旋转映射推导

旋转映射推导旋转映射推导 1 概概 述述 旋转是一种常见的现象 最直观的就是日月星辰周而复始的运转 在科学研 究中也不可避免的要接触到旋转 旋转实际上是一种运动的反应 我们更多的 需要用运动的观点来分析旋转 对于旋转的研究必须选好坐标系 只有在一定 的坐标系中来描述旋转才有意义 研究旋转可以从两个方面入手 一方面是研 究一个动点的坐标与这个点绕定坐标系中的某个定点 或者定轴 旋转一定的 角度后的坐标之间的映射关系 另一个方面是点的位置保持不变 将坐标轴旋 转一定的角度后到一个新的坐标系 这个不动点在新旧的坐标系下坐标之间的 映射关系 按照相对运动来考虑这两个方面 实际上是统一的 只要找到了其 中一个的映射 另一个就是其逆映射 也可表述为正向旋转一个点等同于逆向 旋转坐标轴 要得到旋转的坐标映射关系 有多种方法 本文中将用四种方法来推导 描 述这种映射关系 它们分别是几何法 复数运算法 变换法 四元数法 其中 几何法主要是将直角坐标系中的问题转化到极坐标系下并使用三角公式 复数 运算法将平面直角坐标系看作一个复平面 利用复数乘积的特性来得到映射关 系 变换法主要利用的是基变换和坐标变换的关系 四元数法直接对于三维矢 量的旋转进行描述 且文中对于四元数的一些基本的概念进行了阐释 2 几何法几何法 yx yx M N x Y O 图 1 点旋转定坐标系 如图 1 所示 点在坐标系中的坐标为 将点绕坐标原点Mxoy x yM 旋转到 求在坐标系中的坐标 o rad NNxoy x y 可将这个问题转化为极坐标下来解决 设与的夹角为 其长度为oM ox 有 r 1 cos sin xr yr 2 cos coscossinsincossin sin sincoscossincossin xrrrxy yrrryx 即可得到旋转映射关系 3 cossin sincos xx yy yx M X Y O O X Y 图 2 点静止旋转坐标轴 如图 2 所示 将坐标系绕坐标原点逆时针旋转后得到新的坐标系xoy 点在坐标系中的坐标为 则根据相对运动 逆时针旋转坐 x oyMxoy x y 标轴相当于顺时针旋转点 将 3 式中的取为 即可得点在坐标系 M 中的坐标为 x oy x y 4 cossin sincos xx yy 对于二维平面中的旋转 用几何法可以很直观的给出坐标映射关系 本文推 导的都是绕远点旋转的映射关系 如果不是绕原点旋转 只需要再做一下平 移变换即可 这里不再赘述 3 复数运算法复数运算法 我们称为复数 这样一个复数可由一对有序实数 2 1 zxyi ix yR 唯一确定 所以对于平面上给定的直角坐标系 复数全体与该平面上的点 x y 的全体构成一一对应关系 所以复数可以用该坐标系坐标为的点zxyi x y 来表示 利用直角坐标与极坐标的关系有 cos sinxryr 这样我们可以把复数表示成下面的形式 z 5 cossin zri 利用欧拉公式还可以表示成 6 i zre 其中 称为复数的模 称为复数的幅角 复数的这几种表示方式可以互相转换 r 对于复数的乘法运算 我们利用 5 式的复数表示方法 设有两个复数 11112222 cossin cossin zrizri 则有 7 1 21 21122 1 212121212 1 21212 cossin cossin coscossinsin sincoscossin cos sin z zrrii rri rri 由上式可得 两个复数乘积的模等于它们模的乘积 两个复数乘积的幅角等 于它们幅角的和 那么 我们用一个复数乘以一个模为 1 幅角为的复数 就相当于将复数代表的点绕坐标原点逆时针旋转弧度 设点的坐标为 则对应一个复数 将绕坐标原点逆M x yMzxyi M 时针旋转后的点的坐标为 用数学运算表达为 N x y cossin Nxyixyii cossin sincos xyxyi 即可得到旋转映射为 8 cossin sincos xx yy 同样也可以利用相对运动的观点得到点静止而旋转坐标轴的旋转映射关 系 4 变换法变换法 1 i 1 j i j x y 1 x 1 y o 图 3 基变换与坐标变换 如图 3 所示 将直角坐标系逆时针旋转角 得到坐标系 设点xoy 1 11 x o y 在中的坐标为 点在坐标系中的坐标为 选的Mxoy x yM 1 11 x o y 11 x yxoy 一组基底为 的一组基底为 T l ij 1 11 x o y T 111 l ij 如图 3 所示 有如下 1 11 i j i j 9 coscos cossin 2 111 i ii i ij j i j ij 10 cos cos sin cos 2 111 j ji i jj jiji j 可得到基变换公式 11 cossincossin sincossincos 1 1 1 ii l l jj 令 有 cossin sincos T 1 1 l Tl 有了上述基变换公式就可以得出坐标变换公式 12 xyxy 1 1 1 ii T jj 即在在坐标系中的坐标为M 1 11 x o y xy 1 T 13 1 1 cossin sincos xx yy 此处得到的旋转映射和前面两种方法得到的旋转映射结果完全一样 对于三维 的旋转 可以通过连续绕坐标轴旋转的方式得到 5 四元数法四元数法 5 1 四元数的定义与基本运算性质 设 14 qabcda b c dR ijk 其中满足 i j k 222 1 ijk ij ji k jk kj i ki ik j 则称为四元数 其中为四元数的实部或者标量部分 记为 qaqRe qa 为四元数的虚部或者矢量部分 记为 类似bcd ijkqIm qbcd ijk 于复数用一个有序数对表示 我们也可以用用四维有序数对来表 a b c d 示四元数 q 四元数的集合可以表示为 15 Qabcda b c dR ijk 有了上面的四元数的基本定义 我们继续介绍四元数的基本运算 设两个四元数 11111 qabcdQ ijk 22222 qabcdQ ijk 定义四元数的相等 1212121212 qqaa bb cc dd 定义四元数的加法 1212121212 qqaabbccdd ijk 定义四元数的乘法 称为直乘 按照多项式的乘法原则进行 12121 21 212 1 212121 2 1 22 1212 1 12121 21 2 q qa abbc cd d abbac dd c a ca cb dd b a dd abccb i j k 定义四元数的共轭 1 q 1 q 11111 qabcd ijk 对于任意四元数 定义的矩 或者称为范数 为 qabcdQ ijkq 2222 N qqqabcd 对于任意四元数 定义的迹为 qabcdQ ijkq 2T qqqa 对于任意四元数 定义的模为 qabcdQ ijkq 2222 qN qqqabcd 基于上面的定义容易验证 四元数的加法满 1212 qqqq 1221 q qq q 足结合律和交换律 乘法满足结合律 乘法对加法满足分配律 但乘法不满足 交换律 设 若存在 使得qQ pQ 1pqqp 则称四元数为四元数的倒数或者逆元 记为 即有 pq 1 q 11 1qqq q 四元数存在倒数的充要条件是 且的倒数是唯一的 并满足 q0q q 1 q 1 2 q q q 5 2 四元数的表示 5 2 1 四元数的三角形式表示 设 且其中中至少有一个不为零 则 qabcdQ ijk b c d qabcd bcd ah hhh ah bcd q qqhhh ijk ijk ijk 即 qq uv I 其中 2222 aa u q abcd 222 2222 hbcd v q abcd bcd hhh Iijk 易知 22 1uv 2 1 I 从而可以写成如下的三角形式 0 qabcdQ bcd ijk 16 cossin qq I 17 222 vbcd atanatan ua 5 2 2 四元数的复数表示 设 注意到 则可唯一表示为 qabcdQ ijkij kq 18 qabcd ii j 于是令 则可唯一表示为 12 zab zcd iiq 19 2 1212 1qzzzC zC jj 5 2 3 四元数的数量 向量表示 设 qabcdQ ijk 引入表示法 20 qs 则 称为的数量部分 称为的向量部分 这就sa bcd ijksq q 是四元数的数量 向量表示法 用四元数的数量 向量表示法的好处是把数量和 向量可以分开研究 能够把向量的一些运算性质结合四元数的运算性质来研究 问题 比如向量的点乘 叉乘可以和四元数的乘法 直乘 可以建立起联系 下面我们就来研究它们之间的关系 设有两个四元数 根据 5 1 节定义的四元数乘法可以表 12 qaqb 示的乘积为 12 q q 21 12 q qababab 根据四元数的乘法的定义容易验证 22 等式 22 的左边将看做标量部分为 0 的四元数进行直乘 等式的右边将 看作矢量进行点乘和叉乘 同理 23 所以有以下关系存在 24 1 2 25 1 2 24 25 式的形式将在研究矢量转动中用到 正是由于可以将三维矢 量看作标量部分为 0 的四元数 使得其既可以使用四元数的运算法则又可以利 用矢量的运算法则 这就为四元数来描述三维矢量的转动提供了基础 5 3 四元数表征矢量的转动 5 3 1 转轴与旋转矢量垂直 如图 4 所示 设三维矢量旋转角后变成矢量 设垂直于 r 所在平面的转轴方向单位矢量为 转动方向与转轴方向遵循右手定则 因 n e 为 26 2 2 cos sin r r n e n e 图 4 转轴与旋转矢量垂直 所 以 27 22 cossinrr n e 又因为 28 122 2 1 cossin cossin rr r n n e e 由此可以看出形如的一个四元数表示了这样一个旋转 以 cossin n e 为转轴 使垂直于转轴平面的一个矢量按右手螺旋方向转过角 定义角度 n e 为负值 则相当于转轴反向 5 3 2 转轴与旋转矢量不垂直 5 3 1 节给出了转轴与旋转矢量垂直时候的情形 只要将矢量看作一个四元 数左乘上一个四元数即可表示一个旋转 但是更为一般的情况 cossin n e 是转轴与旋转矢量不垂直的情况 如图 5 所示 其他条件与 5 3 1 节的条件一致 o n e 图 5 转轴与旋转矢量不垂直 要研究矢量的转动 可以将其分解为平行于转轴的分量和垂直于的分量 n e n e 即 29 根据矢量分解和 24 25 式有 30 11 22 nnnnnnn e e ee e e e 31 1 2 1 4 1 2 nnnnn nnnnnn nn e ee ee e ee ee e e e 有了上面的分解 可以把矢量绕旋转角变成矢量 认为是的垂直 n e 于的分量绕旋转角 然后再与的平行于的分量合成为 则可 n e n e n e 利用 5 3 1 节的结论有 32 cossin 1 cos sin 2 1 1 cos sinsin cos1 2 n nnnnnnn nnnn e e e e ee e e e ee e 可见需要对旋转矢量同时左乘和右乘一个四元数 设 12 u u 则有 1 uxy n e 2 ust n e 33 xystxsxtysyt nnnnnn e e ee e e 结合 32 33 式比较系数得 34 1 1 cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 cos1 2 xs xt ys yt 解此方程得到一组解为 35 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 x y s t 记 coscos 22 u n e 1 coscos 22 uu n e 则 36 1 u u 表示矢量绕转轴旋转角得到矢量 其中用四元数 n e 表示以为转轴旋转角的操作 我们把称为旋转算coscos 22 u n e n e 1 uu 子 相继两次的旋转合成就是这两个旋转相乘 至此 我们得到了一般情况下利用四元数的运算法则进行矢量旋转的描述 利用四元数的运算就可以很容易得到坐标旋转映射的矩阵 5 4 四元数法进行坐标系旋转变换 5 4 1 坐标轴固定矢量旋转 在坐标系中 设矢量在空间绕原点旋转至 由欧拉定理可知 矢oxyz 量在空间绕定点旋转至 效果等价于绕一个瞬时轴转过欧拉角 角速 n e 度的方向与瞬时欧拉角的方向一致 设 123 ijk 123 ijk 0123 coscos 22 uqqqq n eijk 则一定有关系式存在 利用四元数的乘法法则 可以得到 1 u u 37 2222 012312031302 1123222 2222 120301232301 2123222 2222 130223010123 3123222 2 2 2 2 2 2 qqqqq qq qq qq q qqq q qq qqqqqq qq q qqq q qq qq qq qqqqq qqq 写成矩阵形式即是 38 2222 012312031302 222 111 2222 120301232301 222222 33 2222 130223010123 222 2 2 2 2 2 2 qqqqq qq qq qq q qqq q qq qqqqqq qq q A qqq q qq qq qq qqqqq qqq 3 可见对于三维空间中每一次转动的坐标映射 就相当于对坐标进行一次左乘转 换矩阵的操作 其中转换矩阵的各个元素由表征转动的四元数给出 一般AA 都要把表征旋转映射的四元数单位化 即是 所以转换矩阵一般写为 1q A 39 2222 012312031302 2222 120301232301 2222 130223010123 2 2 2 2 2 2 qqqqq qq qq qq q Aq qq qqqqqq qq q q qq qq qq qqqqq 5 4 2 坐标轴旋转矢量固定 设有两个共原点的直角坐标系 具有单位矢量的直角坐标系 aaa i j k 和具有单位矢量的直角坐标系 在坐标系中固连 aoxyz bbb i j k boxyz aoxyz 一个矢量 现在将坐标系连同矢量一起转动到坐标 123 aaa ijk aoxyz 系 转动角度 转动瞬时轴为 得到矢量 则矢量在坐标系 boxyz n e 的表达式为 boxyz 40 123 bbb ijk 假设矢量在坐标系的坐标为 aoxyz 123 T 即是 41 123 aaa ijk 则有关系式 42 123