人教版初中数学第十八章平行四边形知识点

第十八章第十八章 平行四边形平行四边形 18 1 平行四边形平行四边形 平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形用 表示 读作 平行四边形 平行四边形 ABCD 记作 ABCD 18 1 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 平行四边形是中心对称图形 对称中心是两条对角线的交点 例 已知 ABCD 求证 AD BC AB DC A C B D 证明 连接 AC ADCD ADBC 12 34 又 AC 是 ABC 和 CDA 的公共边 ABC CDA ADCB ABCDBD 平行四边形性质 1 平行四边形的两组对边分别相等 平行四边形性质 2 平行四边形的两组对角分别相等 例 已知 如图 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 求证 OA OC OB OD 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC 1 2 3 4 AOD COB ASA OA OC OB OD 平行线之间的距离定义 若两条直线互相平行 则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离 叫做这两条平 行线之间的距离 平行线之间的距离特征 1 平行线之间的距离处处相等 平行线之间的距离特征 2 夹在两条平行线之间的平行线段相等 平行四边形性质 3 平行四边形的两条对角线互相平分 例 如图 ABCD 中 BD AB AB 12cm AC 26cm 求 AD BD 长 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AO CO AC OB OD 2 1 BD AB 在 Rt A BO 中 AB 12cm AO 13cm BO BD 2B0 10cm 5 22 ABAO 在 Rt ABD 中 AB 12cm BD 10cm AD cm 612 22 BDAB 例 如图 在 ABCD 中 已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O AOB 的周 长为 25 AB 12 求对角线 AC 与 BD 的和 解 AOB 的周长为 25 OA BO AB 25 又 AB 12 AO OB 25 12 13 平行四边形的对角线互相平分 AC BD 2OA 2OB 2 0A OB 2 13 26 18 1 2 平行四边形的判定平行四边形的判定 平行四边形判定 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形判定 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定 3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定 4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定 5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边 并且等于第三边的一半 例 如图 在 ABCD 中 已知点 E 和点 F 分别在 AD 和 BC 上 且 AE CF 连 结 CE 和 AF 试说明四边形 AFCE 是平行四边形 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC 点 E 在 AD 上 点 F 在 BC 上 AE CF 又 AE CF 四边形 AFCE 是平行四边形 例 如图 E F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点 AF CE DF BE DF BE 求证 1 AFD CEB 2 四边形 ABCD 是平行四边形 解 1 DF BE AFD CEB 又 AF CE DF BE AFD CEB 2 由 1 AFD CEB 知 AD BC DAF BCE AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形 例 如图 平行四边形 ABCD 中 E F 为边 AD BC 上的点 且 AE CF 连结 AF EC BE DF 交于 M N 试说明 MFNE 是平行四 边形 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC 又 AE CF ED FB 四边形 AFCE 是平行四边形 AF EC 同理 BE FD 四边形 MFNE 是平行四边形 18 2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 18 2 1 矩形矩形 矩形定义 1 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义 2 有三个角是直角的四边形叫做矩形 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 对称中心是两条对角线的交点 对称轴是各边的垂直平分线 矩形性质 1 矩形的四个角都是直角 矩形性质 2 矩形的对角线相等且互相平分 直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形判定 2 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形判定 3 对角线相等的平行四边形是矩形 例 如图 已知 AB AC AD AE DE BC 且 BAD CAE 求证 四边形 BCED 是矩形 证明 在 ABD 和 ACE 中 ABACADAEBADCAE ABD ACE BD CE 又 DE BC 四边形 BCED 为平行四边形 在 ACD 和 ABE 中 NM F E A BC D AC AB AB AE CADCABBADCABCAEBAE ADC AEB CD BE 四边形 BCED 为矩形 18 2 2 菱形菱形 菱形定义 1 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 菱形定义 2 四条边都相等的四边形叫做菱形 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形 对称中心是两条对角线的交点 对称轴是对角线所在的直线 菱形性质 1 菱形的四条边都相等 菱形性质 2 菱形的对角线互相垂直平分 菱形性质 3 菱形的每一条对角线平分一组对角 菱形的面积 菱形的面积等于对角线乘积的一半 推广 对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半 菱形判定 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形判定 2 四条边都相等的四边形是菱形 菱形判定 3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 菱形判定 4 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 18 2 3 正方形正方形 正方形定义 1 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形定义 2 有一个角是直角的菱形叫做正方形 正方形定义 3 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形 对称中心是两条对角线的交点 对称轴是各边的垂直平分线和对角线 所在的直线 正方形性质 1 正方形的四个角都是直角 正方形性质 2 正方形的四条边都相等 正方形性质 3 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等 正方形判定 1 有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形判定 2 有一个角是直角的菱形是正方形 正方形判定 3 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 正方形判定 4 对角线垂直平分且相等的四边形是正方形 例 如图 四边形 ABCD 是菱形 对角线 AC 8 cm BD 6 cm DH AB 于 H 求 DH 的长 四边形 ABCD 是菱形 1 ACBDOAOCAC4cmOBOD3cm 2 AB 5cm ABCD SAC BDAB DH 菱形 4 8 2 AC BD DHcm AB 例 已知 如图 菱形 ABCD 的周长为 16 cm ABC 60 对角线 AC 和 BD 相交于点 O 求 AC 和 BD 的长 解 菱形 ABCD 的周长为 16cm 0 60ABC AB BC 4cm ABC 是等边三角形 AC 4cm AC BD 互相垂直平分 OA 2 22 422 3OBcm 4 3BDcm 例 如图 在正方形 ABCD 中 P 为对角线 BD 上一点 PE BC 垂足为 E PF CD 垂足为 F 求证 EF AP 证明 连接 PC PE BC PF CD 四边形 ABCD 是正方形 PEC PFC C 90 四边形 PECF 是矩形 PC EF P 是正方形 ABCD 对角线上一点 AD CD PDA PDC 在 PAD 和 PCD 中 AD CD PDA PDC PD PD PAD PCD PA PC EF AP A B C D E F 例 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 DE AB DF AC 垂足分别是 E F 试说明 DE DF 解 AB AC B C DE AB DF AC DEB DFC 90 D 是 BC 的中点 BD DC BDE CDF DE DF 例 如图 ABC