与特殊四边形有关的压轴题(2016)

与特殊四边形有关的压轴题 1 在连接 A 地与 B 地的线段上有四个不同的点 D G K Q 下列四幅图中的实线分别 表示某人从 A 地到 B 地的不同行进路线 箭头表示行进的方向 则路程最长的行进路线 图是 A B C D 2 如图 在 ABCD 中 点 E 是 AD 的中点 延长 BC 到点 F 使 CF BC 1 2 连接 DF EC 若 AB 5 AD 8 sinB 则 DF 的长等于 A B C D 2 3 如图 在矩形 ABCD 中 AB 8 BC 16 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 C 与点 A 重 合 则折痕 EF 的长为 A 6 B 12 C 2 D 4 4 如图 ABCD 是正方形场地 点 E 在 DC 的延长线上 AE 与 BC 相交于点 F 有甲 乙 丙三名同学同时从点 A 出发 甲沿着 A B F C 的路径行走至 C 乙沿着 A F E C D 的路 径行走至 D 丙沿着 A F C D 的路径行走至 D 若三名同学行走的速 度都相 同 则他们到达各自的目的地的先后顺序 由先至后 是 A 甲乙丙B 甲丙乙C 乙丙甲 D 丙甲乙 5 如图 四边形 都是正方形 点在线段上 连接 和 相交于点 设 下列结论 其中结论 正确的个数是 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 6 如图 在矩形 ABCD 中 点 E F 分别在边 AB BC 上 且 AE AB 将矩形沿直线 EF 折叠 点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处 连接 BP 交 EF 于点 Q 对于下列 结论 EF 2BE PF 2PE FQ 4EQ PBF 是等边三角形 其中正 确的是 A B C D 7 如图 正方形 OABC 的两边 OA OC 分别在 x 轴 y 轴上 点 D 5 3 在边 AB 上 以 C 为中心 把 CDB 旋转 90 则旋转后点 D 的对应点 D 的坐标是 A 2 10 B 2 0 C 2 10 或 2 0 D 10 2 或 2 0 8 如图 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 点 D 在 CG 上 BC 1 CE 3 H 是 AF 的中 点 那么 CH 的长是 A 2 5B C D 2 9 如图 在矩形 AOBC 中 点 A 的坐标是 2 1 点 C 的纵坐标是 4 则 B C 两点的坐标分别是 A 3 4 B 3 4 C 4 D 4 10 如图 正方形 ABCD 中 AB 6 点 E 在边 CD 上 且 CD 3DE 将 ADE 沿 AE 对折 至 AFE 延长 EF 交边 BC 于点 G 连接 AG CF 则下列结论 ABG AFG BG CG AG CF S EGC S AFE AGB AED 145 其中正确的个数是 A 2B 3C 4D 5 11 如图 在矩形 ABCD 中 AD AB BAD 的平分线交 BC 于点 E DH AE 于点 H 连接 BH 并延长交 CD 于点 F 连接 DE 交 BF 于点 O 下列结论 AED CED OE OD BH HF BC CF 2HE AB HF 其中正确的有 个 A 2 B 3C 4D 5 12 如图 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C 上 若 AB 6 BC 9 则 BF 的长为 A 4B 3C 4 5D 5 13 如图 点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上 且 EC 2AE 直角三 角形 FEG 的两直角边 EF EG 分别交 BC DC 于点 M N 若正方形 ABCD 的变长为 a 则重叠部分四边形 EMCN 的面积为 A a2B a2C a2D a2 14 如图 在 ABCD 中 AD 2AB F 是 AD 的中点 作 CE AB 垂足 E 在线段 AB 上 连接 EF CF 则下列结论中一定成立的是 把所有正确结论的序号都填在横线上 DCF BCD EF CF S BEC 2S CEF DFE 3 AEF 2 2014 年河南省第题 如图矩形 ABCD 中 AD 5 AB 7 点 E 为 DC 上一 个动点 把 ADE 沿 AE 折叠 当点 D 的对应点 D 落在 ABC 的角平分线 上时 DE 的长为 考点 翻折变换 折叠问题 分析 连接 BD 过 D 作 MN AB 交 AB 于点 M CD 于点 N 作 D P BC 交 BC 于点 P 先利用勾股定理求出 MD 再分两种情况利用勾股定理 求出 DE 解答 解 如图 连接 BD 过 D 作 MN AB 交 AB 于点 M CD 于点 N 作 D P BC 交 BC 于点 P 点 D 的对应点 D 落在 ABC 的角平分线上 MD PD 设 MD x 则 PD BM x AM AB BM 7 x 又折叠图形可得 AD AD 5 x2 7 x 2 25 解得 x 3 或 4 即 MD 3 或 4 在 RT END 中 设 ED a 当 MD 3 时 D E 5 3 2 EN 7 CN DE 7 3 a 4 a a2 22 4 a 2 解得 a 即 DE 当 MD 4 时 D E 5 4 1 EN 7 CN DE 7 4 a 3 a a2 12 3 a 2 解得 a 即 DE 故答案为 或 点评 本题主要考查了折叠问题 解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对 应相等的 3 2014 年四川省绵阳市第 17 题 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是边 BC CD 上 的点 EAF 45 ECF 的周长为 4 则正方形 ABCD 的边长为 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的性质 分析 根据旋转的性质得出 EAF 45 进而得出 FAE EAF 即可得出 EF EC FC FC CE EF FC BC BF 4 得出正方形边长即可 解答 解 将 DAF 绕点 A 顺时针旋转 90 度到 BAF 位置 由题意可得出 DAF BAF DF BF DAF BAF EAF 45 在 FAE 和 EAF 中 FAE EAF SAS EF EF ECF 的周长为 4 EF EC FC FC CE EF FC BC BF 4 2BC 4 BC 2 故答案为 2 点评 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识 得出 FAE EAF 是解题关键 4 2014 年湖北随州第 16 题 如图 1 正方形纸片 ABCD 的边长为 2 翻折 B D 使 两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P EF GH 分别是折痕 如图 2 设 AE x 0 x 2 给出下列判断 当 x 1 时 点 P 是正方形 ABCD 的中心 当 x 时 EF GH AC 当 0 x 2 时 六边形 AEFCHG 面积的最大值是 当 0 x 2 时 六边形 AEFCHG 周长的值不变 其中正确的是 写出所有正确判断的序号 考点 翻折变换 折叠问题 正方形的性质 分析 1 由正方形纸片 ABCD 翻折 B D 使两个直角的顶点重合于对角 线 BD 上一点 P 得出 BEF 和 三 DGH 是等腰直角三角形 所以当 AE 1 时 重合点 P 是 BD 的中点 即点 P 是正方形 ABCD 的中心 2 由 BEF BAC 得出 EF AC 同理得出 GH AC 从而得出结论 3 由六边形 AEFCHG 面积 正方形 ABCD 的面积 EBF 的面积 GDH 的面积 得 出函数关系式 进而求出最大值 4 六边形 AEFCHG 周长 AE EF FC CH HG AG AE CF FC AG EF GH 求解 解答 解 1 正方形纸片 ABCD 翻折 B D 使两个直角的顶点重合于对 角线 BD 上一点 P BEF 和 三 DGH 是等腰直角三角形 当 AE 1 时 重合点 P 是 BD 的中点 点 P 是正方形 ABCD 的中心 故 结论正确 2 正方形纸片 ABCD 翻折 B D 使两个直角的顶点重合于对角线 BD 上一点 P BEF BAC x BE 2 即 EF AC 同理 GH AC EF GH AC 故 结论错误 3 六边形 AEFCHG 面积 正方形 ABCD 的面积 EBF 的面积 GDH 的面积 AE x 六边形 AEFCHG 面积 22 BE BF GD HD 4 2 x 2 x x x x2 2x 2 x 1 2 3 六边形 AEFCHG 面积的最大值是 3 故 结论错误 4 当 0 x 2 时 EF GH AC 六边形 AEFCHG 周长 AE EF FC CH HG AG AE CF FC AG EF GH 2 2 2 4 2 故六边形 AEFCHG 周长的值不变 故 结论正确 故答案为 点评 考查了翻折变换 折叠问题 菱形的性质 本题关键是得到 EF GH AC 综合性较强 有一定的难度 5 2014 江西第 13 题 如图 是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向分别旋转 90 180 270 后形成的图形 若 AB 2 则图中阴影部分的面积为 60BAD 考点考点 菱形的性质 勾股定理 旋转的性质 分析分析 连接 AC BD AO BO AC 与 BD 交于点 E 求出菱形对角线 AC 长 根据旋 转的性质可知 AO CO 在 Rt AOC 中 根据勾股定理求出 AO CO 22 2 3 6 22 AC 从而求出 Rt AOC 的面积 再减去 ACD 的面积得阴影部分 AOCD 面积 一共有四个这 样的面积 乘以 4 即得解 解答解答 解 连接 BD AC 相交于点 E 连接 AO CO 因为四边形 ABCD 是菱形 AC BD AB AD 2 BAD 60 ABD 是等边三角形 BD AB 2 BAE BAD 30 AE AC BE DE BD 1 1 2 1 2 1 2 在 Rt ABE 中 AE 2222 231ABBE AC 2 3 菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向旋转 90 180 270 AOC 360 90 即 AO CO AO CO 1 4 在 Rt AOC 中 AO CO 22 2 3 6 22 AC S AOC AO CO 3 S ADC AC DE 2 1 1 2 1 2 66 1 2 1 2 33 S 阴影 S AOC S ADC 4 3 12 433 所以图中阴影部分的面积为 12 4 3 6 2014 年河南省第 14 题 如图 在菱形 ABCD 中 AB 1 DAB 60 把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30 得到菱形 AB C D 其中点 C 的运动路径为 则图中阴影部分 的面积为 考点 菱形的性质 扇形面积的计算 旋转的性质 分析 连接 BD 过 D 作 D H AB 则阴影部分的面积可分为 3 部分 再根据菱形 的性质 三角形的面积公式以及扇形的面积公式计算即可 解答 解 连接 BD 过 D 作 D H AB 在菱形 ABCD 中 AB 1 DAB 60 把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30 得到菱形 AB C D D H S ABD 1 图中阴影部分的面积为 故答案为 点评 本题考查了旋转的性质 菱形的性质 扇形的面积公式 熟练掌握旋转变换 只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键 7 2014 泰州第 16 题 如图 正方向 ABCD 的边长为 3cm E 为 CD 边上一点 DAE 30 M 为 AE 的中点 过点 M 作直线分别与 AD BC 相交于点 P Q 若 PQ AE 则 AP 等于 cm 考点 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 解直角三角形 专题 分类讨论 分析 根据题意画出图形 过 P 作 PN BC 交 BC 于点 N 由 ABCD 为正方形 得到 AD DC PN 在直角三角形 ADE 中 利用锐角三角函数定义求出 DE 的长 进 而利用勾股定理求出 AE 的长 根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长 利用 HL 得到 三角形 ADE 与三角形 PQN 全等 利用全等三角形对应边 对应角相等得到 DE NQ DAE NPQ 30 再由 PN 与 DC 平行 得到 PFA DEA 60 进而得到 PM 垂直于 AE 在直角三角形 APM 中 根据 AM 的长 利用锐角三角 函数定义求出 AP 的长 再利用对称性确定出 AP 的长即可 解答 解 根据题意画出图形 过 P 作 PN BC 交 BC 于点 N 四边形 ABCD 为正方形 AD DC PN 在 Rt ADE 中 DAE 30 AD 3cm tan30 即 DE cm 根据勾股定理得 AE 2cm M 为 AE 的中点 AM AE cm 在 Rt ADE 和 Rt PNQ 中 Rt ADE Rt PNQ HL DE NQ DAE NPQ 30 PN DC PFA DEA 60 PMF 90 即 PM AF 在 Rt AMP 中 MAP 30 cos30 AP 2cm 由对称性得到 AP DP AD AP 3 2 1cm 综上 AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为 1 或 2 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 正方形的性质 熟练掌握全等三角形的判 定与性质是解本题的关键 8 2014 年重庆市第 18 题 如图 正方形 ABCD 的边长为 6 点 O 是对角线 AC BD 的 交点 点 E 在 CD 上 且 DE 2CE 过点 C 作 CF BE 垂足为 F 连接 OF 则 OF 的长 为 考点 全等三角形的判定与性质 等腰直角三角形 正方形的性质 分析 在 BE 上截取 BG CF 连接 OG 证明 OBG OCF 则 OG OF BOG COF 得出等腰直角三角形 GOF 在 RT BCE 中 根据射影定理求 得 GF 的长 即可求得 OF 的长 解答 解 如图 在 BE 上截取 BG CF 连接 OG RT BCE 中 CF BE EBC ECF OBC OCD 45 OBG OCF 在 OBG 与 OCF 中 OBG OCF SAS OG OF BOG COF OG OF 在 RT BCE 中 BC DC 6 DE 2EC EC 2 BE 2 BC2 BF BE 则 62 BF 解得 BF EF BE BF CF2 BF EF CF GF BF BG BF CF 在等腰直角 OGF 中 OF2 GF2 OF 点评 本题考查了全等三角形的判定和性质 直角三角形的判定以及射影定理 勾 股定理的应用 9 2014 年宁夏第 15 题 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC AB CD 2 BC 5 BAD 的平分线交 BC 于点 E 且 AE CD 则四边形 ABCD 的面积为 考点 平行四边形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 分析 根据题意可以判定 ABE 是等边三角形 求得该三角形的高即为等腰梯形 ABCD 的高 所以利用梯形的面积公式进行解答 解答 解 如图 过点 A 作 AF BC 于点 F AD BC DAE AEB 又 BAE DAE BAE AEB AE CD AEB C AD BC AB CD 2 四边形是等腰梯形 B C ABE 是等边三角形 AB AE BE 2 B 60 AF AB sin60 2 AD BC AE CD 四边形 AECD 是平行四边形 AD EC BC BE 5 2 3 梯形的面积 AD BC AF 3 5 4 点评 本题考查了等边三角形的判定和性质 平行四边形的判定和性质 等腰梯形 的性质等 10 2014 宁波第 11 题 如图 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 点 D 在 CG 上 BC 1 CE 3 H 是 AF 的中点 那么 CH 的长是 考点 直角三角形斜边上的中线 勾股定理 勾股定理的逆定理 分析 连接 AC CF 根据正方形性质求出 AC CF ACD GCF 45 再求出 ACF 90 然后利用 勾股定理列式求出 AF 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半解答即可 解答 解 如图 连接 AC CF 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中 BC 1 CE 3 AC CF 3 ACD GCF 45 ACF 90 由勾股定理得 AF 2 H 是 AF 的中点 CH AF 2 点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 正方形的性质 勾股定理 熟记各性质并作辅助线构造出直角 三角形是解题的关键 11 2014 武汉第 16 题 如图 在四边形 ABCD 中 AD 4 CD 3 ABC ACB ADC 45 则 BD 的长为 考点 全等三角形的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角形 分析 根据等式的性质 可得 BAD 与 CAD 的关系 根据 SAS 可得 BAD 与 CAD 的关系 根据全等三角形的性质 可得 BD 与 CD 的关系 根据勾股定 理 可得答案 解答 解 作 AD AD AD AD 连接 CD DD 如图 BAC CAD DAD CAD 即 BAD CAD 在 BAD 与 CAD 中 BAD CAD SAS BD CD DAD 90 由勾股定理得 DD D DA ADC 90 由勾股定理得 CD BD CD 故答案为 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 利用了全等三角形的判定与性质 勾 股定理 作出全等图形是解题关键 12 2014 苏州第 17 题 如图 在矩形 ABCD 中 以点 B 为圆心 BC 长为半径 画弧 交边 AD 于点 E 若 AE ED 则矩形 ABCD 的面积为 考点 矩形的性质 勾股定理 分析 连接 BE 设 AB 3x BC 5x 根据勾股定理求出 AE 4x DE x 求出 x 的值 求出 AB BC 即可求出答案 解答 解 如图 连接 BE 则 BE BC 设 AB 3x BC 5x 四边形 ABCD 是矩形 AB CD 3x AD BC 5x A 90 由勾股定理得 AE 4x 则 DE 5x 4x x AE ED 4x x 解得 x 负数舍去 则 AB 3x BC 5x 矩形 ABCD 的面积是 AB BC 5 故答案为 5 点评 本题考查了矩形的性质 勾股定理的应用 解此题的关键是求出 x 的值 题 目比较好 难度适中 13 2014 枣庄第 18 题 图 所示的正方体木块棱长为 6cm 沿其相邻三个面的对角线 图中虚线 剪掉一角 得到如图 的几何体 一只蚂蚁沿着图 的几何体表面从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为 cm 考点 平面展开 最短路径问题 截一个几何体 分析 要求蚂蚁爬行的最短距离 需将图 的几何体表面展开 进而根据 两点之 间线段最短 得出结果 解答 解 如图所示 BCD 是等腰直角三角形 ACD 是等边三角形 在 Rt BCD 中 CD 6cm BE CD 3cm 在 Rt ACE 中 AE 3cm 从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为 3 3 cm 故答案为 3 3 点评 考查了平面展开 最短路径问题 本题就是把图 的几何体表面展开成平 面图形 根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题 14 2014 年江苏徐州第 18 题 如图 在正方形 ABCD 中 点 P 沿边 DA 从点 D 开始向 点 A 以 1cm s 的速度移动 同时 点 Q 沿边 AB BC 从点 A 开始向点 C 以 2cm s 的速度移 动 当点 P 移动到点 A 时 P Q 同时停止移动 设点 P 出发 xs 时 PAQ 的面积为 ycm2 y 与 x 的函数图象如图 则线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 考点 动点问题的函数图象 分析 根据从图 可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9 求出正方形的边长 再利用 三角形的面积公式得出 EF 所在的直线对应的函数关系式 解答 解 点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm s 的速度移动 点 Q 沿边 AB BC 从点 A 开始向点 C 以 2cm s 的速度移动 当 P 点到 AD 的中点时 Q 到 B 点 从图 可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9 9 AD AB AD AB AD 6 即正方形的边长为 6 当 Q 点在 BC 上时 AP 6 x APQ 的高为 AB y 6 x 6 即 y 3x 18 故答案为 y 3x 18 点评 本题主要考查了动点函数的图象 解决本题的关键是求出正方形的边长 15 2014 上海 第 18 题 4 分 如图 已知在矩形 ABCD 中 点 E 在边 BC 上 BE 2CE 将矩形沿着过点 E 的直线翻折后 点 C D 分别落在边 BC 下方的点 C D 处 且点 C D B 在同一条直线上 折痕与边 AD 交于点 F D F 与 BE 交于点 G 设 AB t 那么 EFG 的周长为 2t 用含 t 的代数式表示 考点 翻折变换 折叠问题 分析 根据翻折的性质可得 CE C E 再根据直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一 半判断出 EBC 30 然后求出 BGD 60 根据对顶角相等可得 FGE BGD 60 根据两直线平行 内错角相等可得 AFG FGE 再求出 EFG 60 然后判断出 EFG 是等边三角形 根据等边三角形的性质表示出 EF 即 可得解 解答 解 由翻折的性质得 CE C E BE 2CE BE 2C E 又 C C 90 EBC 30 FD C D 90 BGD 60 FGE BGD 60 AD BC AFG FGE 60 EFG 180 AFG 180 60 60 EFG 是等边三角形 AB t EF t t EFG 的周长 3 t 2t 故答案为 2t 点评 本题考查了翻折变换的性质 直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的一半 等边 三角形的判定与性质 熟记性质并判断出 EFG 是等边三角形是解题的关键 16 2014 山东枣庄 第 17 题 4 分 如图 将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠 使点 B 落在 AD 边上的点 F 处 若 AE BE 则长 AD 与宽 AB 的比值是 考点 翻折变换 折叠问题 分析 由 AE BE 可设 AE 2k 则 BE 3k AB 5k 由四边形 ABCD 是矩形 可得 A ABC D 90 CD AB 5k AD BC 由折叠的性质可得 EFC B 90 EF EB 3k CF BC 由同角的余角相等 即可得 DCF AFE 在 Rt AEF 中 根据勾股定理求出 AF k 由 cos AFE cos DCF 得出 CF 3k 即 AD 3k 进而求解即可 解答 解 AE BE 设 AE 2k 则 BE 3k AB 5k 四边形 ABCD 是矩形 A ABC D 90 CD AB 5k AD BC 将矩形 ABCD 沿 CE 向上折叠 使点 B 落在 AD 边上的点 F 处 EFC B 90 EF EB 3k CF BC AFE DFC 90 DFC FCD 90 DCF AFE cos AFE cos DCF 在 Rt AEF 中 A 90 AE 2k EF 3k AF k 即 CF 3k AD BC CF 3k 长 AD 与宽 AB 的比值是 故答案为 点评 此题考查了折叠的性质 矩形的性质 勾股定理以及三角函数的定义 解 此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用 17 2014 孝感 第 16 题 3 分 如图 已知矩形 ABCD 把矩形沿直线 AC 折叠 点 B 落 在点 E 处 连接 DE BE 若 ABE 是等边三角形 则 考点 翻折变换 折叠问题 分析 过 E 作 EM AB 于 M 交 DC 于 N 根据矩形的性质得出 DC AB DC AB ABC 90 设 AB AE BE 2a 则 BC a 即 MN a 求出 EN 根据三角形面积公式求出两个三角形的面积 即可得出答案 解答 解 过 E 作 EM AB 于 M 交 DC 于 N 四边形 ABCD 是矩形 DC AB DC AB ABC 90 MN BC EN DC 延 AC 折叠 B 和 E 重合 AEB 是等边三角形 EAC BAC 30 设 AB AE BE 2a 则 BC a 即 MN a ABE 是等边三角形 EM AB AM a 由勾股定理得 EM a DCE 的面积是 DC EN 2a a a a2 ABE 的面积是 AB EM 2a a a2 故答案为 点评 本题考查了勾股定理 折叠的性质 矩形的性质 等边三角形的性质的应用 解此 题的关键是求出两个三角形的面积 题目比较典型 难度适中 18 2014 黑龙江牡丹江 第 20 题 3 分 已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的 正方形 用阴影表示 点 B1在 y 轴上且坐标是 0 2 点 C1 E1 E2 C2 E3 E4 C3 在 x 轴上 C1的坐标是 1 0 B1C1 B2C2 B3C3 以此继续下去 则点 A2014到 x 轴的 距离是 第 4 题图 考点 全等三角形的判定与性质 规律型 点的坐标 正方形的性质 分析 根据勾股定理可得正方形 A1B1C1D1的边长为 根据相似三角形的性 质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的 依次得到第 2014 个正方形和第 2014 个正方形的边长 进一步得到点 A2014到 x 轴的距离 解答 解 如图 点 C1 E1 E2 C2 E3 E4 C3在 x 轴上 B1C1 B2C2 B3C3 B1OC1 B2E2C2 B3E4C3 B1OC1 1CE1D1 B2E2 1 B3E4 B4E6 B5E8 B2014E4016 作 A1E x 轴 延长 A1D1交 x 轴于 F 则 C1D1F C1D1E1 在 Rt OB1C1中 OB1 2 OC1 1 正方形 A1B1C1D1的边长为为 D1F A1F A1E D1E1 A1E 3 点 A2014到 x 轴的距离是 点评 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识 得出正方形各边长是解 题关键 19 2014 四川成都 第 24 题 4 分 如图 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 A 60 M 是 AD 边的中点 N 是 AB 边上的一动点 将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 A MN 连接 A C 则 A C 长度的最小值是 1 考点 菱形的性质 翻折变换 折叠问题 分析 根据题意得出 A 的位置 进而利用锐角三角函数关系求出 A C 的长即可 解答 解 如图所示 MN MA 是定值 A C 长度的最小值时 即 A 在 MC 上时 过点 M 作 M DC 于点 F 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 A 60 CD 2 ADCB 120 FDM 60 FMD 30 FD MD FM DM cos30 MC A C MC MA 1 故答案为 1 点评 此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识 得出 A 点位置是解题关 键 20 2014 无锡 第 18 题 2 分 如图 菱形 ABCD 中 A 60 AB 3 A B 的半 径分别为 2 和 1 P E F 分别是边 CD A 和 B 上的动点 则 PE PF 的最小值是 3 考点 轴对称 最短路线问题 菱形的性质 相切两圆的性质 分析 利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE PF 的最小值 进而求 出即可 解答 解 由题意可得出 当 P 与 D 重合时 E 点在 AD 上 F 在 BD 上 此时 PE PF 最 小 连接 BD 菱形 ABCD 中 A 60 AB AD 则 ABD 是等边三角形 BD AB AD 3 A B 的半径分别为 2 和 1 PE 1 DF 2 PE PF 的最小值是 3 故答案为 3 点评 此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识 根据题意得出 P 点位置是 解题关键 21 2014 莱芜 第 17 题 4 分 如图在坐标系中放置一菱形 OABC 已知 ABC 60 OA 1 先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转 每次翻转 60 连续翻转 2014 次 点 B 的落点依次为 B1 B2 B3 则 B2014的坐标为 1342 0 考点 规律型 点的坐标 等边三角形的判定与性质 菱形的性质 专题 规律型 分析 连接 AC 根据条件可以求出 AC 画出第 5 次 第 6 次 第 7 次翻转后的图形 容 易发现规律 每翻转 6 次 图形向右平移 4 由于 2014 335 6 4 因此点 B4向右平 移 1340 即 335 4 即可到达点 B2014 根据点 B4的坐标就可求出点 B2014的坐标 解答 解 连接 AC 如图所示 四边形 OABC 是菱形 OA AB BC OC ABC 90 ABC 是等边三角形 AC AB AC OA OA 1 AC 1 画出第 5 次 第 6 次 第 7 次翻转后的图形 如图所示 由图可知 每翻转 6 次 图形向右平移 4 2014 335 6 4 点 B4向右平移 1340 即 335 4 到点 B2014 B4的坐标为 2 0 B2014的坐标为 2 1340 0 B2014的坐标为 1342 0 点评 本题考查了菱形的性质 等边三角形的判定与性质等知识 考查了操作 探究 发 现规律的能力 发现 每翻转 6 次 图形向右平移 4 是解决本题的关键 三 解答题 1 2014 山东潍坊 第 22 题 12 分 如图 1 在正方形 ABCD 中 E F 分别为 BC CD 的中点 连接 AE BF 交点为 G 1 求证 AE BF 2 将 BCF 沿 BF 对折 得到 BPF 如图 2 延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q 求 sin BQP 的值 3 将 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转 使边 AB 正好落在 AE 上 得到 AHM 如图 3 若 AM 和 BF 相交于点 N 当正方形 ABCD 的面积为 4 时 求四边形 GHMN 的面积 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 解直角三角 形 分析 1 由四边形 ABCD 是正方形 可得 ABE BCF 90 AB BC 又由 BE CF 即可证得 ABE BCF 可得 BAE CBF 由 ABF CBF 900可得 ABF BAE 900 即 AE BF 2 由 BCF BPF 可得 CF PF BC BP BFE BFP 由 CD AB 得 BFC ABF 从而 QB QF 设 PF 为 x 则 BP 为 2x 在 Rt QBF 中可求 QB 为x 即可求得答案 2 5 3 由可求出 AGN 的面积 进一步可求出四边形 GHMN 的面积 2 AM AN AHM AGN 解答 1 证明 E F 分别是正方形 ABCD 边 BC CD 的中点 CF BE Rt ABE Rt BCF BAE CBF 又 BAE BEA 900 CBF BEA 900 BGE 900 AE BF 2 根据题意得 FP FC PFB BFC FPB 900 CD AB CFB ABF ABF PFB QF QB 令 PF k k O 则 PB 2k 在 Rt BPQ 中 设 QB x x2 x k 2 4k2 x k sin BQP 2 5 5 4 2 5 2 k k QP BP 3 由题意得 BAE EAM 又 AE BF AN AB 2 AHM 900 GN HM 2 AM AN AHM AGN 5 4 5 2 1 2 AGN 四边形 GHMN S AHM S AGN 1 一 5 4 5 4 答 四边形 GHMN 的面积是 5 4 点评 此题考查了相似三角形的判定与性质 正方形的性质 全等三角形的判定与性质以 及三角函数等知识 此题综合性较强 难度较大 注意掌握旋转前后图形的对应关系 注 意数形结合思想的应用 2 2014 娄底 27 10 分 如图甲 在 ABC 中 ACB 90 AC 4cm BC 3cm 如 果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动 同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 它们的速度均为 1cm s 连接 PQ 设运动时间为 t s 0 t 4 解答下列问 题 1 设 APQ 的面积为 S 当 t 为何值时 S 取得最大值 S 的最大值是多少 2 如图乙 连接 PC 将 PQC 沿 QC 翻折 得到四边形 PQP C 当四边形 PQP C 为菱形时 求 t 的值 3 当 t 为何值时 APQ 是等腰三角形 考点 相似形综合题 分析 1 过点 P 作 PH AC 于 H 由 APH ABC 得出 从而求出 AB 再 根据 得出 PH 3 t 则 AQP 的面积为 AQ PH t 3 t 最后 进行整理即可得出答案 2 连接 PP 交 QC 于 E 当四边形 PQP C 为菱形时 得出 APE ABC 求出 AE t 4 再根据 QE AE AQ QE QC 得出 t 4 t 2 再求 t 即可 3 由 1 知 PD t 3 与 2 同理得 QD t 4 从而求出 PQ 在 APQ 中 分三种情况讨论 当 AQ AP 即 t 5 t 当 PQ AQ 即 t 当 PQ AP 即 5 t 再分别计算即可 解答 解 1 如图甲 过点 P 作 PH AC 于 H C 90 AC BC PH BC APH ABC AC 4cm BC 3cm AB 5cm PH 3 t AQP 的面积为 S AQ PH t 3 t t 2 当 t 为 秒时 S 最大值为cm2 2 如图乙 连接 PP PP 交 QC 于 E 当四边形 PQP C 为菱形时 PE 垂直平分 QC 即 PE AC QE EC APE ABC AE t 4 QE AE AQ t 4 t t 4 QE QC 4 t t 2 t 4 t 2 解得 t 0 4 当四边形 PQP C 为菱形时 t 的值是s 3 由 1 知 PD t 3 与 2 同理得 QD AD AQ t 4 PQ 在 APQ 中 当 AQ AP 即 t 5 t 时 解得 t1 当 PQ AQ 即 t 时 解得 t2 t3 5 当 PQ AP 即 5 t 时 解得 t4 0 t5 0 t 4 t3 5 t4 0 不合题意 舍去 当 t 为 s 或s 或s 时 APQ 是等腰三角形 点评 此题主要考查了相似形综合 用到的知识点是相似三角形的判定与性质 勾股定理 三角形的面积公式以及二次函数的最值问题 关键是根据题意做出辅助线 利用数形 结合思想进行解答 3 2014 江苏盐城 第 27 题 12 分 问题情境 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这 样一个问题 如图 1 在 ABC 中 AB AC 点 P 为边 BC 上的任一点 过点 P 作 PD AB PE AC 垂足分别为 D E 过点 C 作 CF AB 垂足为 F 求证 PD PE CF 小军的证明思路是 如图 2 连接 AP 由 ABP 与 ACP 面积之和等于 ABC 的面积可 以证得 PD PE CF 小俊的证明思路是 如图 2 过点 P 作 PG CF 垂足为 G 可以证得 PD GF PE CG 则 PD PE CF 变式探究 如图 3 当点 P 在 BC 延长线上时 其余条件不变 求证 PD PE CF 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题 结论运用 如图 4 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 D 落在点 B 上 点 C 落在点 C 处 点 P 为折痕 EF 上的任一点 过点 P 作 PG BE PH BC 垂足分别为 G H 若 AD 8 CF 3 求 PG PH 的值 迁移拓展 图 5 是一个航模的截面示意图 在四边形 ABCD 中 E 为 AB 边上的一点 ED AD EC CB 垂足分别为 D C 且 AD CE DE BC AB 2dm AD 3dm BD dm M N 分别为 AE BE 的中点 连接 DM CN 求 DEM 与 CEN 的周长之和 考点 四边形综合题 全等三角形的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 直角三角形斜 边上的中线 勾股定理 矩形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 专题 压轴题 探究型 分析 问题情境 如下图 按照小军 小俊的证明思路即可解决问题 变式探究 如下图 借鉴小军 小俊的证明思路即可解决问题 结论运用 易证 BE BF 过点 E 作 EQ BF 垂足为 Q 如下图 利用问题情境 中的结论可得 PG PH EQ 易证 EQ DC BF DF 只需求出 BF 即可 迁移拓展 由条件 AD CE DE BC 联想到三角形相似 从而得到 A ABC 进 而补全等腰三角形 DEM 与 CEN 的周长之和就可转化为 AB BH 而 BH 是 ADB 的边 AD 上的高 只需利用勾股定理建立方程 求出 DH 再求出 BH 就可解 决问题 解答 解 问题情境 证明 方法 1 连接 AP 如图 PD AB PE AC CF AB 且 S ABC S ABP S ACP AB CF AB PD AC PE AB AC CF PD PE 方法 2 过点 P 作 PG CF 垂足为 G 如图 PD AB CF AB PG FC CFD FDG FGP 90 四边形 PDFG 是矩形 DP FG DPG 90 CGP 90 PE AC CEP 90 PGC CEP BDP DPG 90 PG AB GPC B AB AC B ACB GPC ECP 在 PGC 和 CEP 中 PGC CEP CG PE CF CG FG PE PD 变式探究 证明 方法 1 连接 AP 如图 PD AB PE AC CF AB 且 S ABC S ABP S ACP AB CF AB PD AC PE AB AC CF PD PE 方法 2 过点 C 作 CG DP 垂足为 G 如图 PD AB CF AB CG DP CFD FDG DGC 90 四边形 CFDG 是矩形 CF GD DGC 90 CGP 90 PE AC CEP 90 CGP CEP CG DP AB PD CGP BDP 90 CG AB GCP B AB AC B ACB ACB PCE GCP ECP 在 CGP 和 CEP 中 CGP CEP PG PE CF DG DP PG DP PE 结论运用 过点 E 作 EQ BC 垂足为 Q 如图 四边形 ABCD 是矩形 AD BC C ADC 90 AD 8 CF 3 BF BC CF AD CF 5 由折叠可得 DF BF BEF DEF DF 5 C 90 DC 4 EQ BC C ADC 90 EQC 90 C ADC 四边形 EQCD 是矩形 EQ DC 4 AD BC DEF EFB BEF DEF BEF EFB BE BF 由问题情境中的结论可得 PG PH EQ PG PH 4 PG PH 的值为 4 迁移拓展 延长 AD BC 交于点 F 作 BH AF 垂足为 H 如图 AD CE DE BC ED AD EC CB ADE BCE 90 ADE BCE A CBE FA FB 由问题情境中的结论可得 ED EC BH 设 DH xdm 则 AH AD DH 3 x dm BH AF BHA 90 BH2 BD2 DH2 AB2 AH2 AB 2 AD 3 BD 2 x2 2 2 3 x 2 解得 x 1 BH2 BD2 DH2 37 1 36 BH 6 ED EC 6 ADE BCE 90 且 M N 分别为 AE BE 的中点 DM EM AE CN EN BE DEM 与 CEN 的周长之和 DE DM EM CN EN EC DE AE BE EC DE AB EC DE EC AB 6 2 DEM 与 CEN 的周长之和为 6 2 dm 点评 本题考查了矩形的性质与判定 等腰三角形的性质与判定 全等三角形的性质与判定 相似三角形的性质与判定 平行线的性质与判定 直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 勾股定理等知识 考查了用面积法证明几何问题 考查了运用已有的经验解 决问题的能力 体现了自主探究与合作交流的新理念 是充分体现新课程理念难得的 好题 4 2014 安徽省 第 23 题 14 分 如图 1 正六边形 ABCDEF 的边长为 a P 是 BC 边上 一动点 过 P 作 PM AB 交 AF 于 M 作 PN CD 交 DE 于 N 1 MPN 60 求证 PM PN 3a 2 如图 2 点 O 是 AD 的中点 连接 OM ON 求证 OM ON 3 如图 3 点 O 是 AD 的中点 OG 平分 MON 判断四边形 OMGN 是否为特殊四边 形 并说明理由 考点 四边形综合题 分析 1 运用 MPN 180 BPM NPC 求解 作 AG MP 交 MP 于点 G BH MP 于点 H CL PN 于点 L DK PN 于点 K 利用 MP PN MG GH HP PL LK KN 求解 2 连接 OE 由 OMA ONE 证明 3 连接 OE 由 OMA ONE 再证出 GOE NOD 由 ONG 是等边三角形和 MOG 是等边三角形求出四边形 MONG 是菱形 解答 解 1 四边形 ABCDEF 是正六边形 A B C D E F 120 又 PM AB PN CD BPM 60 NPC 60 MPN 180 BPM NPC 180 60 60 60 故答案为 60 如图 1 作 AG MP 交 MP 于点 G BH MP 于点 H CL PN 于点 L DK PN 于点 K MP PN MG GH HP PL LK KN 正六边形 ABCDEF 中 PM AB 作 PN CD AMG BPH CPL DNK 60 GM AM HL BP PL PM NK ND AM BP PC DN MG HP PL KN a GH LK a MP PN MG GH HP PL LK KN 3A 2 如图 2 连接 OE 四边形 ABCDEF 是正六边形 AB MP PN DC AM BP EN 又 MAO NOE 60 OA OE 在 ONE 和 OMA 中 OMA ONE SAS OM ON 3 如图 3 连接 OE 由 2 得 OMA ONE MOA EON EF AO AF OE 四边形 AOEF 是平行四边形 AFE AOE 120 MON 120 GON 60 GON 60 EON DON 60 EON GOE DON OD OE ODN OEG 在 GOE 和 DON 中 GOE NOD ASA ON OG 又 GON 60 ONG 是等边三角形 ON NG 又 OM ON MOG 60 MOG 是等边三角形 MG GO MO MO ON NG MG 四边形 MONG 是菱形 点评 本题主要考查了四边形的综合题 解题的关键是恰当的作出辅助线 根据三角形 全等找出相等的线段 5 2014 福建泉州 第 25 题 12 分 如图 在锐角三角形纸片 ABC 中 AC BC 点 D E F 分别在边 AB BC CA 上 1 已知 DE AC DF BC 判断 四边形 DECF 一定是什么形状 裁剪 当 AC 24cm BC 20cm ACB 45 时 请你探索 如何