活用课本习题,发挥教材优势

活用课本习题 发挥教材优势活用课本习题 发挥教材优势 高洪武高洪武 浙江省温州市第二十二中学浙江省温州市第二十二中学 325000325000 这里所指的习题是对教材每一章节后面的练习 习题 以及复习参考题的统称 一般来 说 能够入选教材的习题都比较经典 是经过教材编写专家反复讨论 雕琢 实验 筛选 而成 广大一线教师要充分挖掘课本习题的丰富内涵 以发挥其在帮助学生巩固基础知识 训练基本技能 领会思想方法 优化思维品质方面的作用 本文拟以人教 A 版教科书必修 1 为例介绍笔者在活用课本习题方面所做的一些尝试 恳请广大同仁指正 1 还原习题实际背景 培养学生的数学应用意识还原习题实际背景 培养学生的数学应用意识 发展学生的数学应用意识 是新课程的基本理念之一 普通高中数学课程标准 明确 指出 应提供基本内容的实际背景 促进学生形成和发展数学应用意识 数学教学中 若能有意识地揭示问题的实际背景 则有助于提高学生的学习兴趣 培养 发展学生的应 用意识 案例案例 1 习题习题 1 3 A 组组 5 某汽车租赁公司的月收益元与每辆汽车的月租金元间的关yx 系为那么 每辆车月租金多少元时 租赁公司的月收益最大 最大 21000162 50 2 x x y 月收益是多少 咋一看 这是一道实际应用题 但再仔细一看 本题就是一道求二次函数在给定区间上 最值的 纯数学 问题 它的求解根本不需要任何建模 解模过程 为还原习题实际背景 提高学生分析 解决实际问题的能力 可以在解决好此题的基础上做如下提问 改编题改编题 某汽车租赁公司拥有汽车 100 辆 当每辆汽车的月租金为 3000 元时 可以全部租 出 当每辆汽车的月租金每增加 50 元 未出租的车辆将会增加一辆 租出的汽车每辆每月需要 维护费 150 元 未租出的汽车每月需要维护费 50 元 试问 每辆汽车的月租金为多少元时 租赁 公司的月收益最大 最大月收益是多少 此实际问题最后提炼出来的函数解析式与原题给出的相同 改编题的求解也只需写出解 析式即可 经过这一改编 实际问题背景丰富起来 增强了学生探究欲望 激发了学生学习兴 趣 培养了学生数学应用意识 提高了思维训练强度 也进一步印证了 数学是有用的 2 将习题将习题 串化串化 培养学生知识整合能力 培养学生知识整合能力 在大力提倡素质教育 培养创新能力的今天 如何落实好 减负提质 就显得尤为重 要 将知识前后联系是数学学习的一种重要思维方法 课本上许多习题都是为了巩固某一相 同知识 方法而设置的 这些习题之间有一定的联系 在日常教学中 有意将它们串联起来 可使零碎的知识成为一个有机整体 达到把 厚书读薄 的目的 同时也可提高学生的观察 能力 归纳能力 培养学生用联系的观点看问题的好习惯 案例案例 2 习题 习题 2 2 B 组组 4 已知函数 1 0 1 log 1 log aaxxgxxf aa 且 1 求函数的定义域 xgxf 2 判断函数的奇偶性 并说明理由 xgxf P复习参考题复习参考题 A 组组 8 已知求证 90 1 1 1 1 lg ba x x xf 1 ab ba fbfaf 上述两道题目题干都是同一函数模型 故可以将其整合改编成如下题目 改编题改编题 已知函数 x x xf a 1 1 log 1 求该函数定义域 D 2 若 求证 Dxx 21 1 21 21 21 xx xx fxfxf 3 若求的值 2 1 1 1 2 21 21 xf xx xx f 1 xf 案例案例 3 习题习题 1 3 B 组组 3 已知函数是偶函数 而且在是减函数 判断在上 xf 0 0 是增函数还是减函数 并证明你的判断 复习参考题复习参考题 A 组组 10 已知函数 48 P 2 xy 1 它是奇函数还是偶函数 2 它的图象具有怎样的对称性 3 它在上是增函数还是减函数 0 4 它在上是增函数还是减函数 0 复习参考题复习参考题 B 组组 6 48 P 1 已知奇函数在是减函数 试问 它在上是增函数还是减函数 xf ba ab 2 已知偶函数在是增函数 试问 它在上是增函数还是减函数 xf ba ab 很显然上述三个题目考查了同一知识点 奇函数在对称区间具有相同的单调性 偶函 数在对称区间上具有相反的单调性 为提高学习效率 可以将此三题重组为一道题 改编题改编题 已知函数 xyxyxy 22 1 它们是奇函数还是偶函数 其图象具有怎样的对称性 2 判断它在与上的单调性 0 0 3 猜想一般的偶函数在对称区间上单调性有何关系 奇函数呢 你能证明你的猜想吗 经过对上述题目顺序调整和改编 学生可先从具体函数出发 发现图象特征 然后猜 想并证明一般规律 不但揭示了一类问题的本质 而且减轻了学习负担 扩大了学习效果 3 将合情推理渗透到各个章节 培养学生创新思维能力将合情推理渗透到各个章节 培养学生创新思维能力 推理与证明 作为单独的一个章节被安排新课标教材中 这在以往任何教材都没有的 编者的意图很明显 不但要教会学生一些知识 还要教会学生一些方法 合情推理作为我们 进行数学创造和发现的一种重要的思维活动 应该时时贯穿于数学学习过程中 而不是等到 了选修才开始渗透 这样既违背了编者的意图 也错过了很多培养学生创造性思维的机会 案例案例 4 习题习题 1 2 A 组组 10 设集合 试问 从 A 到 B 的映射共有几个 并 1 0 BcbaA 将它们分别表示出来 学生在解决该问题时 多数是倒过来思考 先列举出所有的映射 再数出映射的个数 由 于从 A 到 B 的映射总共才 8 个 多数学生还是能正确解决此题 可是此题意在加深对函数 映射概念的理解 如果仅仅满足于给该题一个答案就此罢休 则会远远失去该题的编排意图 可 以在此题目解决的基础上继续探究 追问追问 1 如果将集合 B 改成 试问 从 A 到 B 的映射共有几个 2 1 0 B 追问追问 2 如果将集合 B 改成 试问 从 A 到 B 的映射共有几个 3 2 1 0 B 追问追问 3 你能从以上两问的解决中发现什么结论 并试着用映射的定义解释你发现的 结论 对追问 1 的解答 可能部分同学还是沿用列举的办法 但随着追问 2 的出现 由于映 射个数的大量增加 大部分同学都明白再用列举的办法不会是一个明智之举 在 进退两 难 的心境中 他们的思维活动自然引向更深的层次 即找寻蕴藏于其中的规律 在完整解 答追问 3 的过程中 他们对函数 映射的概念的理解会跃上一个新台阶 同时思维的创新能 力也在不知不觉中得到提升 4 挖掘课本习题的高考背景 培养学生应试能力挖掘课本习题的高考背景 培养学生应试能力 高考命题的一个重要原则就是 源于课本 高于课本 很多高考题目都可以从课本 习题直接 间接地找到影子 我们在平时教学中 若有意识地挖掘课本习题与历年高考试题 的联系 可以让学生提前适应高考试题 不但可以增强学生对课本习题的重视程度 还可 提高学生应战高考的能力 当它们经过自己的努力解得自己心中 神秘 神圣 的高考真题 时 会让一大批学生重新捡回对数学学习的信心与兴趣 案例案例 5 本文案例 1 改编题即为 2003 年春季北京卷第 21 题 本文案例 2 改编题即为 1993 全国高考卷第 24 题 案例案例 6 练习 3 某种细胞分裂时 由 1 个分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个 依此类推 写出 64 P 1 个这样的细胞分裂次 得到的细胞个数与分裂次数的函数解析式 xyx 此题目源自 1994 年的高考试题 可以在解决此问后增加一问 94 年全国高考试题第年全国高考试题第 5 题题 某种细菌在培养过程中 每 20 分钟分裂一次 一个分裂为两个 经过 3 个小时 这种细菌由 1 个可繁殖成 A 511 个 B 512 个 C 1023 个 D 1024 个 案例案例 7 复习参考题 A 组 4 设计 4 个杯子的形状 使得在向杯子中匀速注水时 杯中水面 125 P 的高度随时间 变化的图象分别与下列图象相符合 图略 ht 此题目源自 98 年全国高考试题 可以在解决此题前让学生做 98 年高考试题 一来可以降低 难度 二来可以激发学生兴趣 98 全国高考试题第全国高考试题第 10 题题 向高为 H 的水瓶中注水 注满为止 如果注水量 V 与水深 h 的 函数关系的图像如下图所示 那么水瓶的形状是 5 对较难的 内涵丰富的问题采取对较难的 内涵丰富的问题采取 低起点 小步子 多反馈低起点 小步子 多反馈 策略 坚持策略 坚持 面向全体面向全体 原则原则 教材上有些习题对部分基础比较薄弱的同学来说显得稍微难些 但也并不是 遥不可 及 的 只要我们架设好恰当的扶梯 力争把问题设置在学生的最近发展区内 采取 底起 点 小步子 多反馈 策略 相信他们 跳一跳 还是可以品尝到胜利的果实的 案例案例 8 习题习题 1 1 B 组组 3 设集合 0 1 4 0 3 xxxBRaaxxxA 求 BABA 很多同学在求解时出现以下错解 BA 错解 aRaaxxxA 3 0 3 4 10 1 4 xxxB aBA 4 3 1 刚上高一的学生出现这样的错误其实是完全可以理解的 它们的思维在很大程度上还停留 在初中的直觉思维模式阶段 要向高中逐步严谨的思维模式转变还需要一个漫长的过程 如果 将此题采取分步设问的话 则可以帮助一部分数学基础比较薄弱的同学也能解决此题 改编题改编题 设集合 0 1 4 0 3 xxxBRaaxxxA 1 当取何值时 集合 A 中只有一个元素 a 2 当取何值时 集合 A 中有两个元素 a 3 求 BABA 有了问题 1 2 的铺垫 学生就会知道集合会随着实数取值的改变而改变 再去处理问Aa 题 3 时 想到讨论也就是十分自然的事情了 案例案例 9 习题习题 1 1 B 组组 1 已知集合 集合满足 则集合有 个 2 1 AB 2 1 BA B 此题目尽管只是一个填空题 但其内涵丰富 我们可以做如下挖掘 改编题改编题 1 已知集合 则集合 A 的子集有 个 3 2 1 A 2 若集合满足 则集合之间是什么关系 BA ABA BA 3 已知集合 集合满足 则集合有 个 3 2 1 AB 3 2 1 BA B h V H 0 4 若集合 A 满足 则集合 A 有 个 5 4 3 2 12 1 A 6 注重一题多解 一题多变 培养学生思维的广阔性和深刻性注重一题多解 一题多变 培养学生思维的广阔性和深刻性 思维的广阔性 又称思维的发散性 在数学教学中 数学思维的广阔性表现为能捕捉 有效的信息 广泛地进行类比 联想 对各个题目能想出各种不同的解法 即通常所说的 一题多解 不但能研究问题本身 而且又能研究相关的其他问题 即 一题多变 案例案例 10 习题习题 1 1 B 组组 2 在平面直角坐标系中 集合表示直线 从 xyyxC xy 这个角度看 集合表示什么 集合 C D 之间有什么关系 54 12 yx yx yxD 学生完成此题后 可做如下变式 变式变式 1 求 RxxyyBRxxyyA 2 BA 变式变式 2 求 22 xyxBRxxyyA BA 变式变式 3 求 22 xyxBRxxyyxA BA 变式变式 4 求 RxxyxyBRxxyyxA 2 BA 变式变式 5 求 RxxyyBRxxyyxA 2 BA 通过这一组变式训练 层层递进 使学生对 元素 交集 的认识和理解呈螺旋式上升 从而对知识的理解更加深刻 案例案例 10 复习参考题复习参考题 A 组组 9 已知函数在 5 20 上是单调函数 求 48 P84 2 kxxxf 实数的取值范围 k 此题可作如下变式 变式变式 1 函数在上是减函数 在上是增函数 求值 84 2 kxxxf 5 5 k 变式变式 2 函数在 5 20 上是增函数 求实数的取值范围 84 2 kxxxfk 变式变式 3 函数在 5 20 上是减函数 求实数的取值范围 84 2 kxxxfk 变式变式 4 函数在 5 20 上是减函数 求实数的取值范围 84 2 xkxxfk 变式变式 5 函数在 5 20 上最大值是 3 求实数的值 84 2 kxxxfk 变式变式 6 函数在上最大值是 求实数的值取值范围 884