频谱分析实验

频谱分析仿真实验频谱分析仿真实验 一 实验目的 1 了解离散傅立叶变换理论 2 熟悉典型信号的波形和频谱特征 3 编程实现 DFT 变换 对信号进行频谱分析 4 学会使用 LabVIEW 提供的频谱分析函数 二 实验内容 1 设计 DFT 变换程序 求取仿真信号的幅值频谱和相位谱 2 使用 LabVIEW 提供的频谱分析函数 分析仿真信号的频谱 3 分析正弦 方波 三角波 锯齿波信号的频谱 并与理论计算值比较 4 被测信号叠加噪声后 再进行测量和分析误差 三 实验器材 安装有 LabVIEW 软件的计算机 1 台 四 实验原理 1 非正弦周期函数的傅立叶分解 1 定义 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件 函数在任意有限区间内 具有有限个极 tf 值点与不连续点 则该周期函数定可展开为一个收敛的正弦函数级数 如下式 1 0 1 0 cos sincos k kkm k kk tkAA tkbtkaatf 其中 上式中的各个系数的计算公式为 T 为信号的周期 2 2 0 0 1 1 T T T dttf T dttf T a cos 1 cos 1 cos 2 cos 22 0 2 2 0 tdtktftdtktfdttktf T dttktf T a T T T k sin 1 sin 1 sin 2 sin 22 0 2 2 0 tdtktftdtktfdttktf T dttktf T b T T T k 在该展开式中 称为周期函数的恒定分量 也称为直流分量 与原周期函数的 0 A tf 周期相同的正弦分量称为一次谐波 也称为基波分量 其他各项称为高次 cos 11 tA m 谐波 如 2 次谐波 3 次谐波等等 2 几种常用周期信号的傅立叶展开 1 方波 f t A t 0 5T A T 图 1 方波 其中的 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 sin 4 tttt A tf T 2 2 三角波 f t A t T A 图 2 三角波 其中的 7cos 49 1 5sin 25 1 3sin 9 1 sin 8 2 tttt A tf T 2 3 锯齿波 f t A t T 2T 3T 图 3 锯齿波 其中 4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 sin 2 tttt AA tf T 2 2 频谱 1 非正弦周期函数的频谱 对某函数以频率为横轴 各个频率对应的正弦函数的幅值为纵轴所绘出的线段系称为 该函数的频谱 对于周期函数而言 其频谱为一系列谱线 如 方波 f t A t 0 5T A T Akm 4A 4A 3 4A 5 4A 7 3 5 7 图 4 矩形波的傅立叶频谱 三角波 f t A t T A Akm 8A 2 8A 25 2 3 5 7 8A 9 2 图 5 三角波的傅立叶频谱 锯齿波 f t A t T 2T 3T Akm A 2 A A 2 A 3 A 4 O 2 3 4 图 6 锯齿波的傅立叶频谱 3 傅立叶变换与频谱函数 1 周期函数的傅立叶级数的指数形式 00 11 0 11 cossin 22 22 jk tjk tjk tjk t kkkk kk jk tjk t kkkk kk eeee f taak tbk taab j ajb eajb e a 令 且对所有 均有 则 其中 2 kk k jba c 0 k 00 ac j kt k k f tc e dtetf T c tjk T k 0 1 00 ac 2 幅度频谱与相位频谱 体现 与频率之间的关系的谱线 称为幅度频谱 k c 由于指数级数中的 k 可以分别取相应的正负值 因此幅度频谱关于 Y 轴对称 而其谱 线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半 例如方波 图 7 方波及其傅立叶频谱 幅度谱 3 信号的离散傅立叶变换 DFT 模拟信号 x t 经采样后变为离散时间序列 x n TS为采样周期 采样频率 fs 1 TS 计 算机中的处理的信号是有限长度的离散信号 x n 对应的离散频谱为 X k 时域与频域转 换使用的算法是离散傅里叶变换 DFT 和反变换 IDFT 计算公式如下 DFT 和 IDFT 2 1 0 2 1 0 1 N jnk N n N jnk N n X kx n e x nx k e N 1 2 1 0 1 2 1 0 Nn Nk 为了方便显示 做归一化处理 用来表示频谱 此外 由上式计算出的频NkX 谱为峰值频谱 对周期信号而言 谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半 快速傅里叶变换 FFT 的原理与 DFT 相同 只是 DFT 在计算机中实现的快速方法 Akm 4A 4A 3 4A 5 4A 7 3 5 7 图 7 a 方波的傅立叶频谱 f t A t 0 5T A T ck 2A 3 2A 5 2A 7 3 5 7 2A 2A 2A 3 2A 5 2A 7 FFT 运算要求点数 N 为 2 的整数次幂 如 N 210 1024 时 计算速度最快 FFT 的基本特性 1 输出频谱的复数值 X k 同时包含幅度 相位信息 若 则 Re Im X kkjk 幅度谱为 相位谱为 计算出的频谱为 22 Re Im X kkk Im arctan Re k k k 峰值频谱 对周期信号而言 谱线的高度仅为付氏频谱谱线高度的一半 当用有 效值 RMS 表示幅值频谱时 2 RMS X k X k 2 各节点之间的频率间隔由时间长度 N 和采样频率 fs 决定 s f f N 3 第 k 个节点对应的频率值为 s k f f k N 4 FFT 形成的频谱相对于折叠频率 fS 2 对称 FFT 的输出频率范围为 0 fS 2 实际 只有一半数据有意义 用 DFT 进行测试信号频域特性分析存在主要误差有量化误差 混叠误差 频谱泄漏和 栅栏效应等 减少计算误差的办法有 增加 A D 的有效位数 提高采样频率 增加采样时 间和采样点数 整周期采样或加窗处理等 4 在 在 LabVIEW 中的频谱分析中的频谱分析 VI 在 LabVIEW 中实现频谱分析计算的 3 个层次的 VI 分别为 Express 中的 Spectral Measurements vi 波形 VI 中的 FFT Spectrum Mag Phase vi 和 FFT Spectrum Real Im vi 基本函数 VI 的 Amplitude and Phase Spectrum vi 1 Express 中的 Spectral Measurements vi 到达途径为 FunctionsSignal Analysis 主要参数有 选择不同的谱分析种类 Spectral Measurement 峰值频谱 均方值 RMS 频谱 功率谱和功率谱密度 幅度单位 线性还是分贝 dB 窗函数 Window 的类型 平均 Averaging 参数 有平均模式 Mode 平均权重 Weighting 平均次 数 Numbers of averages 和平均输出类型 Produce spectrum 相位谱输出的变换 反卷 及将弧度转换为度 2 波形 VI 中的 FFT Spectrum Mag Phase vi 的参数设置及定义与 Spectral Measurements vi 的相似 其输入输出端口如下所示 五 实验步骤 1 设计 DFT 变换程序 求取仿真信号的幅值频谱和相位谱 要求仅采用基本数学 函数实现 分析 DFT 计算公式为 其中 采用双循环 2 1 0 N jnk N n X kx n e 1 2 1 0 1 2 1 0 Nn Nk 先固定 k 内循环累加求和 计算 再改变 k 外循环 最后将 X k 转换为 2 1 0 N jnk N n x n e 幅度谱和相位谱 设计中要用到数值运算子模板中的 Complex Functions 复数处理函数 1 产生仿真信号 打开 3 5 节第 2 个实验内容的程序 它能够产生频率 幅值和 直流偏值可调的正弦 方波 三角波 锯齿波信号 还可叠加高斯噪声信号 并且采样率 和采样点可选 2 计算 结果为 1 个数组 见图 的右下部分 采样点 2 jn N 0 1 2 1nN 数 N 从仿真波形产生函数的采样信息簇得到 使用簇 cluster 子模板中的 Unbundle 函数实 现 采用一个循环次数为 N 的 For 循环产生元素为 0 1 N 1 的 1 维数组 乘以 2 N 再用复数处理函数中的 Re Im To Complex 组合为复数 其实部为零 2 jn N 3 采用双循环 计算 X k 见图 的左上部分 内外循环的循环次数都为 N 内 循环改变 n 累加求和 计算 累加求和需要使用移位寄存器 先使用 Index 2 1 0 N jnk N n x n e Array 函数从数组中得到第 n 个元素 再相乘 外循环中再改变 k 4 将 X k 转换为幅度谱和相位谱 计算公式为 有效值幅度谱为 相位谱为 函数 Complex To Polar 可直接 22 2 Re Im 2 RMS kk X k Im arctan Re k k k 得到复数的模和相位角 再把用弧度表示的相位转换为角度 使用两个图形控件显示幅度 谱和相位谱 程序面板如下图所示 图 DFT 计算频谱的程序 2 使用 LabVIEW 提供的频谱分析函数 波形 VI 中的 FFT Spectrum Mag Phase vi 分析仿真信号的频谱 提示 仍然使用 3 5 节第 2 个实验内容的程序产生仿真信号 频谱计算采用 FFT Spectrum Mag Phase vi 把