近年安徽省高考数列大题

近年安徽省高考数列问题 2014 设实数 整数0c 1 pnN 证明 当且时 1x 0 x 11 p xpx 数列满足 证明 n a 1 1 p ac 1 1 1 p nnn pc aaa pp p nn ca 1 1 a 证 用数学归纳法证明 1 当时 原不等式成立 2p 22 1 1212xxxx 2 假设时 不等式成立 2 pk kkN 1 1 k xkx 当时 1pk 1 1 1 1 1 1 kk xxxxkx 2 1 1 1 1 kxkxkx 所以时 原不等式成立 1pk 综合 1 2 可得当且时 对一切整数 不等式1x 0 x 1p 均成立 1 1 p xpx 证法一 先用数学归纳法证明 1 p n ac 1 当时由假设知成立 1n 1 1 p ac 1 p n ac 2 假设时 不等式成立 1 nk kkN 1 p k ac 由易知 1 1 1 p nnn pc aaa pp 0 n anN 当时1nk 1 11 1 1 p k k p kk apcc a appp a 由得 1 0 p k ac 11 1 1 0 p k c pp a 由 中的结论得 1 11 1 1 1 1 pp k ppp kkkk accc p ap ap aa 因此 即 1 p k ac 1 1 p k ac 所以 当时 不等式也成立 1nk 1 p n ac 综合 1 2 可得 对一切正整数 不等式均成立 n 1 p n ac 再由得 即 1 1 1 1 n p nn ac ap a 1 1 n n a a 1nn aa 综上所述 1 1 p nn aacnN 证法二 设 则 并且 1 1 1 pp pc f xxxxc pp p xc 1 11 1 1 0 pp p pcpc fxp xxc pppx 由此可见 在上单调递增 因而当时 f x 1 p c 1 p xc 11 pp f xf cc 1 当时由 即可知1n 1 1 0 p ac 1 p ac 1 21111 1 11 1 1 p p pcc aaaaa ppp a 并且 从而 1 21 p af ac 1 12 p aac 故当时 不等式成立 1n 1 1 p nn aac 2 假设时 不等式成立 则 1 nk kkN 1 1 p kk aac 当时 即有1nk 1 1 p kk f af af c 1 12 p kk aac 所以当时原不等式也成立 1nk 综合 1 2 可得 对一切正整数不等式均成立 n 1 1 p nn aac 2013 设函数 证明 22 222 1 23 n n n xxx fxxxR nN n 对每个 存在唯一的 满足 n nN 2 1 3 n x 0 nn fx 对任意 由 中构成的数列满足 n pN n x n x 1 0 nnp xx n 解析 是 x 22 4 2 3 2 2 2 432 1 0 n xxxx xxf n x yx n n n 是单调递增的时 当 的单调递增函数 也是 n 的单调递增函数 011 1 01 0 nn ff且 010 1 0 321 nnnn xxxxxfx 且满足存在唯一 x x x x xx x xxxx xxfx nn n 1 1 4 1 1 1 4 1 2222 1 1 0 212 22 4 2 3 2 2 时当 1 3 2 0 23 2 1 1 4 1 0 2 nnn n n nnn xxx x x xxf 综上 对每个 存在唯一的 满足 证毕 n nN 2 1 3 n x 0 nn fx 由题知0 432 1 01 22 4 2 3 2 2 n xxxx xxfxx n nnnn nnnpnn 0 1 432 1 22 1 22 4 2 3 2 2 pn x n x n xxxx xxf pn pn n pn n pnpnpnpn pnpnpn 上式相减 22 1 22 4 2 3 2 2 22 4 2 3 2 2 1 432432pn x n x n xxxx x n xxxx x pn pn n pn n pnpnpnpn pn n nnnn n 22 1 22 44 2 33 2 22 1 4 3 2 pn x n x n xxxxxxxx xx pn pn n pn n n n pnnpnnpnnpn pnn 证毕 n xx npnn pnn 1 111 2012 数列满足 n x 2 11 0 nnn xxxxc nN I 证明 数列是单调递减数列的充分必要条件是 n x0c II 求的取值范围 使数列是单调递增数列 c n x 解析 I 必要条件 当时 数列是单调递减数列0c 2 1nnnn xxxcx n x 充分条件 数列是单调递减数列 n x 22 12111 0 xxxxccx 得 数列是单调递减数列的充分必要条件是 n x0c II 由 I 得 0C 当时 不合题意0c 1 0 n aa 当时 0c 2 2132 201xcx xccxcc 22 11 010 nnnnn xxcxxcxxc 22 211111 1 nnnnnnnnnn xxxxxxxxxx 当时 与同号 1 4 c 121 1 10 2 nnnnn xcxxxx 1nn xx 由 2121 00 nnnn xxcxxxx 2 1 limlim lim nnnn nnn xxxcxc 当时 存在 使与异号 1 4 c N 121 1 1 2 NNNNN xxxxx 1NN xx 与数列是单调递减数列矛盾 n x 得 当时 数列是单调递增数列 1 0 4 c n x 2009 首项为正数的数列满足 n a 2 1 1 3 4 nn aanN I 证明 若为奇数 则对一切都是奇数 1 a2 n na II 若对一切都有 求的取值范围 nN 1nn aa 1 a 21 本小题主要考查数列 数学归纳法和不等式的有关知识 考查推理论证 抽象概括 运算求解和探究能力 考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野 本小题满分 13 分 解 I 已知是奇数 假设是奇数 其中为正整数 1 a21 k am m 则由递推关系得是奇数 2 1 3 1 1 4 k k a am m 根据数学归纳法 对任何 都是奇数 nN n a II 方法一 由知 当且仅当或 1 1 1 3 4 nnnn aaaa 1nn aa 1 n a 3 n a 另一方面 若则 若 则01 k a 1 1 3 01 4 k a 3 k a 2 1 33 3 4 k a 根据数学归纳法 11 01 01 33 nn aanNaanN 综合所述 对一切都有的充要条件是或 nN 1nn aa 1 01a 1 3a 方法二 由得于是或 2 1 21 3 4 a aa 2 11 430 aa 1 01a 1 3a 22 111