 角速度 周期以及向心加速度的一些公式 天体 卫星所需 要的向心力就是它们受到的万有引力 1 三个宇宙速度 第一宇宙速度 环绕速度 是人造地球卫星在地面附近环绕地球运转的必须具有的速 度 第一宇宙速度 v1 7 9 103m s 第二宇宙速度 脱离速度 是卫星挣脱地球引力束缚 成为绕太阳运转行星的最小速 度 v2 11 2 103m s 第三宇宙速度 逃逸速度 是卫星挣脱太阳的束缚 飞出太阳系运动的最小速 度 V3 16 7 103m s 2 在不同轨道上运动的卫星的讨论 以第一宇宙速度运动的卫星是沿地面附近运行的 其轨道半径被认为是地球半 径 还有许多卫星 如气象卫星 通讯卫星等 在地面上方很高处运行 其轨道半径远比 地球半径大 这些卫星的有关物理量如何随轨道半径的变化而变化呢 我们可根据万有 引力定律和牛顿运动定律加以讨论 1 卫星的运行速度 由 可得 r v m r Mm G 2 2 r GM v 上式的 r 是卫星的轨道半径 它应等于地球半径 R 与卫星离地面的高度 h 之和 从 此式可看出 由于引力常量 G 和地球质量 M 一定 所以卫星离地面越远 轨道半径越大 其运行的速度就越小 需要说明的是 这里的速度是卫星在远轨道上的运行速度 不是 从地面把卫星送上天的发射速度 实际上把卫星发送到较远的轨道上 耗费的能量要大 从地面发射的速度也要大 2 卫星运行的角速度 由 可得 rm r Mm G 2 2 3 r GM 由此式可看出 卫星离地越远 r 越大 就越小 3 卫星运行的周期 r T m r Mm G 2 2 2 4 GM r T 32 4 同样可以看出 r 越大 T 就越大 若卫星的周期与地球自转周期 T0相同 则此卫 星叫同步卫星 同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合 其离地面高度由 可求得 4 2 0 2 2 hR T m hR Mm G R GMT h 3 2 2 0 4 4 卫星的加速度 卫星的加速度是由地球的万有引力产生的 它