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1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式有理系数多项式 问题的引入问题的引入 1 1 1 1 由因式分解定理 作为一个特殊情形 由因式分解定理 作为一个特殊情形 对对 则则 可唯一可唯一 1 1 1 1 f xxf xf xxf xf xxf xf xxf x f xf xf xf x 分解分解成不可约的有理系数多项式的积成不可约的有理系数多项式的积 但是 如何作出它的分解式却很复杂 没有但是 如何作出它的分解式却很复杂 没有 一个一个一般的方法一般的方法 2 2 2 2 我们知道 在我们知道 在 上只有一次多项式才是不上只有一次多项式才是不 可约多项式 可约多项式 在在 上 不可约多项式只有一次多项式与上 不可约多项式只有一次多项式与 某些二次多项式 某些二次多项式 在在 上上 该如何判断多项式的不可约性该如何判断多项式的不可约性 3 3 3 3 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题 1 1 1 1 10101010 nnnnnnnn nnnnnnnn f xa xaxaxf xa xaxaxf xa xaxaxf xa xaxax 这是因为这是因为 设设 则可选取适当整数则可选取适当整数 c c c c 使使 为整系数多项式 为整系数多项式 cf xcf xcf xcf x cf xcf xcf xcf x 若若 的各项系数有公因子的各项系数有公因子 就可以提出来就可以提出来 得得 cf xdg xcf xdg xcf xdg xcf xdg x 也即也即 d d d d f xg xf xg xf xg xf xg x c c c c 其中其中 是整系数多项式是整系数多项式 且各项系数没有异于且各项系数没有异于 g xg xg xg x 的公因子 的公因子 1 1 1 1 一 本原多项式一 本原多项式一 本原多项式一 本原多项式 设设 1 1 1 1 110110110110 0 0 0 0 nnnnnnnn nnnnnnnn g xb xbxb xbg xb xbxb xbg xb xbxb xbg xb xbxb xb 定义定义定义定义1 1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 i i i i binbinbinbin 若若 没有没有 110110110110 nnnnnnnn b bb bb bb bb bb bb bb b 则称则称 为为本原多项式本原多项式本原多项式本原多项式 g xg xg xg x 异于异于 的公因子 即的公因子 即 110110110110 nnnnnnnn b bb bb bb bb bb bb bb b 1 1 1 1 是互素的 是互素的 有关性质有关性质有关性质有关性质 1 1 1 1 f xxrf xxrf xxrf xxr 使使 f xrg xf xrg xf xrg xf xrg x 其中其中 为本原多项式 为本原多项式 g xg xg xg x 除了相差一个正负号外除了相差一个正负号外 这种表示法是唯一的这种表示法是唯一的 2 2 2 2 GaussGaussGaussGauss引理引理 定理定理定理定理1 1 1 1 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式两个本原多项式的乘积仍是本原多项式 二 二 二 二 上多项式可约性与上多项式可约性与上多项式可约性与上多项式可约性与 上多项式可约性上多项式可约性上多项式可约性上多项式可约性 定理定理定理定理2 2 2 2 设设 满足满足 f xx g xx rf xx g xx rf xx g xx rf xx g xx r f xrg xf xrg xf xrg xf xrg x 则则 在在 上可约上可约 f xf xf xf x 在在 上可约上可约 g xg xg xg x 定理定理定理定理3 3 3 3 若一非零的整系数多项式可分解成两个若一非零的整系数多项式可分解成两个 次数较低的有理系数多项式 则它一定可分解次数较低的有理系数多项式 则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积 成两个次数较低的整系数多项式的乘积 即即 若若 则则 g xxg xxg xxg xx 在在 上可约上可约 g xg xg xg x 在在 上可约上可约 g xg xg xg x 由定理的证明过程可得由定理的证明过程可得 推论推论推论推论1 1 1 1 设设 是整系数多项式是整系数多项式 且且 f x g xf x g xf x g xf x g x g xg xg xg x 是本原多项式是本原多项式 若若 f xg x h x h xxf xg x h x h xxf xg x h x h xxf xg x h x h xx 则则 必为整系数多项式必为整系数多项式 h xh xh xh x 定理定理定理定理4 4 4 4 EisensteinEisensteinEisensteinEisenstein判别法判别法判别法判别法 设设 1 1 1 1 110110110110 nnnnnnnn nnnnnnnn f xa xaxa xaxf xa xaxa xaxf xa xaxa xaxf xa xaxa xax 若有一个素数若有一个素数 使得使得 p p p p 1 1 1 1 n n n n papapapa 120120120120 2 2 2 2 nnnnnnnn p aaap aaap aaap aaa 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 3 p p p pa a a a 则则 在有理数域上是不可约的 在有理数域上是不可约的 f xf xf xf x 例例1 1 1 1 证明 证明 在在 上不可约 上不可约 2 2 2 2 n n n n x x x x 证 令证 令 即可 即可 2 2 2 2p p p p 可见存在任意次数的不可约有理系数多项式可见存在任意次数的不可约有理系数多项式 例例2 2 2 2 判断 判断 23232323 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 p p p p xxxxxxxxxxxx f xxf xxf xxf xx p p p p 为素数 在 为素数 在 上是否可约 上是否可约 p p p p 证证 与与 有相同的可约性有相同的可约性 f xf xf xf x p f xp f xp f xp f x p p p p取素数取素数 即可即可 定理定理定理定理5 5 5 5 设设 且且 则则 f xx a bf xx a bf xx a bf xx a b 0 0 0 0 a a a a f xf xf xf x在在 上不可约上不可约 在在 上不可约上不可约 g yf aybg yf aybg yf aybg yf ayb 例例例例3 3 3 3 设设 为素数为素数 证明证明 分圆多项式分圆多项式 p p p p 12121212 1 1 1 1 pppppppp f xxxxf xxxxf xxxxf xxxx 在在 上不可约上不可约 证证证证 令令 则则1 1 1 1 xyxyxyxy 1 1 1 1 g yf yg yf yg yf yg yf y 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p y y y y y y y y 112231112231112231112231pppppppppppppppp pppppppppppp yC yC yCyC yC yCyC yC yCyC yC yC 取素数取素数 由由EisensteinEisensteinEisensteinEisenstein定理及定理定理及定理5 5 5 5即可即可 p p p p 三 整三 整三 整三 整 有理有理有理有理 系数多项式的有理根系数多项式的有理根系数多项式的有理根系数多项式的有理根 定理定理定理定理6 6 6 6 设设 1 1 1 1 10101010 nnnnnnnn nnnnnnnn f xa xaxaxf xa xaxaxf xa xaxaxf xa xaxax 若若 其中其中 且且 则必有则必有 0 0 0 0 r r r r f f f f s s s s r sr sr sr s 1 1 1 1 r sr sr sr s 0 0 0 0 n n n n s ar as ar as ar as ar a 定理定理6 6 6 6是判断整系数多项式有理根的一个必要条件 是判断整系数多项式有理根的一个必要条件 而非充分条件 而非充分条件 说明说明说明说明 例例例例4 4 4 4 求方程 求方程 的有理根的有理根 43434343 2230223022302230 xxxxxxxxxxxx 可能有理根为可能有理根为 13131313 1 3 1 3 1 3 1 3 22222222 用综合除法可知 只有用综合除法可知 只有1 1 1 1为根 为根 解 解 例例例例5 5 5 5 证明证明 在在 上不可约 上不可约 3 3 3 3 51 51 51 51f xxxf xxxf xxxf xxx 若若
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