英豪班培训资料：圆(竞赛)

1 英豪班培训资料 圆英豪班培训资料 圆 一 弦切角定理 一 弦切角定理 顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角就是切线与弦所夹 的角 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 O B C A P 几何语言 PB 是 O 的切线 PBC A 二 圆幂定理二 圆幂定理 圆幂的定义 一点 P 对半径 R 的圆 O 的幂定义如下 22 OPR 所以圆内的点的幂为负数 圆外的点的幂为正数 圆上的点的幂为零 圆幂定理是相交弦定理 切割线定理及割线定理 切割线定理推论 以及他们推论 的统称 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 P D C B A 如图 AB CD 为圆 O 的两条任意弦 相交于点 P 连接 AD BC 则 D B A C 所以 APD BPC 所以 APPD AP BPPC PD PCBP 2 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项 T P B A 如图 PT 为圆切线 PAB 为割线 连接 TA TB 则 PTA B 弦切角等于同弧 2 圆周角 所以 PTA PBT 所以 2 PTPA PTPA PB PBPT 3 割线定理 从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A B C D 则有 PA PB PC PD P D C B A 这个证明就比较简单了 可以过P 做圆的切线 也可以连接 CB 和 AD 证相似 存在 PA PBPC PD 进一步升华 推论 过任意在圆 O 外的一点 P 引一条直线 L1 与一条过圆心的直线 L2 L1 与圆交于 A B 可重合 即切线 L2 与圆交于 C D 则 PA PB PC PD 若圆半径为 r 则 一定要加绝对值 原因见下 2222 PC PDPORPORPORPOR 为定值 这个值称为点 P 到圆 O 的幂 事实上所有的过 P 点与圆相交的直线都满足 这个值 若点 P 在圆内 类似可得定值为 2222 RPOPOR 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值 这就是 圆幂 的由来 1 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 5 O 与 Rt ABC 的三边 AB BC AC 分 相切于点 D E F 若 O 的半径 r 2 则 Rt ABC 的周长为 3 2 D 是 ABC 的边 AB 上的一点 使得 AB 3AD P 是 ABC 外接圆上一点 使得 求的值 ACBADP PD PB 解 解 连结 AP 则 ADPACBAPB 所以 APB ADP 5 分 AD AP AP AB 所以 22 3ADADABAP 10 分 ADAP3 所以 15 分 3 AD AP PD PB 3 如图 点 P 为 O 外一点 过点 P 作 O 的两条切线 切点分别为 A B 过点 A 作 PB 的平行线 交 O 于点 C 连结 PC 交 O 于点 E 连结 AE 并延长 AE 交 PB 于点 K 求证 PE AC CE KB 4 证明 因为 AC PB 所以 KPE ACE 又 PA 是 O 的切线 所以 KAP ACE 故 KPE KAP 于是 KPE KAP 所以 即 KP KE KA KP KAKEKP 2 由切割线定理得 KAKEKB 2 所以 10 分KBKP 因为 AC PB KPE ACE 于是 故 AC KP CE PE AC KB CE PE 即 PE AC CE KB 15 分 4 已知 AB 为半圆 O 的直径 点 P 为直径 AB 上的任意一点 以点 A 为圆心 AP 为半径 作 A A 与半圆 O 相交于点 C 以点 B 为圆心 BP 为半径作 B B 与半圆 O 相交于点 D 且线段 CD 的中点为 M 求证 MP 分别与 A 和 B 相切 证明 如图 连接 AC AD BC BD 并且分别过点 C D 作 AB 的垂线 垂足分别 为 E F 则 CE DF 因为 AB 是 O 的直径 所以90ACBADB 在 Rt ABC和 Rt ABD中 由射影定理得 22 PAACAE AB 22 PBBDBF AB 5 分 两式相减可得 22 PAPBAB AEBF 又 22 PAPBPAPB PAPBAB PAPB 于是有 AEBFPAPB 即PAAEPBBF 所以PEPF 也就是说 点 P 是线段 EF 的中点 因此 MP 是直角梯形CDFE的中位 线 于是有MPAB 从而可得 MP 分别与 A 和 B 相切 5 如图 圆内接四边形 ABCD 中 CDCB 求证 ADABCBCA 22 第 13A 题答案图 5 E D B AC 证明 连结 BD AC 交于点 E 则 BAE CAD ABE ACD 所以 5 分ABEACD 所以 ABAC AEAD 所以 10 分AEACADAB 又 CBE CAB BCE ACB 所以 15 分CBECAB 所以 CBCA CECB 所以 20 分CECACB 2 所以 22 CAAECACECAADABCB 所以 25 分ADABCBCA 22 6 如图 四边形 ABCD 内接于 O AB 是直径 AD DC 分别延长 BA CD 交点为 E 作 BF EC 并与 EC 的延长线交于点 F 若 AE AO BC 6 则 CF 的长为 解 如图 连接 AC BD OD 由 AB 是 O 的直径知 BCA BDA 90 依题设 BFC 90 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 所以 BCF BAD 所以 Rt BCF Rt BAD 因此 BCBA CFAD 因为 OD 是 O 的半径 AD CD 所以 OD 垂直平分 AC OD BC 6 于是 2 DEOE DCOB 因此 223DECDADCEAD 由 AED CEB 知DE ECAE BE 因为 3 22 BA AEBEBA 所以 3 23 22 BA ADADBA BA 22AD 故 AD CFBC BA 3 2 22 2 BC 7 如图 O 的直径为AB O 1过点O 且与 O 内切于点B C为 O 上的点 OC与 O 1交于点D 且OD CD 点E在OD上 且DCDE BE 的延长线 与 O 1交于点F 求证 BOC 1 DO F 证明 连接 BD 因为OB为 O 1的直径 所以 90ODB 又因为DCDE 所以 CBE 是等腰三角形 5 分 设 BC 与 O 1交于点M 连接 OM 则90OMB 又因为OCOB 所以 22BOCDOMDBC 1 2 DBFDO F 15 分 又因为 1 BOCDO F 分别是等腰 BOC 等腰 1 DO F的顶角 所以 BOC 1 DO F 20 分 8 如图 点 H 为 ABC 的垂心 以 AB 为直径的 和 BCH 的外接圆 相交于点 1 O 2 O D 延长 AD 交 CH 于点 P 求证 点 P 为 CH 的中点 7 A B C 1 O H 2 O P D Q 证明 如图 延长 AP 交 于点 Q 2 O 连结 AH BD QC QH AB 为直径 ADB BDQ 900 BQ 为 的直径 2 O 于是 CQ BC BH HQ 点 H 为 ABC 的垂心 AH BC BH AC AH CQ AC HQ 四边形 ACHQ 为平行四边形 则点 P 为 CH 的中点 9 如图 ABC 为等腰三角形 AP 是底边 BC 上的高 点 D 是线段 PC 上的一点 BE 和 CF 分别是 ABD 和 ACD 的外接圆直径 连接 EF 求证 BC EF PADtan 证明 如图 连接 ED FD 因为 BE 和 CF 都是直 径 所以 ED BC FD BC 因此 D E F 三点共线 5 分 连接 AE AF 则 AEFABCACBAFD 所以 ABC AEF 10 分 作 AH EF 垂足为 H 则 AH PD 由 ABC AEF 可得 EFAH BCAP 从而 EFPD BCAP 所以 20 分 tan PDEF PAD APBC 10 如图 P 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的延长线上一点 DP 与 AC BC 分别交于点 E F EG 是过 B F P 三点的圆的切线 G 为切点 求证 EG DE 第 12A 题 第 12B 题 8 解 由 AD BC 得 AED CEF 从而 DE EF AE EC 又因为 AP DC 得 AEP CED 于是 AE EC EP DE 故 DE EF EP DE 即EPEFDE 2 而 EG 是过 B F P 三点的圆的切线 EFP 为此圆的割线 则 故EPEFEG 2 所以 EG DE 22 EGDE 11 如图 直线 AB 和 AC 与 O 分别相切于 B C P 为圆上一点 P 到 AB AC 的距离 分别为 4cm 6cm 那么 P 到 BC 的距离为 6 4 E D F C B O A P 解 连接 DF BP EF PC AB AC 是 O 的切线 AB AC ABC ACB PDB PFB PFC PEC 90 DPF EPF 点 P E C F 四点共圆 点 P F B D 四点共圆 PDF PBF PCE PFE PFD PEF PF PD PE PF 9 2464 2 PEPDPF 62 PF 12 如图 在 ABC 中 AB AC 任意延长 CA 到 P 再延长 AB 到 Q 使 AP BQ 求证 ABC 的外心 O 与 A P Q 四点共圆 思路思路点拨点拨 先作出 ABC 的外心 O 连 PO OQ 将问题转化为证明角相等 P Q O C B A 解 点 O 为 ABC 的外心 连结 OA OB OP OQ 则 OA OB OAB OBA OAB OAC OBA OAC OAP OBQ AP AQ OAP OBQ OPA OQB 点 A P Q O 四点共圆 13 如图 在正方形 ABCD 中 AB 1 是以点 B 为圆心 AB 长为半径的圆的一段弧 AC 点 E 是边 AD 上的任意一点 点 E 与点 A D 不重合 过 E 作所在圆的切线 交 AC 边 DC 于点 F G 为切点 1 当 DEF 45 时 求证点 G 为线段 EF 的中点 2 设 AE x FC y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出函数的定义域 3 将 DEF 沿直线 EF 翻折后得 D1EF 如图 当 EF 6 5 时 讨论 AD1D 与 ED1F 是 否相似 如果相似 请加以证明 如果不相似 只要求写出结论 不要求写出理由 10 解 1 设 DE x 在 Rt DEF 中 DEF 45 则 DF DE x AE CF 1 x 由切线长定理可证 EG AE 1 x FG FC 1 x 则 EF 2 1 x 由勾股定理 得 所以 解得 222 EFDFDE 2 22 12xxx 50 x 故点 G 为线段 EF 的中点 2 由题意知 DE 1 x DF 1 y 由 1 小题可知 EG AE x FG FC y 则 EF x y 222 EFDFDE 222 11yxyx 10 1 1 x x x y 3 理由如下 FEDDAD 11 由翻折可知 则 而 90 1 EDFFED 180 11 DEDDFD 所以 因为 所 180 11 DEDAED 11 DFDAED 45 11 DFDAED 以 所以 所以DFDAED 11 FD ED DD AD 1 1 1 1 FDDEAD 11 即 所以DEDFDDDEDEAD 1111 FEDDAD 11 FEDDAD 11 F E D1 BC A D G 14 圆 O1与圆 O2交于点 A B 过 A 的直线分别交圆 O1 圆 O2于 M N C 为 MN 的中 11 点 P 为 O1O2的中点 求证 PA PC 证明 下面对 AM AN 的情况进行证明 AM AN 与 AM AN 同理证明 方法一 作 PQ 垂直 MN 于 Q O1E 垂直 MN 于 E O2F 垂直 MN 于 F 则 PQ O1E O2F 因为 P 是 O1O2的中点 所以 Q 是 EF 的中点 即 QE QF EF 2 根据垂径定理得 AE ME AM 2 AF NF AN 2 所以 EF AE AF AM AN 2 MN 2 设 AM 4X AN 4Y 则 AE ME 2X AF NF 2Y QE QF X Y 因为 C 为 MN 的中点 所以 MC NC MN 2 2X 2Y 因为 AQ AE QE 2X X Y X Y CQ QM MC ME QE MC 2X X Y 2X 2Y X Y 所以 AQ CQ 因为 PQ AC 所以 PQ 垂直平分 AC 所以 PA PC 方法二 在 O1中作直径 AR 在 O2中作直径 AS 连接 BR BS 延长 AP 交 BR 于 G 连接 CG RM SN AB 因为 AR AS 是直径 所以 ABR ABS 90 M N 90 所以 R B S 在同一直线上 且有 AB RS RM SN 因为 AB O1O2 所以 O1O2 RS 所以 O1P RG AP AG O2P SG AP AG 因为 O1P O2P 所以 RG SG 因为 CM CN 所以 CG 是梯形 MNSR 的中位线 所以 CG RM 所以 CG MN 1