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例题 第3章 例题3 1 见 3 1 试考察应力函数在图3 1所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题 体力不计 图3 1 解 首先考察给定的应力函数 是否满足相容方程 代入后满足 说明该函数可作应力函数 当体力不计时 将 代入应力分量公式可得 当时 考察左 右两端的分布情况 左端右端应力分布如图所示 当时应用圣维南原理能解决各种偏心拉伸的问题 因为在A点的应力为零 设板宽为b 集中荷载P的偏心距为e 则 例题3 2 习题3 7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用 体力可以不计 图3 2 试用应力函数求解应力分量 图3 2 解 本题是较典型的例题 已经给出了应力函数 可按下列步骤求解 1 将 代人相容方程 显然是满足的 2 将 代入应力关系式 求出应力分量 3 考察边界条件 主要边界y h 2上 应精确满足式 2 15 在次要边界x O上 只给出了面力的主矢量和主矩 应用圣维南原理 用三个积分的边界条件代替 注意x O是负x面 图3 5中表示了负x面上 x和 xy的正方向 由此得 最后一个次要边界条件 x l上 在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下 是必然满足的 故不必再校核 代入应力公式 得 例题3 3 习题3 11 挡水墙的密度为 1 厚度为b 图3 6 水的密度为 2 试求应力分量 解 用半逆解法求解 1 假设应力分量的函数形式 因为在y b 2边界上 y b 2边界上 所以可假设在区域内为 2 推求应力函数的形式 由推测 的形式 3 由相容方程求应力函数 将 代得 代人 即得应力函数的解答 其中巳略去了与应力无关的一次式 4 由应力函数求应力分量 将 代人式 2 24 注意体力 求得应力分量为 5 考察边界条件 在主要边界y b 2上 有 已知试问它们能否作为平面问题的应力函数 解 作为应力函数 必须首先满足相容方程 例题3 4 将 代入 a 其中A 0 才可成为应力函数 b 必须满足3 A E C 0 才可成为应力函数 例题3 5 图3 7所示的矩形截面柱体 在顶部受有集中力F和力矩M Fb 2的作用 试用应力函数 求解图示问题的应力及位移 设在A点的位移和转角均为零 图3 7 解 应用应力函数求解 1 校核相容方程 满足 2 求应力分量 在无体力时 得 3 考察主要边界条件 均己满足 考察次要边界条件 在y 0上 例题3 6 矩形截面的简支梁上 作用有三角形分布荷载 图3 8 试用下列应力函数求解应力分量 图3 8 解 应用上述应力函数求解 1 将 代人相容方程 例题3 7 矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩的作用 图3 9 不计体力 试用下列应力函数 求解应力分量 图3 9 例题3 8 试用下列应力函数 求解图3 10所示的半无限平面体在的
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