常州市戚墅堰高级中学2026届高三上学期摸底测验数学试卷（含答案）

/江苏省常州市戚墅堰高级中学2025-2026学年高三上册摸底测验数学试题一、单选题1．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知为单位向量，且在上的投影向量为，则（

）A．2 B．3 C． D．3．若，且．若，，则等于（

）A．0.12 B．0.8 C．0.32 D．0.084．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知，满足，，则值为（

）A． B． C． D．6．在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（

）A． B． C． D．7．已知点是棱长都为2的正四棱锥的棱的中点，空间中一点满足，其中，，，且．当最小时，有（

）A．为钝角三角形B．C．与底面所成的角是D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为8．若函数有两个极值点，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（

）A．若则B．若，则C．若，则D．若，则10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上单调递增B．若，且的最小值为，则函数的最小正周期为C．若的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为1D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为11．已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．三、填空题12．已知函数（），则它的最小值为______.13．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，，，，若点恰好在边上，则的值为_____.14．已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为___.四、解答题15．已知向量，，且．(1)若，求x的值；(2)若，求函数的最大值．16．已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．17．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．．(1)证明：平面(2)证明：(3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值．18．已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.19．已知函数.(1)当时，证明：；(2)若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.参考答案1．A【详解】由=，则，所以，的虚部为.故选：A2．C【详解】设的夹角为，由题意得，，所以，故选：C3．D【详解】由，所以，可知事件A，B相互独立，则也相互独立，所以，∴．又，∴，∴．故选：D.4．B【详解】由题意得，为定义在R上的减函数，则要满足，解得故选：B.5．D【详解】，所以，所以.故选：D.6．A【详解】由题意知，设，则，如图所示，由可得，整理得，即，又因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是边上的中线，得.所以，中线长.故选：A7．C【详解】因为，，所以，又，所以四点共面，所以当为四边形的中心时，最小.对于A，根据正棱锥的性质可得平面，因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错误；对于B，在直角三角形中，，，所以三角形为等腰直角三角形，因为是的中点，所以，故B错误；对于C，因为平面，所以点在底面的投影落在上，所以为直线与平面所成角，因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C正确；对于D，根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以，因为平面平面，所以为二面角的平面角，因为，所以为四棱锥外接球的球心，为直径，所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D错误．故选：C8．A【详解】由题，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同的正根，所以，，，所以①，所以，又，所以即得，所以或（舍去）②，所以由①②得.故选：A.9．BC【详解】对于选项，如，此时，但，，，故A错．对于选项，，，，，，故B对．对于选项，设，，则，，又，即，即，化简可得，则，在复平面内，，，则，故C对．对于选项，设，，此时但，故D错．故选：.10．AB【详解】对于A，当时，，当，，因在时单调递增，则在上单调递增，故A正确；对于B，因，则时，设，则，因为，则函数的最小正周期为，故B正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后，可得，因为图象关于轴对称，则，因为，则，得，故C错误；对于D，时，，令，可得．则使，且大于的前3个取值为，则，故D错误．故选：AB11．BCD【详解】由于为奇函数，所以，A错误；所以，，C正确；由于为偶函数，则，则，两边求导得，所以，，B正确；由，得，由，得所以，即，D正确；故选：BCD.12．【详解】由，可得，，则，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为.故答案为：.13．【详解】由题意，在中，由余弦定理，；因为，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故答案为：.14．-3【详解】解:令，得，切点为，令，得，切点为.切线方程为代入，可得则令，则,当时，，当时，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴即b的最大值为-3.故答案为：-3.15．(1)(2)【详解】（1）由，，则，所以，则，则，即，由，则，所以，即.（2），则，由，则，则，则，所以函数的最大值为.16．(1)(2)【详解】（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．17．(1)因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以，因为，，所以，又，平面，平面，所以平面．(2)由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示，以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，，，．设．因为，，所以，所以．(3)，最小值为【详解】（1）略（2）略（3）设平面DFE的法向量为，因为，，所以，即．令，则且平面的法向量为，设平面与平面DEF的二面角的平面角为，则．根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值,可知，当时，取最小值为，此时取最大值为，则，此时．18．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以，又，得，所以，即，由，解得；（2）由题意，，所以，设，，，又，则，，在中，由正弦定理可得：.即，，，，，，，即，所以面积的最大值为.19．(1)证明如下：因为函数的定义域为，当时，.要证