概率论(仅供参考)

前言 由于汤老师不给力 下面由刘老师来为你们划重点 内部使用 仅供参考 不承当任何后果 参考 课本 课件 第一章第一章 该章概型和公式比较多 每个都配上了一个例题便于理解 第一节第一节 重点 德 摩根律公式 交换律 A B B A AB BA 结合律 A B C A B C A B C A B C 分配律 A B C A B A C A B C A B A C 德 摩根律 ABABABAB 第二节第二节 频率性质 1 样本任意一事件概率不小于 0 非负性 2 样本事件概率和为 1 规范性 3 如果 AB 互斥 nnn fABfAfB 4 如果 AB 不排斥 nnnn fABfAfBfAB 5 1 P AP A 第三节第三节 古典概型古典概型 性质 1 样本空间中样本点有限 既事件有限 2 样本点概率等可能发生 3 kA P A n 中中所所含含的的基基本本事事件件数数 基基本本事事件件总总数数 例题 排列组合问题 要是考应该不会太难 几何概型 求法 1 求出状态方程 2 根据定义域画图 3 求概率 阴影面积 总面积 第四节第四节 条件概型条件概型 公式 ABABP AB P A B BBP B 条件概率满足概率的一切性质既非法性 规范性 可加性 例题 全概率公式 11 nn iii ii P BP BAP A P B A 例题 书 p25 贝叶斯公式 1 ii i n ii i P A P B A P AB P A P B A 第五节第五节 独立性独立性 如果 AB 事件独立 P ABP A P B 若多事件相互独立 理论仍然成立 贝努利概型 既服从二项分布模型 抽取 n 次的组合次数 第二章第二章 重点章节 几大分布都是后几章的基础 第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 1 两点分布 0 1 分布 既随机变量 X 只可能取 0 或 1 两个值 事件执行一次只有两种情况 例如抛硬币 记为 X b 1 p p 表示事件的概率 样本点个数为 1 并且 1 p 表示相反事件概率 2 二项分布 应用于上章的贝努利概型 与 0 1 分布类似 事件执行 n 次 记为 X b n p p 表示事件的概率 样本点个数为 n 3 泊松分布 e 0 1 2 k P Xkk k 记为 X 如果出题 应该会标明是泊松分布 或者给出明确的 二项分布 X b n p 当 n 充分大 p 充分小时 对于任意固定的非负整数 k 与泊松 分布概率近视相等 并且 nb 数学期望相等 4 几何分布 既抽取问题中可放回情况 该分布具有无记忆性 1 1 1 2 k P Xkpp k 5 超几何分布 既抽取问题不放回情况 12 0 1 2 kn k NN n N C C P Xkk C 第三节第三节 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量分布 感觉这个知识点必考 虽然不知道会是什么题 求事件概率公式 p51 1 已知分布函数求分布律 并求事件概率 习题 2 第一题 根据公式 000 0 0 P XxF xF x 求出各个点的概率 并画出分布表 求事件概率可以不会套公式 可以直接看表 2 已知分布律求发布函数 p52 例题 第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 连续型分布函数几何意义 为连续型概率密度函数的面积 所以两者转化与积分有关 题型 1 已知概率密度函数 求常数 c p55 例题 根据公式 d1F xf tt 2 分布函数求密度函数 习题 2 8 题 对分布函数求导 3 已知密度函数求分布函数 d x F xf ttx 均匀分布 密度函数 1 0 axb f xba 他他 记为 X U a b 分布函数 0 1 xa xa F xaxb ba xb 指数分布 密度函数 e 0 0 x x f x 他他 记为 X E 分布函数 1 e 0 0 x x F x 他他 经常用来描述寿命问题 正态分布 必考 高斯分布 密度函数 2 2 2 1 e 2 x f xx 记为 X N 2 正态分布密度函数性质书上 p60 也了解 根据公式 可进行查表来求分布律 x F x 根据事件概率公式可求 例如 P aXbF bF a ba 正态分布可以看出许多分布的近似分布 第五节第五节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1 离散型 2 连续型 公式 p67 例题 XY fyh yfh y 例如 已知密度函数 fx x 求 Y X 1 的密度函数 1 求 Y X 1 的反函数 h y Y 1 2 套用公式 XY fyh yfh y 3 的正负于 Y X 1 单调性有关 严格单调递增为 严格单调递减为 h y 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 第一节第一节 二维随机变量二维随机变量 二维变量的联合发布函数 F x yP Xx Yy 性质 对于固定的 x y lim 0 x FyF x y lim 0 y F xF x y lim 0 x y FF x y lim 1 x y FF x y 公式 221221111212 0 P xXxF xyF x yF xyFyYyx x 二维离散型随机变量 可以根据其分布规律 用表格表示 二维连续型随机变量 xy F x yf u v dvdu 性质 1 0 f x y 该性质用于求函数 2 d d1 f x yx y 2 3 F x y f x y x y G 为平面的一区域 4 d d G PX YGf x yx y 二维均匀分布 1 0 x yG A f x y 他他 区域公式 1 DD S D PX YDf x y dxdydxdy AA 第二节第二节 边缘分布边缘分布 既把 x 或者 y 边缘化 二维离散型随机变量的函数的分布 书 p84 例题 二维连续型随机变量的函数分布 第三节第三节 条件分布条件分布 P89 例题 离散型随机变量的条件分布律 1 2 ijij ij jj P Xx Yyp P Xx Yyi P Yyp A 既 联合分布律的固定样本点 边缘分布的固定样本点 P90 例题 连续型随机变量的条件分布密度 求法 1 求出 X Y 的边缘密度函数 2 根据条件分布公式 求出条件密度函数 3 求分布密度 P92 页例题 第四节第四节 相互独立的随机分布相互独立的随机分布 若 X Y 相互独立 由定义知 既边缘分布之积 XY F x yFx Fyx yR 求法 书 p95 例题 第五节第五节 两个随机变量函数的分布两个随机变量函数的分布 离散型二维随机变量的函数分布 求法 1 列表 2 对应概率值合并 P97 页例题 连续型二维随机变量的函数分布 没懂 P99 第四章第四章 随机变量的数组特征随机变量的数组特征 第一节第一节 数学期望 数学期望 必考必考 既 样本的平均值 离散型随机变量的数学期望 1 kk k EXx p 连续型随机变量的数学期望 EXxf x dx 考试真题 样本满足概率密度分布函数 f x cx3 0 x 1 1 求 c 2 E x 解 第一问 1f x dx 1 3 0 1cx dx 1 4 c 1 解得 c 4 第二问 E x xf x dx 1 3 0 4x x dx 4 5 随机变量函数的数学期望 例如 E 3x 1 的数学期望 离散型 1 31 ii i xp 连续型 31 xf x dx 数学期望性质 1 EC 0 c 为常数 2 E CXC EX 3 E XY EX EY 4 E XY EX EY 常见数学期望 1 二项分布 X b n p 数学期望为 np 2 几何分布 数学期望为 1 p 3 指数分布 X E 数学期望为 1 4 正太分布 X N 2 数学期望为 5 泊松分布 X 数学期望为 第二节第二节 方差方差 对数学期望的偏差值 求法 DX E X EX 2 为标准差或者叫均方差DX 常用公式 22 DXEXEX 真题 样本满足概率密度分布函数 f x 4x3 0 x1 96 查表得到 既拒绝 H0 大米机工作不正常 P237 2 题 正常人脉搏 72 min 铅中毒的患者中有 10 个人脉搏如下 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 为正态分布 在 a 0 05 下 铅中毒与正常患者的脉搏有没有显著的区别 本题是在未知方差的条件下 检验总体均值 72 取检验统计量为 2 0 X T Sn 检验假设可设为 00 72H 1 72H 在为真时 检验统计量 由已知数据计算可得 代入检验 0 H 1 Tt n 67 4x 5 93s 统计量 得统计量的观测值为 0 67 4724 6 2 45 1 88105 9310 x t s 又 查分布表得 由此知0 05 t 0 025 9 2 262t 0 025 2 4472 262 9 tt 故拒绝 即铅中毒者与正常人的脉搏有显著差异 0 H 设 x B 50 p 平均数 30 求 p 的矩估计 p1 填空题 该分布满足二项分布 E x np 50 p 有因为 E x 的矩估计值我为 3