矩阵与行列式、算法初步知识点

矩阵与行列式矩阵与行列式 一 一 矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式矩阵与行列式 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 形如 这样的矩形数表叫做矩阵矩阵 1 3 512128 363836 232128 23 324 41 m n 231 3242 414 m n 2 矩阵的一般形式矩阵的一般形式 nm 个实数njmiaij 2 1 2 1 排成m行n列的矩形数表 mnnm n n aaa aaa aaa A 21 22212 11211 叫做矩阵 记作 nm A 矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 阶矩阵可记做 如矩阵为阶矩阵 可记做 矩阵m n m n A 1 3 2 1 2 1 A 为阶矩阵 可记做 有时矩阵也可用 等字母表示 512128 363836 232128 3 3 3 3 A AB 1 行向量 行向量 在矩阵中 水平方向排列的数组成的向量称为行向量行向量 12 mmmn aaa 如 如 中 51 21 28 36 38 36 23 21 28 是三个行向 512128 363836 232128 量 2 列向量 列向量 垂直方向排列的数组成的向量称为列向量列向量 1 2 n n mn a a a 如 如 中 是三个列向量 512128 363836 232128 51 36 23 21 38 21 28 36 28 3 方阵 方阵 当一个矩阵的行数与列数相等时 这个矩阵称为方矩阵方矩阵 简称方阵方阵 一个方 阵有行 列 可称此方阵为阶方阵阶方阵 如矩阵 均为三阶nn 512128 363836 232128 23 324 41 m n 方阵 4 单位矩阵 单位矩阵 在一个阶方阵中 主对角线上的元素均为 1 其余元素均为 0 的方n 阵 叫做单位矩阵单位矩阵 如矩阵为 2 阶单位矩阵 矩阵为 3 阶单位矩阵 10 01 100 010 001 5 相等矩阵 相等矩阵 如果矩阵与矩阵的行数和列数分别相等 那么与叫做同阶同阶ABAB 矩阵矩阵 如果矩阵与矩阵是同阶矩阵 当且仅当它们对应位置的元素都相等时 那AB 么矩阵与矩阵叫做相等的矩阵相等的矩阵 记为 ABAB 例 1 已知 且 求 x y u v 2 2 4 6 x A y 2 2 1 3 u B v 2 22 2 AB 6 系数矩阵和增广矩阵 系数矩阵和增广矩阵 对于方程组中未知数的系数按原来的次 25 38 xy xy x y 序排列所得的矩阵 我们叫做方程组的系数矩阵系数矩阵 而矩阵叫做方 12 31 12 5 31 8 程组的增广矩阵增广矩阵 例 2 写出下列方程组的系数矩阵和增广矩阵 1 2 3250 47 xy xy 26 327 5220 xyz xyz xyz 例 3 已知方程组的增广矩阵为 写出相应的线性方程组 11 5 31 2 例 4 若关于 x y 的线性方程组的增广矩阵为 则 x y 11 3 0 1 2 例 5 方程组的增广矩阵通过某种变换后可以化为 则 0 3 axy xby 1 0 1 0 1 2 a b 例 6 若关于 x y 的线性方程组的增广矩阵为 该方程组的解为 则 0 9 0 2 m n 1 8 x y m n 3 矩阵的运算矩阵的运算 1 矩阵的加法矩阵的加法 当两个矩阵的阶数相同时 将它们各位置上的元素加 减 AB 所得到的矩阵称为矩阵的和 差 记作 AB AB AB 2 数乘矩阵数乘矩阵 设为任意实数 把矩阵的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵与实数的乘 A A 积矩阵 记作 A 例 7 已知 则 A 2B 3 2 5 7 A 0 6 4 8 B 3 矩阵的乘积矩阵的乘积 一般 设是阶矩阵 是阶矩阵 设为矩阵km Bnk Cnm 如果矩阵中第 行第列元素是矩阵第 个行向量与矩阵的第个列向量的Cij ij CAiBj 数量积 那么矩阵叫做与的乘积 记作 注 一般情况下注 一般情况下CABCAB BAAB 例 8 若 则 1 2 3 4 A 2 1 4 1 0 2 B AB 4 行列式 行列式 1 二阶行列式展开的对角线法则 二阶行列式展开的对角线法则 11 1 22 1 22 b b a a ba b a 例 9 若矩阵是单位矩阵 则行列式的值为 1112 2122 aa aa 1112 2122 aa aa 2 元一次方程组 元一次方程组 其中 x y 为未知数 方程组系数不全为 0 111 222 a xb yc a xb yc 系数行列式 11 22 b b a D a 11 22 b b x c D c 11 22 c c x a D a 1 当时 方程有唯一解0D x y D x D D y D 2 当 时 方程组有无穷多解 0D 0 xy DD 3 当 中至少有一个不为零 方程组无解 0D xy D D 3 三阶行列式展开法则 三阶行列式展开法则 对角线法则对角线法则 1 1 333 222 111 cba cba cba 231312123213132321 cbacbacbacbacbacba 按第一行展开按第一行展开 2 2 333 222 111 cba cba cba 1 a 33 22 cb cb 1 b 33 22 ca ca 1 c 33 22 ba ba 其中其中 分别叫做元素分别叫做元素 的代数余子式的代数余子式 1 A 33 22 cb cb 1 B 33 22 ca ca 1 C 33 22 ba ba 1 a 1 b 1 c 总之 三阶行列式可以按其任意一行 一列 展开成行 或该列 元素与其对应的代数余总之 三阶行列式可以按其任意一行 一列 展开成行 或该列 元素与其对应的代数余 子式的乘积之和 子式的乘积之和 注 区别余子式和代数余子式注 区别余子式和代数余子式 例 10 在三阶行列式中 元素 6 的余子式为 代数余子式为 351 236