二次根式勾股定理培优检测

第 1 页 共 19 页 二次根式勾股定理培优检测二次根式勾股定理培优检测 一 选择题 共一 选择题 共 7 小题 小题 1 2016 重庆模拟 如果是二次根式 那么 x y 应满足的条件是 A x 1 y 0 B x 1 y 0C 0D x 1 y 0 2 2012 桃源县校级自主招生 已知 a 为实数 则代数式的最小值为 A 0B 3C D 9 3 2012 厦门模拟 若整数 m 满足条件 m 1 且 m 则 m 的值是 A 0 或 1B 1 0 或 1C 0 或 1D 1 4 2015 黑龙江 ABC 中 AB AC 5 BC 8 点 P 是 BC 边上的动点 过点 P 作 PD AB 于点 D PE AC 于点 E 则 PD PE 的长是 A 4 8B 4 8 或 3 8 C 3 8D 5 5 2008 绍兴校级模拟 编织一个底面周长为 a 高为 b 的圆柱形花架 需用沿圆柱表面 绕织一周的竹条若干根 如图中的 A1C1B1 A2C2B2 则每一根这样的竹条的长度最少 是 A B C D a b 6 2012 余姚市校级自主招生 如图 在四边形 ABCD 中 B 135 C 120 AB BC CD 则 AD 边的长为 A B C D 7 2015 秋 福鼎市校级期中 如图所示为一种 羊头 形图案 其作法是 从正方形 开 始 以它的一边为斜边 向外作等腰直角三角形 然后再以其直角边为边 分别向外作正 方形 和 依此类推 若正方形 的面积为 64 则正方形 的面积为 第 2 页 共 19 页 A 2B 4C 8D 16 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 8 2013 六盘水 无论 x 取任何实数 代数式都有意义 则 m 的取值范围为 9 2015 春 东台市月考 三角形的三边长分别为 3 m 5 化简 10 2013 雅安 在平面直角坐标系中 已知点 A 0 B 0 点 C 在坐标 轴上 且 AC BC 6 写出满足条件的所有点 C 的坐标 11 2011 潍坊 已知长方形 ABCD AB 3cm AD 4cm 过对角线 BD 的中点 O 做 BD 垂直平分线 EF 分别交 AD BC 于点 E F 则 AE 的长为 12 2009 宜宾 已知 如图 以 Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形 若 斜边 AB 3 则图中阴影部分的面积为 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 13 2015 春 阳东县期中 阅读下列材料 根据上面的解题方法化简 第 3 页 共 19 页 14 2004 龙岩 张老师在一次 探究性学习 课中 设计了如下数表 n2345 a22 1 32 142 152 1 b46810 c2 2 1 32 1 42 1 52 1 1 请你分别观察 a b c 与 n 之间的关系 并用含自然数 n n 1 的代数式表示 a b c 2 猜想 以 a b c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想 15 2013 春 双流县期中 已知关于 x y 的方程组的解都不大于 1 1 求 m 的范围 2 化简 16 2015 秋 河源校级月考 细心观察下图 认真分析各式 然后解答问题 OA22 2 1 2 S1 OA32 12 2 3 S2 OA42 12 2 4 S3 1 直接写出答案 OA10 2 请用含有 n n 是正整数 的等式表示上述变化规律 3 求出 S S S S的值 第 4 页 共 19 页 17 2015 秋 贵阳校级期中 观察 思考与验证 1 如图 1 是一个重要公式的几何解释 请你写出这个公式 2 如图 2 所示 B D 90 且 B C D 在同一直线上 试说明 ACE 90 3 伽菲尔德 1881 年任美国第 20 届总统 利用 1 中的公式和图 2 证明了勾股定理 发表在 1876 年 4 月 1 日的 新英格兰教育日志 上 请你写出验证过程 18 2015 秋 南通校级期中 如图 已知 ABC 中 B 90 AB 16cm BC 12cm P Q 是 ABC 边上的两个动点 其中点 P 从点 A 开始沿 A B 方 向运动 且速度为每秒 1cm 点 Q 从点 B 开始沿 B C A 方向运动 且速度为每秒 2cm 它们同时出发 设出发的时间为 t 秒 1 出发 2 秒后 求 PQ 的长 2 当点 Q 在边 BC 上运动时 出发几秒钟后 PQB 能形成等腰三角形 3 当点 Q 在边 CA 上运动时 求能使 BCQ 成为等腰三角形的运动时间 第 5 页 共 19 页 第 6 页 共 19 页 二次根式勾股定理培优检测二次根式勾股定理培优检测 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 7 小题 小题 1 2016 重庆模拟 如果是二次根式 那么 x y 应满足的条件是 A x 1 y 0 B x 1 y 0C 0D x 1 y 0 考点 二次根式有意义的条件 菁优网版权所有 分析 根据二次根式有意义的条件列出不等式即可 解答 解 根据二次根式有意义的条件可知 x y 满足 0 时 是二次根式 故选 C 点评 本题考查的是二次根式有意义的条件 掌握二次根式中的被开方数是非负数是解 题的关键 2 2012 桃源县校级自主招生 已知 a 为实数 则代数式的最小值为 A 0B 3C D 9 考点 二次根式的性质与化简 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 把被开方数用配方法整理 根据非负数的意义求二次根式的最小值 解答 解 原式 当 a 3 2 0 即 a 3 时 代数式的值最小 为即 3 故选 B 点评 用配方法对多项式变形 根据非负数的意义解题 是常用的方法 需要灵活掌 握 3 2012 厦门模拟 若整数 m 满足条件 m 1 且 m 则 m 的值是 A 0 或 1B 1 0 或 1C 0 或 1D 1 第 7 页 共 19 页 考点 二次根式的性质与化简 估算无理数的大小 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 根据 a 由 m 1 得到 m 1 0 解得 m 1 而 m 即 m 得到 1 m 对进行估算得到它小于 1 由此得到满足条件的整数 m 为 1 0 解答 解 m 1 m 1 0 解得 m 1 又 m 即 m 1 m 整数 m 为 1 0 故选 C 点评 本题考查了二次根式的性质与化简 a 也考查了无理数的估算 4 2015 黑龙江 ABC 中 AB AC 5 BC 8 点 P 是 BC 边上的动点 过点 P 作 PD AB 于点 D PE AC 于点 E 则 PD PE 的长是 A 4 8B 4 8 或 3 8 C 3 8D 5 考点 勾股定理 等腰三角形的性质 菁优网版权所有 专题 动点型 分析 过 A 点作 AF BC 于 F 连结 AP 根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可 得 AF 的长 由图形得 SABC SABP SACP 代入数值 解答出即可 解答 解 过 A 点作 AF BC 于 F 连结 AP ABC 中 AB AC 5 BC 8 BF 4 ABF 中 AF 3 8 3 5 PD 5 PE 12 5 PD PE PD PE 4 8 故选 A 第 8 页 共 19 页 点评 本题主要考查了勾股定理 等腰三角形的性质 解答时注意 将一个三角形的面 积转化成两个三角形的面积和 体现了转化思想 5 2008 绍兴校级模拟 编织一个底面周长为 a 高为 b 的圆柱形花架 需用沿圆柱表面 绕织一周的竹条若干根 如图中的 A1C1B1 A2C2B2 则每一根这样的竹条的长度最少 是 A B C D a b 考点 勾股定理的应用 几何体的展开图 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据题意 得每一根这样的竹条的长度最少即为圆柱的侧面展开图的矩形的对角 线的长 根据勾股定理即可求解 解答 解 根据题意 得 圆柱的侧面展开图 矩形的长是 a 宽是 b 根据勾股定理 得每一根这样的竹条的长度最少是 故选 A 点评 此题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理的简单计算 6 2012 余姚市校级自主招生 如图 在四边形 ABCD 中 B 135 C 120 AB BC CD 则 AD 边的长为 A B C D 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 作 AE BC DF BC 构建直角 AEB 和直角 DFC 根据勾股定理计算 BE CF DF 计算 EF 的值 并根据 EF 求 AD 解答 解 如图 过点 A D 分别作 AE DF 垂直于直线 BC 垂足分别为 E F 由已知可得 BE AE CF DF 2 于是 EF 4 过点 A 作 AG DF 垂足为 G 在 Rt ADG 中 根据勾股定理得 第 9 页 共 19 页 AD 故选 D 点评 本题考查了勾股定理的正确运用 本题中构建直角 ABE 和直角 CDF 是解题的 关键 7 2015 秋 福鼎市校级期中 如图所示为一种 羊头 形图案 其作法是 从正方形 开 始 以它的一边为斜边 向外作等腰直角三角形 然后再以其直角边为边 分别向外作正 方形 和 依此类推 若正方形 的面积为 64 则正方形 的面积为 A 2B 4C 8D 16 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 规律型 分析 根据题意可知第一个正方形的面积是 64 则第二个正方形的面积是 32 进而 可找出规律得出第 n 个正方形的面积 即可得出结果 解答 解 第一个正方形的面积是 64 第二个正方形的面积是 32 第三个正方形的面积是 16 第 n 个正方形的面积是 正方形 的面积是 4 故选 B 点评 本题考查了正方形的性质 等腰直角三角形的性质 勾股定理 解题的关键是找 出第 n 个正方形的面积 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 主观题不能在线作答 请下载完成 主观题不能在线作答 请下载完成 8 2013 六盘水 无论 x 取任何实数 代数式都有意义 则 m 的取值范围为 m 9 考点 二次根式有意义的条件 非负数的性质 偶次方 配方法的应用 菁优网版权所有 专题 压轴题 第 10 页 共 19 页 分析 二次根式的被开方数是非负数 即 x2 6x m x 3 2 9 m 0 所以 x 3 2 9 m 通过偶次方 x 3 2是非负数可求得 9 m 0 则易求 m 的取值范围 解答 解 由题意 得 x2 6x m 0 即 x 3 2 9 m 0 x 3 2 0 要使得 x 3 2 9 m 恒大于等于 0 m 9 0 m 9 故答案为 m 9 点评 考查了二次根式的意义和性质 概念 式子 a 0 叫二次根式 性质 二次 根式中的被开方数必须是非负数 否则二次根式无意义 9 2015 春 东台市月考 三角形的三边长分别为 3 m 5 化简 2m 10 考点 二次根式的性质与化简 三角形三边关系 菁优网版权所有 分析 先利用三角形的三边关系求出 m 的取值范围 再化简求解即可 解答 解 三角形的三边长分别为 3 m 5 2 m 8 m 2 8 m 2m 10 故答案为 2m 10 点评 本题主要考查了二次根式的性质与化简及三角形三边关系 解题的关键是熟记三 角形的三边关系 10 2013 雅安 在平面直角坐标系中 已知点 A 0 B 0 点 C 在坐标 轴上 且 AC BC 6 写出满足条件的所有点 C 的坐标 0 2 0 2 3 0 3 0 考点 勾股定理 坐标与图形性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 分类讨论 分析 需要分类讨论 当点 C 位于 x 轴上时 根据线段间的和差关系即可求得点 C 的坐标 当点 C 位于 y 轴上时 根据勾股定理求点 C 的坐标 解答 解 如图 当点 C 位于 y 轴上时 设 C 0 b 则 6 解得 b 2 或 b 2 此时 C 0 2 或 C 0 2 第 11 页 共 19 页 如图 当点 C 位于 x 轴上时 设 C a 0 则 a a 6 即 2a 6 或 2a 6 解得 a 3 或 a 3 此时 C 3 0 或 C 3 0 综上所述 点 C 的坐标是 0 2 0 2 3 0 3 0 故答案是 0 2 0 2 3 0 3 0 点评 本题考查了勾股定理 坐标与图形的性质 解题时 要分类讨论 以防漏解 另 外 当点 C 在 y 轴上时 也可以根据两点间的距离公式来求点 C 的坐标 11 2011 潍坊 已知长方形 ABCD AB 3cm AD 4cm 过对角线 BD 的中点 O 做 BD 垂直平分线 EF 分别交 AD BC 于点 E F 则 AE 的长为 cm 考点 勾股定理 线段垂直平分线的性质 矩形的性质 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 连接 EB 构造直角三角形 设 AE 为 x 则 DE BE 4 x 利用勾股定理得到有关 x 的一元一次方程 求得即可 解答 解 连接 EB EF 垂直平分 BD ED EB 设 AE xcm 则 DE EB 4 x cm 第 12 页 共 19 页 在 Rt AEB 中 AE2 AB2 BE2 即 x2 32 4 x 2 解得 x 故答案为 cm 点评 本题考查了勾股定理的内容 利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长 而 且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程 12 2009 宜宾 已知 如图 以 Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形 若 斜边 AB 3 则图中阴影部分的面积为 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积 再根据勾股定理可得 AB2 AC2 BC2 进而可将阴影部分的面积求出 解答 解 在 Rt ABC 中 AB2 AC2 BC2 AB 3 S阴影 S AHC S BFC S AEB AC2 BC2 AB2 AB2 32 第 13 页 共 19 页 故图中阴影部分的面积为 点评 本题主要是考查勾股定理的应用 比较简单 注意 以直角三角形的两条直角边为斜边的两个等腰直角三角形的面积的和等于以斜边为 斜边的等腰直角三角形的面积 等腰直角三角形的斜边是直角边的倍 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 小题 主观题不能在线作答 请下载完成 主观题不能在线作答 请下载完成 13 2015 春 阳东县期中 阅读下列材料 根据上面的解题方法化简 考点 二次根式的性质与化简 菁优网版权所有 分析 根据材料将被开方数变形为两个数的和的平方的形式然后开方即可 解答 解 点评 本题主要考查的是二次根式的化简 完全平方公式的应用 将被开方数变形为完 全平方的形式是解题的关键 14 2013 春 双流县期中 已知关于 x y 的方程组的解都不大于 1 1 求 m 的范围 2 化简 考点 二次根式的性质与化简 解二元一次方程组 解一元一次不等式组 菁优网版权所有 第 14 页 共 19 页 专题 计算题 分析 1 利用 加减消元法 求得原方程组的解 然后根据题意 列出关于 m 的不等式 组 解关于 m 的不等式组即可 2 利用 1 中的 x y 的取值范围和完全平方差公式化简二次根式 根据 m 的取值范 围来去绝对值 解答 解 1 由 得 6x m 1 即 x 由 得 4y 1 m 解得 y 关于 x y 的方程组的解都不大于 1 解 得 m 5 解 得 m 3 m 的范围是 3 m 5 2 x 1 y 1 3 m 5 x 1 0 y 1 0 6 m 3 8 2 m 5 0 x y 2 0 原式 x 1 y 1 m 3 m 5 x y 2 1 x 1 y m 3 m 5 x y 2 8 点评 本题综合考查了二次根式的性质与化简 二元一次方程组的解法及一元一次不等 式组的解法 解答 2 的难点是利用二次根式的性质化简二次根式 a 15 2004 龙岩 张老师在一次 探究性学习 课中 设计了如下数表 第 15 页 共 19 页 n2345 a22 1 32 142 152 1 b46810 c2 2 1 32 1 42 1 52 1 1 请你分别观察 a b c 与 n 之间的关系 并用含自然数 n n 1 的代数式表示 a n2 1 b 2n c n2 1 2 猜想 以 a b c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想 考点 勾股定理的逆定理 列代数式 菁优网版权所有 专题 应用题 压轴题 分析 1 结合表中的数据 观察 a b c 与 n 之间的关系 可直接写出答案 2 分别求出 a2 b2 c2 比较即可 解答 解 1 由题意有 n2 1 2n n2 1 2 猜想为 以 a b c 为边的三角形是直角三角形 证明 a n2 1 b 2n c n2 1 a2 b2 n2 1 2 2n 2 n4 2n2 1 4n2 n4 2n2 1 n2 1 2 而 c2 n2 1 2 根据勾股定理的逆定理可知以 a b c 为边的三角形是直角三角形 点评 本题需仔细观察表中的数据 找出规律 利用勾股定理的逆定理即可解决问题 16 2015 秋 河源校级月考 细心观察下图 认真分析各式 然后解答问题 OA22 2 1 2 S1 OA32 12 2 3 S2 OA42 12 2 4 S3 1 直接写出答案 OA10 2 请用含有 n n 是正整数 的等式表示上述变化规律 3 求出 S S S S的值 考点 勾股定理 菁优网版权所有 专题 规律型 第 16 页 共 19 页 分析 1 由给出的数据写出 OA102的长 即可得出 S10的值 2 由 1 OA12 OA22 OA33 和 S1 S2 S3 Sn 找出规律即可得出结果 3 首先求出 S12 S22 S32 Sn2的公式 然后把 n 10 代入即可 解答 解 1 OA12 1 OA22 2 OA32 3 OA102 10 OA10 故答案为 2 由 1 得 OAn2 12 2 n Sn 3 S12 S22 S32 S102 S12 S22 S32 Sn2 点评 本题主要考查勾股定理的知识点 解答本题的关键是熟练运用勾股定理 此题难 度不大 17 2015 秋 贵阳校级期中 观察 思考与验证 1 如图 1 是一个重要公式的几何解释 请你写出这个公式 a b 2 a2 2ab b2 2 如图 2 所示 B D 90 且 B C D 在同一直线上 试说明 ACE 90 3 伽菲尔德 1881 年任美国第 20 届总统 利用 1 中的公式和图 2 证明了勾股定理 发表在 1876 年 4 月 1 日的 新英格兰教育日志 上 请你写出验证过程 考点 勾股定理的证明 菁优网版权所有 分析 1 由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果 2 由全等三角形的性质得出 BAC DCE 再由角的互余关系得出 ACB DCE 90 即可得出结论 3 先证明四边形 ABDE 是梯形 由四边形 ABDE 的面积的两种计算方法即可得出结 论 解答 1 解 这个公式是完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 理由如下 大正方形的边长为 a b 大正方形的面积 a b 2 又 大正方形的面积 两个小正方形的面积 两个矩形的面积 a2 b2 ab ab a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 故答案为 a b 2 a2 2ab b2 2 证明 ABC CDE BAC DCE 第 17 页 共 19 页 ACB BAC 90 ACB DCE 90 ACE 90 3 证明 B D 90 B D 180 AB DE 即四边形 ABDE 是梯形 四边形 ABDE 的面积 a b a b ab c2 ab 整理得 a2 b2 c2 点评 本题考查了完全平方公式 全等三角形的性质 正方形面积的计算 梯形面积的 计算方法 熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键 18 2015 秋 南通校级期中 如图 已知 ABC 中 B 90 AB 16cm BC 12cm P Q 是 ABC 边上的两个动点 其中点 P 从点 A 开始沿