超几何分布和二项分布的联系和区别

第 1 页 共 8 页 超几何分布和二项分布的联系和区别 开滦一中 张智民 在最近的几次考试中 总有半数的的学生搞不清二项分布和超几何分布 二者到底该如 何区分呢 什么时候利用二项分布的公式解决这道概率问题 什么时候用超几何分布的公式 去解决呢 好多学生查阅各种资料甚至于上网寻找答案 其实这个问题的回答就出现在教材上 人 教版新课标选修 2 3 从两个方面给出了很好的解释 诚可谓 众里寻他千百度 蓦然回首 那人却在灯火阑珊处 一 两者的定义是不同的 教材中的定义 一 超几何分布的定义 在含有 M 件次品的 N 件产品中 任取 n 件 其中恰有 X 件次品 则 P X k n N k n M N k M C CC m 其中 m min M n 且 n N M N n M N N 称随机变量 X 服从超几何分布 2 1 0k 二 独立重复试验和二项分布的定义 1 独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验 且各次试验试验的结果相互独立 称为 n 次独立重复试验 其中 A i 1 2 n 是第 次试验结果 则 P A1A2A3 An P A1 P A2 P A3 P An 2 二项分布 在 n 次独立重复试验中 用 X 表示事件 A 发生的次数 设每次试验中事件 A 发生的概 率为 P 则 P X k k 0 1 2 n 此时称随机变量 X 服从二项分布 记作 knk pp 1 Ck n X B n p 并称 P 为成功概率 1 本质区别 1 超几何分布描述的是不放回抽样问题 二项分布描述的是放回抽样问题 2 超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题 二项分布中的概率计算实质上是 相互独立事件的概率问题 2 计算公式 超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中 任取 n 件 其中恰有 X 件次品 则 P X k m n N k n M N k M C CC 2 1 0k 第 2 页 共 8 页 二项分布 在 n 次独立重复试验中 用 X 表示事件 A 发生的次数 设每次试验中事件 A 发 生的概率为 P 则 P X k k 0 1 2 n knk pp 1 Ck n 温馨提示 当题目中出现 用样本数据估计 XXX 的总体数据 时 均为二项分布问题 比如 2017 2018 高三上学期期末考试 19 题 二 二者之间是有联系的 人教版新课标选修 2 3 第 59 页习题 2 2B 组第 3 题 例例 某批某批 n 件产品的次品率为件产品的次品率为 2 现从中任意地依次抽出现从中任意地依次抽出 3 件进行检验件进行检验 问问 1 当当 n 500 5000 500000 时时 分别以放回和不放回的方式抽取分别以放回和不放回的方式抽取 恰好抽到恰好抽到 1 件次品的概率各件次品的概率各 是多少是多少 2 根据根据 1 你对超几何分布与二项分布的关系有何认识你对超几何分布与二项分布的关系有何认识 人教版配套的教学参考上给出了如下的答案与解释说明 解 1 在不放回的方式抽取中 每次抽取时都是从这 n 件产品中抽取 从而抽到次品的概 率都为 0 02 次品数 X B 3 0 02 恰好抽到 1 件次品的概率为 P X 1 0 02 1 0 02 2 3 0 02 0 982 0 057624 1 3 C 在不放回的方式抽取中 抽到的次品数 X 是随机变量 X 服从超几何分布 X 的分布与产 品的总数 n 有关 所以需要分 3 种情况分别计算 n 500 时 产品的总数为 500 件 其中次品的件数为 500 2 10 合格品的件数为 490 从 500 件产品中抽出 3 件 其中恰好抽到 1 件次品的概率为 057853 0 498499500 48949030 1 3 500 2 490 1 10 C CC XP n 5000 时 产品的总数为 5000 件 其中次品的件数为 5000 2 100 合格品的件数为 4900 从 5000 件产品中抽出 3 件 其中恰好抽到 1 件次品的概率为 0576747 0 499849995000 48994900300 1 3 5000 2 4900 1 100 C CC XP n 50000 时 产品的总数为 50000 件 其中次品的件数为 50000 2 1000 合格品的件 数为 49000 从 50000 件产品中抽出 3 件 其中恰好抽到 1 件次品的概 057626 0 499984999950000 48999490003000 1 3 50000 2 49000 1 1000 C CC XP 2 根据 1 的计算结果可以看出 当产品的总数很大时 超几何分布近似为二项分布 这也 是可以理解的 当产品总数很大而抽出的产品较少时 每次抽出产品后 次品率近似不变 这样 就可以近似看成每次抽样的结果是互相独立的 抽出产品中的次品件数近似服从二项分布 说明 由于数字比较大 可以利用计算机或计算器进行数值计算 另外本题目也可以 帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系 第一 n 次试验中 某一事件 A 出现的次数 X 可能服从超几何分布或二项分布 当这 n 次 试验是独立重复试验时 X 服从二项分布 当这 n 次试验是不放回摸球问题 事件 A 为摸到某 种特性 如某种颜色 的球时 X 服从超几何分布 第二 在不放回 n 次摸球试验中 摸到某种颜色的次数 X 服从超几何分布 但是当袋子中 第 3 页 共 8 页 的球的数目 N 很大时 X 的分布列近似于二项分布 并且随着 N 的增加 这种近似的精度也增 加 从以上分析可以看出两者之间的联系从以上分析可以看出两者之间的联系 当调查研究的样本容量非常大时 在有放回地抽取与无放回地抽取条件下 计算得到的 概率非常接近 可以近似把超几何分布认为是二项分布 下面看相关例题 例 1 2016 漯河模拟 寒假期间 我市某校学生会组织部分同学 用 10 分制 随机调查 阳光花园 社区人们的幸福度 现从调查人群中随机抽取 16 名 如图所示的茎叶图记录了 他们的幸福度分数 以小数点前的一位数字为茎 小数点后的一位数字为叶 若幸福度分数不 低于 8 5 分 则称该人的幸福度为 幸福 1 求从这 16 人中随机选取 3 人 至少有 2 人为 幸福 的概率 2 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据 若从该社区 人数很多 任选 3 人 记 表示抽到 幸福 的人数 求 的分布列及数学期望 先不要急于看答案 大家先自己解一下这道题再往下看 会有意想不到的收获哦 错解 1 由茎叶图可知 抽取的 16 人中 幸福 的人数有 12 人 其他的有 4 人 记 从这 16 人中随机选取 3 人 至少有 2 人是 幸福 为事件 A 由题意得 140 121 70 9 140 1 11 3 16 1 12 2 4 3 16 3 4 C CC C C AP 2 的可能取值为 0 1 2 3 则 140 1 560 4 0 3 16 0 12 3 4 C CC P 70 9 560 72 1 3 16 1 12 2 4 C CC P 70 33 560 264 2 3 16 2 12 1 4 C CC P 28 11 560 220 3 3 16 3 12 0 4 C CC P 所以 的分布列为 第 4 页 共 8 页 错解分析错解分析 第二问的选人问题是不放回抽样问题 按照定义先考虑超几何分布 但是题目中又 明确给出 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据 从该社区 人数很多 任选 3 人 说明不是从 16 人中任选 3 人 而是从该社区 人数很多 任选 3 人 所以可以近似看作是 3 次独立重复试验 应该按照二项分布去求解 而不能按照超几何分布去处理 正解 1 1 由茎叶图可知 抽取的 16 人中 幸福 的人数有 12 人 其他的有 4 人 记 从 这 16 人中随机选取 3 人 至少有 2 人是 幸福 为事件 A 由题意得 140 121 70 9 140 1 11 3 16 1 12 2 4 3 16 3 4 C CC C C AP 2 由茎叶图知任选一人 该人幸福度为 幸福 的概率为 的可能取值为 0 1 2 3 显然 4 3 4 3 3 B 则 64 1 4 1 0 3 P 64 9 4 1 4 3 1 2 1 3 CP 64 27 4 1 4 3 2 2 2 3 CP 64 27 4 3 3 3 P 从以上解题过程中我们还发现 错解中的期望值与正解中的期望值相等 好多学生都觉 得不可思议 怎么会出现相同的结果呢 其实这还是由于前面解释过的原因 超几何分布与二 项分布是有联系的 看它们的期望公式 1 在含有 M 件次品的 N 件产品中 任取 n 件 其中恰有 X 件次品 随机变量 服从超几 何分布 超几何分布的期望计算公式为 EX 可以根据组合数公式以及期望的定义推导 N nM 2 随机变量 X 服从二项分布 记作 X B n p EX np 当超几何分布中的时 此时可以把超几何分布中的不放回抽样问题 近 Np N M 似看作是有放回抽样问题 再次说明时 可以把超几何分布看作是二项分布 N 总结 综上可知 当提问中涉及 用样本数据来估计总体数据 字样的为二项分布 高考解题中 我们还是要分清超几何分布与二项分布的区别 以便能正确的解题 拿到满 分 相信各位同学们手中都应该有历年真题卷和 2018 的模拟试卷吧 快去找几道二项分布 和超几何分布的概率大题试试吧 争取概率满分 加油 再比如 第 5 页 共 8 页 18 本小题满分 12 分 百所名校高考模拟金典卷五 为了调查观众对某电视娱乐节目的喜爱程度 某人在甲 乙两地各随机抽取了 8 名观众 做问卷调查 满分 100 分 现将结果统计如下图所示 1 计算甲 乙两地被抽取的观众的问卷得分的 平均分以及方差 并根据统计知识简单说明丽甲 乙 两地观众对该电视娱乐节目的喜爱程度 2 以频率估计概率 若从甲地观众中再随机抽取 3 人进行问卷调查 记问卷分数超过 80 分的人数为 E 求的分布列与数学期望 请看原题答案 居然是错解 正解 1 同上 2 因为题中说 以频率估计概率 即以该频率来估计甲地区的整体情况 若从甲地观众 中再随机抽取 3 人 即时强有力的证据 所以此题应为二项分布 而非超几何分布 第 6 页 共 8 页 超过 80 分的频率为 即概率 p 的可能取值为 0 1 2 3 3 4 3 4 3 31 0 1 464 P x 12 1 3 319 1 4464 P xC 2 2 3 3127 2 4464 P xC 3 327 3 464 P x 所以 X 的分布列为 X0123 P1 64 9 64 27 64 27 64 E X np 9 4 而下面这道题 就应该是超几何分布啦 18 本小题满分 12 分 2018 石家庄质检一 某学 校为了解高三复习效果 从高三第一学期期中考试成绩 中随机抽取 50 名考生的数学成绩 分成 6 组制成频率分 布直方图如图所示 1 求 m 的值 并且计算这 50 名同学数学成绩的样 本平均数 该学校为制定下阶段的复习计划 从成绩在 130 150 的同学中选出 3 位作为代表进行座谈 记成绩 在 140 150 的同学人数为 写出 的分布列 并求出 期望 18 解 由题 0 0040 0120 0240 040 012101m 解得 3 分0 008m 95 0 004 10105 0 012 10115 0 024 10125 0 04 10135 0 012 10145 0 008 10 x 6 分 121 8 成绩在的同学人数为 6 在的同学人数为 4 从而的可能取 130 140 140 150 值为 0 1 2 3 03 46 3 10 1 0 6 C C P C 12 46 3 10 1 1 2 C C P C 21 46 3 10 3 2 10 C C P C 30 46 3 10 1 3 30 C C P C 所以的分布列为 0123 P1 6 1 2 3 10 1 30 第 7 页 共 8 页 10 分 12 分 11316 0123 6210305 E 18 本小题满分 12 分 2018 百所名校示范卷五 共享单车 是城市慢行系统的一种模一 A 城市 B 城市式创新 对于解决民众出行 最后一公 1 公里 的问题特别见效 由于停取方便 租用价格 低廉 各种共享单车受到人们的 热捧 某机构为了 调查人们对此种交通方式的满意度 从交通拥堵的 A 城市和交通严重拥堵的 B 城市分别随机调查了 20 个用户 得到了一个用户满意度评分的样本 若评分不 低于 80 分 则认为该用户对此种交通方式 认可 否则认为该用户对此种交通方式 不认 可 并绘制出茎叶图如图 1 请根据此样本完成下面的 2 2 列联表 并据此样本分析是否能在犯错的概率不超过 10 的情况下认为交通拥堵与认可共享单车有关 2 若以 A 城抽取的这 20 个用户的样本数据来估计整个 A 城的总体数据 现从 A 城任 选 3 名用户 记 X 表示抽到用户为对此种交通方式 认可 的人数 求 X 的分布列及数学期 望 参考公式 2 2 n adbc K ab cd ac bd 其中 n a b c d 参考数据 P K2 k0 0 100 050 0250 0100 0050 001 k02 7063 8415 0246 63