九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件2 （新版）新人教版.ppt

垂直于弦的直径 1 24 1 2 圆的垂径定理 这座桥建于隋开皇大业年间 由一名普通的石匠李春所建 距今已有1400多年的历史 在漫长的岁月中 虽然经历过无数次洪水冲击 风吹雨打 冰雪风霜的侵蚀和八次地震的考验 却仍然安然无恙 巍然挺立在洨河上 这种设计 在建桥史上是一个创举 既减轻了流水对桥身的冲击力 使桥不容易被大水冲毁 又减轻了桥身的重量 节省了石料 直到19世纪中叶 才在欧洲国家出现 比赵州桥晚1200多年 赵州桥表现了劳动人民的智慧和才干 是我国宝贵的历史遗产 赵州桥的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 赵州桥主桥拱的半径是多少 问题情境 圆的对称性 圆是轴对称图形 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 O A B C D E 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 活动一 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 如图 AB是 O的一条弦 做直径CD 使CD AB 垂足为E 1 这个图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 活动二 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE AM BM AB是 O的一条弦 作直径CD 使CD AB 垂足为M 发现图中有 由 CD是直径 CD AB 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 探究垂径定理结论的得出方法 1 利用折叠重合 2 利用全等 3 利用等腰三角形的三线合一性质 O A M B C D 探究垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 题设 结论 1 直径 2 垂直于弦 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧 垂径定理符号语言 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 CD AB 如图 CD是直径 AM BM M是AB的中点 C D是弧的中点 O A B C D E 几何语言表达 垂径定理 推论 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 辨别是非 解决求赵州桥拱半径的问题 情境解决 例2 赵州桥的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 解得 R 27 9 m 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt OAD中 由勾股定理 得 即R2 18 72 R 7 2 2 赵州桥的主桥拱半径约为27 9m OA2 AD2 OD2 解 1 如图 在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求 O的半径 O A B E 练习 解 答 O的半径为5cm 在Rt AOE中 2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四边形ADOE为矩形 又 AC AB AE AD 四边形ADOE为正方形 某地有一座圆弧形拱桥圆心为 桥下水面宽度为 2m 过O作OC AB于D 交圆弧于C CD 2 4m 现有一艘宽3m 船舱顶部为方形并高出水面 AB 2m的货船要经过拱桥 此货船能否顺利通过这座拱桥 C N M A E H F B D O 垂径定理的基本图形的变身 垂直 直径 半径 过圆心的直线 如图 O直径CD与弦AB 非直径 交于点M 添加一个条件 就可得到点M是AB的中点 小试牛刀 慧眼识金 E E E 在下列图形中 你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 例1 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的半径OB 10 水面宽AB 16 求截面圆心O到水面的距离 D C 10 8 8 想一想 排水管中水最深多少 解 连结OA OM AB OM 4 AB 2AM 6 cm 变式1 如图所示 直径为10cm的圆中 圆心到弦AB的距离4cm 求弦AB的长 变式2 如图 已知在 O中 弦AB的长为8厘米 圆心O到AB的距离为3厘米 求 O的半径 题后小结 1 作圆心到弦的距离和连半径是圆中常见的辅助线 2 半径 r 半弦 圆心到弦的距离 d 组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路 它们之间的关系 D C 10 8 8 垂径定理的应用 变式 如图 一条公路的转变处是一段圆弧 即图中弧CD 点O是弧CD的圆心 其中CD 600m E为弧CD上的一点 且OE CD垂足为F EF 90m 求这段弯路的半径 解 连接OC 例3 已知 如图 在以O为圆心的两个同心圆中 大圆的弦AB交小圆于C D两点 求证 AC BD E 与 相等 证明 过点 作 AB于点 则 所以 即 变式 如图 已知AB为 O的直径 AC为弦 OD AC 交AC于点D BC 6cm 求OD的长 A C B D O 如图 过已知P为 O内的一点 你能用三角尺画 O的一条弦AB 使点P恰为AB的中点吗 说明你的理由 BC就是所要求的弦 适度拓展 本节课主要内容 1 圆的轴对称性 2 垂径定理 2 垂径定理的应用 计算和证明