高考数学概念、方法、易错点、题型总结大全

概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 基本概念 公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能 为此作为临考前的高三学生 务必首先 要掌握高中数学中的概念 公式及基本解题方法 其次要熟悉一些基本题型 明确解题中的易误点 还 应了解一些常用结论 最后还要掌握一些的应试技巧 本资料对高中数学所涉及到的概念 公式 常见 题型 常用方法和结论及解题中的易误点 按章节进行了系统的整理 最后阐述了考试中的一些常用技 巧 相信通过对本资料的认真研读 一定能大幅度地提升高考数学成绩 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 一 集合元素具有确定性 无序性和互异性 在求有关集合问题时 尤其要注意元素的互异尤其要注意元素的互异 性性 如如 1 设 P Q 为两个非空实数集合 定义集合 P Q 若 ab aP bQ 0 2 5 P 则 P Q 中元素的有 个 6 2 1 Q 答 8 2 设 Ux yxR yR 20 Ax yxym Bx yxyn 0 那么点的充要条件是 3 2 BCAP u 答 5 1 nm 3 非空集合 且满足 若 则 这样的共有 个 5 4 3 2 1 SSa Sa 6S 答 7 二 遇到时 你是否注意到 极端 情况 或 同样当时 你AB A B AB 是否忘记的情形 要注意到是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 如如 A 集合 且 则实数 10 Ax ax 2 320Bx xx ABB a 答 1 0 1 2 a 三 对于含有个元素的有限集合 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的个数依次nM 为 如如 n 2 12 n 12 n 2 2 n 满足集合 M 有 个 1 2 1 2 3 4 5 M 答 7 四 集合的运算性质 ABABA ABBBA AB uu AB uu ABAB uA BUAB U CAB UU C AC B UUU CABC AC B 如 如 设全集 若 5 4 3 2 1 U 2 BA 4 BACU 5 1 BCAC UU 则 A B 答 2 3 A 2 4 B 五 研究集合问题 一定要理解集合的意义理解集合的意义 抓住集合的代表元素抓住集合的代表元素 如 函 xyxlg 数的定义域 函数的值域 函数图象上的点集 如如 xyylg xyyxlg 1 1 设集合 集合 N 则 2 Mx yx 2 y yxxM MN 答 4 2 2 设集合 则 1 2 3 4 Ma aR 2 3 4 5 Na a R NM 答 2 2 六 数轴和韦恩图是进行交 并 补运算的有力工具 在具体计算时不要忘了集合本身和空计算时不要忘了集合本身和空 集集这两种特殊情况 补集思想补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 如 如 已知函数在区间上至少存在一个实数 使12 2 24 22 ppxpxxf 1 1 c 求实数的取值范围 0 cfp 答 3 3 2 七 复合命题真假的判断 或命题或命题 的真假特点是 一真即真 要假全假 且命题且命题 的 真假特点是 一假即假 要真全真 非命题非命题 的真假特点是 真假相反 如 如 在下列说法中 且 为真是 或 为真的充分不必要条件 pqpq 且 为假是 或 为真的充分不必要条件 pqpq 或 为真是 非 为假的必要不充分条件 pqp 非 为真是 且 为假的必要不充分条件 ppq 其中正确的是 答 八 四种命题及其相互关系八 四种命题及其相互关系 若原命题是 若 p 则 q 则逆命题为 若 q 则 p 否命题为 若 p 则 q 逆否命题为 若 q 则 p 提醒提醒 1 1 互为逆否关系的命题是等价命题 即原命题与逆否命题同真 同假 逆命题与否命题 同真同假 但原命题与逆命题 否命题都不等价 2 2 在写出一个含有 或 且 命题的否命题时 要注意 非或即且 非且即或非或即且 非且即或 3 3 要注意区别 否命题 与 命题的否定 否命题要对命题的条件和结论都否定 而 命题的否定仅对命题的结论否定 4 4 对于条件或结论是不等关系或否定式的命题 一般利用等价关系 判断ABBA 其真假 这也是反证法的理论依据 5 5 哪些命题宜用反证法 如 如 1 1 在 ABC 中 若 C 900 则 A B 都是锐角 的否命题为 答 在中 若 则不都是锐角 ABC 90C AB 2 2 已知函数 证明方程没有负数根 2 1 1 x x f xaa x 0 xf 九 充要条件充要条件 关键是分清条件和结论 划主谓宾 由条件可推出结论 条件是结论成立 的充分条件 由结论可推出条件 则条件是结论成立的必要条件 从集合角度解释 若 则 A 是 B 的充分条件 若 则 A 是 B 的必要条件 若 A B 则 A 是 BBA BA 的充要条件 如 如 1 1 给出下列命题 实数是直线与平行的充要条件 0 a12 yax322 yax 若是成立的充要条件 0 abRbababa 已知 若 则或 的逆否命题是 若或Ryx 0 xy0 x0 y0 x 则 0 y0 xy 若和都是偶数 则是偶数 的否命题是假命题 abba 其中正确命题的序号是 答 2 2 设命题 p 命题 q 若 p 是 q 的必要而 43 1x 0 1 12 2 aaxax 不充分的条件 则实数 a 的取值范围是 答 1 0 2 十 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法 通过去分母 去括号 移项 合并同类项等步骤化为的axb 形式 若 则 若 则 若 则当时 当时 0a b x a 0a b x a 0a 0b xR 0b 如如x 已知关于的不等式的解集为 则关于的不等式x0 32 baxba 3 1 x 的解集为 0 2 3 abxba 答 3 x x 十一 一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集 联系图象 尤其当和时的解集你会正确表示吗 0 0 设 是方程的两实根 且 则其解集如下表 0a 12 x x 2 0axbxc 12 xx 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 2 0axbxc 0 或 1 x xx 2 xx 或 1 x xx 2 xx 12 x xxx 12 x xxx 0 2 b x x a R 2 b x x a 0 R R 如如解关于的不等式 x01 1 2 xaax 答 当时 当时 或 当时 当时 0a 1x 0a 1x 1 x a 01a 1 1x a 1a 当时 x 1a 1 1x a 十二 对于方程对于方程有实数解的问题有实数解的问题 首先要讨论最高次项系数是否为 0 其0 2 cbxaxa 次若 则一定有 对于多项式方程 不等式 函数的最高次项0 a04 2 acb 中含有参数时 你是否注意到同样的情形 如 如 1 1 对一切恒成立 则的取值范围是 2 22210axax Rx a 答 1 2 2 2 关于的方程有解的条件是什么 答 其中为的值域 特别x f xk kD D f x 地 若在内有两个不等的实根满足等式 则实数的范围是 0 2 cos23sin21xxk k 答 0 1 十三 一元二次方程根的分布理论一元二次方程根的分布理论 方程在上有两根 在 2 0 0 f xaxbxca k 上有两根 在和上各有一根的充要条件分别是什么 m n k k 0 0 2 f k b k a 根的分布理论成立的前提 0 0 0 2 f m f n b m a n 0f k 是开区间 若在闭区间讨论方程有实数解的情况 可先利用在开区间上 nm0 xf nm 实根分布的情况 得出结果 再令和检查端点的情况 nx mx 如如实系数方程的一根大于 0 且小于 1 另一根大于 1 且小于 2 则的取 2 20 xaxb 1 2 a b 值范围是 答 1 4 1 十四 二次方程 二次不等式 二次函数间的联系你了解了吗 二次方程的 2 0axbxc 两个根即为二次不等式的解集的端点值 也是二次函数 2 0 0 axbxc 的图象与轴的交点的横坐标 2 yaxbxc x 如 如 1 1 不等式的解集是 则 3 2 xax 4 ba 答 1 8 2 2 若关于的不等式的解集为 其中 则关于x0 2 cbxax nm 0 nm 的不等式的解集为 x0 2 abxcx 答 1 1 nm 3 3 不等式对恒成立 则实数的取值范围是 2 3210 xbx 1 2 x b 答 概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 函函 数数 一 映射 AB 的概念 在理解映射概念时要注意 理解映射概念时要注意 中元素必须都有象且唯一 Bf 中元素不一定都有原象 但原象不一定唯一 如 如 1 1 设是集合到的映射 下列说法正确的是 A 中每一个元素在 fMN MNM 中必有象 B 中每一个元素在中必有原象 C 中每一个元素在中的原NNMNM 象是唯一的 D 是中所在元素的象的集合NM 答 A 2 2 点在映射的作用下的象是 则在作用下点的原象为点 baf baba f 1 3 答 2 1 3 3 若 则到的映射有 个 到的映 4 3 2 1 A cbaB a b cR ABBA 射有 个 到的函数有 个AB 答 81 64 81 4 4 设集合 映射满足条件 对任意的 1 0 1 1 2 3 4 5 MN fMN xM 是奇数 这样的映射有 个 xf x f y a 0 O k x1 x2 x 答 12 5 5 设是集合 A 到集合 B 的映射 若 B 1 2 则一定是 2 xxf BA 答 或 1 二 函数函数 A AB B 是特殊的映射是特殊的映射 特殊在定义域定义域 A A 和值域和值域 B B 都是非空数集都是非空数集 据此可知函数f 图像与轴的垂线至多有一个公共点 但与轴垂线的公共点可能没有 也可能有任意xy 个 如 如 1 1 已知函数 那么集合中所含元 f xxF 1 x yyf x xFx yx 素的个数有 个 答 0 或 1 2 2 若函数的定义域 值域都是闭区间 则 42 2 1 2 xxy 2 2 bb 答 2 三 同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域 值域和对应法则 而值域可由定义域和 对应法则唯一确定 因此当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数当两个函数的定义域和对应法则相同时 它们一定为同一函数 如如 若一系列函数的解析式相同 值域相同 但其定义域不同 则称这些函数为 天一函数 那么解析式为 值域为 4 1 的 天一函数 共有 个 2 yx 答 9 四 求函数定义域的常用方法 在研究函数问题时要树立定义域优先的原则研究函数问题时要树立定义域优先的原则 1 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零 分母不能为零 对数中logax 且 三角形中 最大角 最小角等 如如0 0 xa 1a 0A 3 3 1 1 函数的定义域是 2 4 lg3 xx y x 答 0 2 2 3 3 4 2 2 若函数的定义域为 R 则 2 7 43 kx y kxkx k 答 3 0 4 3 3 函数的定义域是 则函数的定义域是 f x a b0ba F xf xfx 答 aa 4 4 设函数 若的定义域是 R 求实数的取值范围 2 lg 21 f xaxx f xa 若的值域是 R 求实数的取值范围 f xa 答 1a 01a 2 根据实际问题的要求确定自变量的范围 3 复合函数的定义域 若已知的定义域为 其复合函数的定义域由不 f x a b f g x 等式解出即可 若已知的定义域为 求的定义域 相当于当 ag xb f g x a b f x 时 求的值域 即的定义域 如如 xa b g x f x 1 1 若函数的定义域为 则的定义域为 xfy 2 2 1 log2xf 答 42 xx 2 2 若函数的定义域为 则函数的定义域为 2 1 f x 2 1 f x 答 1 5 五 求函数值域 最值 的方法 1 配方法配方法 二次函数 二次函数在给出区间上的最值有两类 一是求闭区间上的最 m n 值 二是求区间定 动 对称轴动 定 的最值问题 求二次函数的最值问题 勿忘数二次函数的最值问题 勿忘数 形结合形结合 注意 两看两看 一看开口方向 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 如如 1 1 求函数的值域 2 25 1 2 yxxx 答 4 8 2 2 当时 函数在时取得最大值 则的取值 2 0 x3 1 4 2 xaaxxf2 xa 范围是 答 2 1 a 3 3 已知的图象过点 2 1 则的值域为 3 24 x b f xx 1212 F xfxfx 答 2 5 2 换元法换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数 其函数特征是函数 解析式含有根式或三角函数公式模型 如如 1 1 的值域为 2 2sin3cos1yxx 答 17 4 8 2 2 的值域为 211yxx 答 3 3 3 的值域为 sincossincosyxxxx A 答 1 1 2 2 4 4 的值域为 2 49yxx 答 1 3 24 3 函数有界性法函数有界性法 直接求函数的值域困难时 可以利用已学过函数的有界性 来确定所 求函数的值域 最常用的就是三角函数的有界性 如如 求函数 的值域 2sin1 1sin y 3 1 3 x x y 2sin1 1cos y 答 0 1 1 2 3 2 4 单调性法单调性法 利用一次函数 反比例函数 指数函数 对数函数等函数的单调性 如如 求 的值域 1 19 yxx x 2 2 9 sin 1 sin yx x 5 3 2log1 x yx 答 80 0 9 11 9 2 2 10 5 数形结合法数形结合法 函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的距离 直线斜率 等等 如如 1 1 已知点在圆上 求及的取值范围 P x y 22 1xy 2 y x 2yx 答 33 33 5 5 2 2 求函数的值域 22 2 8 yxx 答 10 3 3 求函数及的值域 22 61345yxxxx 22 61345yxxxx 答 43 26 26 注意注意 求两点距离之和时 要将函数式变形 使两定点在轴的两侧 而求两点距离之x 差时 则要使两定点在轴的同侧 x 6 判别式法判别式法 对分式函数 分子或分母中有一个是二次 都可通用 但这类题型有时也 可以用其它方法进行求解 不必拘泥在判别式法上 也可先通过部分分式后 再利用均 值不等式 型 可直接用不等式性质 如如 2 b y kx 求的值域 2 3 2 y x 答 3 0 2 型 先化简 再用均值不等式 如如 2 bx y xmxn 1 1 求的值域 2 1 x y x 答 1 2 2 2 求函数的值域 2 3 x y x 答 1 0 2 型 通常用判别式法 如如 2 2 xm xn y xmxn 已知函数的定义域为 R 值域为 0 2 求常数的值 2 3 2 8 log 1 mxxn y x m n 答 5mn 型 可用判别式法或均值不等式法 如如 2 xm xn y mxn 求的值域 2 1 1 xx y x 答 3 1 7 不等式法不等式法 利用基本不等式求函数的最值 其题型特征解析式是2 abab a bR 和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时须要用到拆项 添项和两 边平方等技巧 如如 设成等差数列 成等比数列 则的取值范围是 12 x a ay 12 x b by 21 2 21 bb aa 答 0 4 8 导数法导数法 一般适用于高次多项式函数 如如 求函数 的最小值 32 2440f xxxx 3 3 x 答 48 提醒提醒 1 求函数的定义域 值域时 你按要求写成集合形式了吗 2 函数的最值与值域之间有何关系 六 分段函数的概念 分段函数是在其定义域的不同子集上 分别用几个不同的式子来表示 对应关系的函数 它是一类较特殊的函数 在求分段函数的值求分段函数的值时 一定首先要判时 一定首先要判 0 f x 断断属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内属于定义域的哪个子集 然后再代相应的关系式 分段函数的值域应是其定义域内 0 x 不同子集上各关系式的取值范围的并集不同子集上各关系式的取值范围的并集 如如 1 1 设函数 则使得的自变量的取值范围是 2 1 1 41 1 xx f x xx 1f x x 答 2 0 10 2 2 已知 则不等式的解集 1 0 1 0 x f x x 2 2 5xxf x 答 3 2 七 求函数解析式的常用方法 1 1 待定系数法 待定系数法 已知所求函数的类型 二次函数的表达形式有三种 一般式 顶点式 零点式 要 2 f xaxbxc 2 f xa xmn 12 f xa xxxx 会根据已知条件的特点 灵活地选用二次函数的表达形式 如如 已知为二次函数 且 且 f 0 1 图象在 x 轴上截得的线段 f x 2 2 xfxf 长为 2 求的解析式 2 f x 答 2 1 21 2 f xxx 2 代换 配凑 法代换 配凑 法 已知形如的表达式 求的表达式 如如 f g x f x 1 1 已知求的解析式 sin cos1 2 xxf 2 xf 答 242 2 2 2 f xxxx 2 2 若 则函数 2 2 1 1 x x x xf 1 xf 答 2 23xx 3 3 若函数是定义在 R 上的奇函数 且当时 那么 xf 0 x 1 3 xxxf 当时 0 x xf 答 3 1 xx 这里需值得注意值得注意的是所求解析式的定义域的等价性 即的定义域应是的值域 f x g x 3 方程的思想方程的思想 已知条件是含有及另外一个函数的等式 可抓住等式的特征对等式 f x 的进行赋值 从而得到关于及另外一个函数的方程组 如如 f x 1 1 已知 求的解析式 2 32f xfxx f x 答 2 3 3 f xx 2 2 已知是奇函数 是偶函数 且 则 f x xg f x xg 1 1 x f x 答 2 1 x x 八 反函数 1 存在反函数的条件存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值域中的任一个值 都有唯一的值 都有唯一的值与之对应值与之对应 故yx 单调函数一定存在反函数 但反之不成立 偶函数只有有反函数 周期 0 0 f xx 函数一定不存在反函数 如如 函数在区间 1 2 上存在反函数的充要条件是 2 23yxax A B C D 1a 2 a 1 2 a 1a 2 答 D 2 求反函数的步骤 反求 互换 注明反函数的定义域 原来函数的值域 xxy 注意注意函数的反函数不是 而是 如如 1 yf x 1 1 yfx 1 1 yfx 设 求的反函数 0 1 2 x x x xf xf 1 xf 答 1 1 1 1 fxx x 3 反函数的性质 反函数的定义域是原来函数的值域 反函数的值域是原来函数的定义域 如如 单调递增函数满足条件 x 其中 0 若的反函数的定 xf 3 axfa xf 1 xf 义域为 则的定义域是 aa 4 1 xf 答 4 7 函数的图象与其反函数的图象关于直线对称 注意注意函数 yf x 1 yfx yx 的图象与的图象相同 如如 yf x 1 xfy 1 1 已知函数的图象过点 1 1 那么的反函数的图象一定经过点 yf x 4fx 答 1 3 2 2 已知函数 若函数与的图象关于直线对 1 32 x x xf yg x 1 1 xfyxy 称 求的值 3 g 答 7 2 如如 1 f abfba 1 1 已知函数 则方程的解 2 4 log 3 x xf4 1 xf x 答 1 2 2 设函数 f x 的图象关于点 1 2 对称 且存在反函数 f 4 0 则 1 fx 1 4 f 答 2 互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性 如如 已知是上的增函数 点在它的图象上 是它的反函数 那么 f xR 1 1 1 3AB 1 fx 不等式的解集为 1 2 log1fx 答 2 8 设的定义域为 A 值域为 B 则有 f x 1 f fxx xB 1 ff xx 但 xA 11 f fxff x 九 函数的奇偶性函数的奇偶性 1 具有奇偶性的函数的定义域的特征 定义域必须关于原点对称定义域的特征 定义域必须关于原点对称 为此确定函数的奇偶性 时 务必先判定函数定义域是否关于原点对称 如如 若函数 为奇函数 其中 则的值是 xf2sin 3 x 25 3 x 2 0 答 0 2 确定函数奇偶性的常用方法 若所给函数的解析式较为复杂 应先化简 再判断其奇偶 性 定义法 如如判断函数的奇偶性 答 奇函数 2 4 4 9 x y x 利用函数奇偶性定义的等价形式 或 如如 0f xfx 1 fx f x 0f x 判断的奇偶性 答 偶函数 11 212 x f xx 图像法 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于轴对称 y 3 函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数 那么其反函数一定还是奇函数 若为偶函数 则 如如 f x fxf xfx 若定义在 R 上的偶函数在上是减函数 且 2 则不等式 f x 0 3 1 f 的解集为 2 log 8 1 xf 答 0 0 5 2 若奇函数定义域中含有 0 则必有 故是为奇函数的既不充 f x 0 0f 0 0f f x 分也不必要条件 如如 若为奇函数 则实数 答 1 22 21 x x aa f x a 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数与一个偶函数 的和 或差 如如 设是定义域为 R 的任一函数 判断 xf 2 f xfx F x 2 f xfx G x 与的奇偶性 若将函数 表示成一个奇函数和一个偶函 xF xG 110lg x xf xg 数之和 则 xh xg 答 为偶函数 为奇函数 xF xG xg 1 2 x 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外内偶则偶 内奇同外 既奇又偶函数有无穷多个 定义域是关于原点对称的任意一个数集 0f x 十 函数的单调性函数的单调性 1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法 在解答题中常用 定义法 取值 作差 变形 定号 导数法 在区间 内 若总有 则为增函数 反之 若在区间内为增函数 则 a b 0fx f x f x a b 请注意两者的区别注意两者的区别所在 如如 0fx 已知函数在区间上是增函数 则的取值范围是 3 f xxax 1 a 答 0 3 在选择填空题中还可用数形结合法 特殊值法等等 特别要注意特别要注意 0 b yaxa x 型函数的图象和单调性在解题中的运用 增区间为 减区间为0 b bb aa 如如 0 0 bb aa 1 1 若函数 在区间 4 上是减函数 那么实数的取2 1 2 2 xaxxfa 值范围是 答 3 a 2 2 已知函数在区间上为增函数 则实数的取值范围 1 2 ax f x x 2 a 答 1 2 3 3 若函数的值域为 R 则实数的取值范围是 log40 1 a a f xxaa x 且a 答 且 04a 1a 复合函数法 复合函数单调性的特点是同增异减同增异减 如如 函数的单调递增区间是 2 1 2 log2yxx 答 1 2 2 2 特别提醒 特别提醒 求单调区间时 一是勿忘定义域 如如若函数在区间 2 log 3 a f xxax 上为减函数 求的取值范围 答 二是在多个单调区间之间不一定 2 a a 1 2 3 能添加符号 和 或 三是单调区间应该用区间表示 不能用集合或不等式表 示 3 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用单调性与奇偶性的逆用了吗 比较大小 解不等式 求参数范围 如如 已知奇函数是定义在上的减函数 若 求实数的取 xf 2 2 0 12 1 mfmfm 值范围 答 12 23 m 十一 常见的图象变换常见的图象变换 1 函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得 axfy 0 a xfy xa 到的 如如 设的图像与的图像关于直线对称 的图像由的图像 2 x f xg x f xyx h x g x 向右平移 1 个单位得到 则为 h x 答 2 log 1 h xx 2 函数 的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得 axfy 0 a xfy xa 到的 如如 1 1 若 则函数的最小值为 2 199 443f xxx f x 答 2 2 2 要得到的图像 只需作关于 轴对称的图像 再向 平 3lg xy xylg 移 3 个单位而得到 答 右 y 3 3 函数的图象与轴的交点个数有 个 lg 2 1f xxx x 答 2 3 函数 的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得 xfy a 0 a xfy ya 到的 4 函数 的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得 xfy a 0 a xfy ya 到的 如如 将函数的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位 所得图象如果与原a ax b y 图象关于直线对称 那么xy 0 1 baARbaB 1 0 1 baCRbaD 0 答 C 5 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的 axfy 0 a xfy x a 1 如如 1 1 将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 再将此图 yf x 1 3 像沿轴方向向左平移 2 个单位 所得图像对应的函数为 x 答 36 fx 2 2 如若函数是偶函数 则函数的对称轴方程是 21 yfx 2 yfx 答 1 2 x 6 函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的 xafy 0 a xfy ya 十二 函数的对称性函数的对称性 1 满足条件的函数的图象关于直线对称 如如 f xaf bx 2 ab x 已知二次函数满足条件且方程有等根 0 2 abxaxxf 3 5 xfxfxxf 则 xf 答 2 1 2 xx 2 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yy x y xfy y xfy 3 点关于轴的对称点为 函数关于轴的对称曲线方程为 x yx xy xfy x xfy 4 点关于原点的对称点为 函数关于原点的对称曲线方程为 x y xy xfy xfy 5 点关于直线的对称点为 曲线关于直线 x yyxa yaxa 0f x y 的对称曲线的方程为 特别地 点关于直线的对yxa 0fyaxa x yyx 称点为 曲线关于直线的对称曲线的方程为 y x 0f x y yx f y x 点关于直线的对称点为 曲线关于直线的对称0 x yyx yx 0f x y yx 曲线的方程为 如如 0fyx 己知函数 若的图像是 它关于直线对称图像是 33 232 x f xx x 1 xfy 1 Cyx 关于原点对称的图像为对应的函数解析式是 22 C C 33 CC 则 答 2 21 x y x 6 曲线关于点的对称曲线的方程为 如如 0f x y a b 2 2 0faxby 若函数与的图象关于点 2 3 对称 则 xxy 2 xgy xg 答 2 76xx 7 形如的图像是双曲线 其两渐近线分别直线 由分母 0 axb ycadbc cxd d x c 为零确定 和直线 由分子 分母中的系数确定 对称中心是点 如如 a y c x d a c c 已知函数图象与关于直线对称 且图象关于点 C 2 1 1C y xaaxa yx C 2 3 对称 则 a 的值为 答 2 8 的图象先保留原来在轴上方的图象 作出轴下方的图象关于轴的对 f x f xxxx 称图形 然后擦去轴下方的图象得到 的图象先保留在轴右方的图象 擦去x fx f xy 轴左方的图象 然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到 如如yyy 1 1 作出函数及的图象 2 log 1 yx 2 log 1 yx 2 2 若函数是定义在 R 上的奇函数 则函数的图象关于 xf xfxfxF 对称 答 轴 y 提醒提醒 1 从结论 可看出 求对称曲线方程的问题 实质上是利用代入法 转化为求点的对称问题 2 证明函数图像的对称性 即证明图像上任一点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在图像上 3 证明图像与的对称性 需证两方面需证两方面 证明 1 C 2 C 上任意点关于对称中心 对称轴 的对称点仍在上 证明上任意点关于对称中心 1 C 2 C 2 C 对称轴 的对称点仍在上 如如 1 C 1 1 已知函数 求证 函数的图像关于点成中心 1 Ra xa ax xf xf 1 M a 对称图形 2 2 设曲线 C 的方程是 将 C 沿轴 轴正方向分别平行移动单位长度xxy 3 xy t s 后得曲线 写出曲线的方程 1 C 1 C 答 证明曲线 C 与关于点对称 3 yxtxts 1 C 2 2 st A 十三 函数的周期性函数的周期性 1 类比类比 三角函数图像三角函数图像 得得 若图像有两条对称轴 则必是周期函数 且一周期 yf x xa xb ab yf x 为 2 Tab 若图像有两个对称中心 则是周期函数 且一 yf x 0 0 A aB bab yf x 周期为 2 Tab 如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴 则函数 yf x 0 A a xb ab 必是周期函数 且一周期为 yf x 4 Tab 如如已知定义在上的函数是以 2 为周期的奇函数 则方程在上至少R f x 0f x 2 2 有 个实数根 答 5 2 由周期函数的定义由周期函数的定义 函数满足 则是周期为的周期函 f x xafxf 0 a f xa 数 得得 函数满足 则是周期为 2的周期函数 f x xafxf f xa 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 如如 1 1 设是上的奇函数 当时 则 xf 2 xfxf 10 xxxf 等于 5 47 f 答 5 0 2 2 定义在上的偶函数满足 且在上是减函数 若是R f x 2 f xf x 3 2 锐角三角形的两个内角 则的大小关系为 sin cos ff 答 sin cos ff 3 3 已知是偶函数 且 993 是奇函数 求的值 f x 1 f g x 1 f x 2005 f 答 993 4 4 设是定义域为 R 的函数 且 又 f x 21f xf x 1f x 222f 则 2006f 答 22 2 十四 指数式 对数式指数式 对数式 m nm n aa 1 m n m n a a 0 1a log 10 a log1 aa lg2lg51 logln ex x 如如log 0 1 0 b a aNNb aaN logaN aN log log log c a c b b a loglog m n a a n bb m 1 1 的值为 235 log 25 log 4 log 9AA 答 8 2 2 的值为 2 log81 2 答 1 64 十五 指数 对数值的大小比较指数 对数值的大小比较 1 化同底后利用函数的单调性 2 作差或作商法 3 利用中间量 0 或 1 4 化同指数 或同真数 后利用图象比较 十六 函数的应用函数的应用 1 求解数学应用题的一般步骤 审题 认真读题 确切理解题意 明确问题的实际背景 寻找各量之间的内存联系 建模 通过抽象概括 将实际 问题转化为相应的数学问题 别忘了注上符合实际意义的定义域别忘了注上符合实际意义的定义域 解模 求解所 得的数学问题 回归 将所解得的数学结果 回归到实际问题中去 2 常见的 函数模型有 建立一次函数或二次函数模型 建立分段函数模型 建立指数函 数模型 建立型 b yax x 十七 抽象函数十七 抽象函数 抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式 只给出了其它一些条件 如函数的定义域 单调性 奇偶性 解析递推式等 的函数问题 求解抽象函数问 题的常用方法是 1 1 借鉴模型函数进行类比探究 借鉴模型函数进行类比探究 几类常见的抽象函数 正比例函数型 0 f xkx k f xyf xf y 幂函数型 2 f xx f xyf x f y xf x f yf y 指数函数型 x f xa f xyf x f y f x f xy f y 对数函数型 logaf xx f xyf xf y x ff xf y y 三角函数型 如如已知是定义在 R 上的 tanf xx 1 f xf y f xy f x f y xf 奇函数 且为周期函数 若它的最小正周期为 T 则 答 0 2 T f 2 利用函数的性质 如奇偶性 单调性 周期性 对称性等 进行演绎探究利用函数的性质 如奇偶性 单调性 周期性 对称性等 进行演绎探究 如如 1 1 设函数表示除以 3 的余数 则对任意的 都有 f x xN x x yN A B 3 f xf x f xyf xf y C D 3 3 fxf x f xyf x f y 答 A 2 2 设是定义在实数集 R 上的函数 且满足 如果 xf 1 2 xfxfxf 求 2 3 lg 1 f15lg 2 f 2001 f 答 1 3 3 如设是定义在上的奇函数 且 证明 直线是函 xfR 2 xfxf 1 x 数图象的一条对称轴 xf 4 4 已知定义域为的函数满足 且当时 单调R xf 4 xfxf2 x xf 递增 如果 且 则的值的符号是 4 21 xx0 2 2 21 xx 21 xfxf 答 负数 3 利用一些方法 如赋值法 令利用一些方法 如赋值法 令 0 0 或或 1 1 求出 求出或或 令 令或或等 等 递推 递推x 0 f 1 fyx yx 法 反证法等 进行逻辑探究法 反证法等 进行逻辑探究 如如 1 1 若 满足 则的奇偶性是 xR f x f xyf x f y f x 答 奇函数 2 2 若 满足 则xR f x f xyf x f y 的奇 f x 偶性是 答 偶函数 3 3 已知是定义在上的奇函数 当 f x 3 3 03x 时 的图像如右图所示 那么不等式 f x cos0f xx A O 1 2 3 x y 的解集是 答 1 0 1 3 22 4 4 设的定义域为 对任意 都有 且时 f xR x yR x ff xf y y 1x 又 求证为减函数 解不等式 0f x 1 1 2 f f x2 5 f xfx 答 0 14 5 概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 平面向量平面向量 一 向量有关概念一 向量有关概念 1 向量的概念向量的概念 既有大小又有方向的量 注意向量和数量的区别 向量常用有向线段 来表示 注意不能说向量就是有向线段不能说向量就是有向线段 为什么 向量可以平移 如 如 已知 A 1 2 B 4 2 则把向量按向量 1 3 平移后得到的向量是AB a 答 3 0 2 零向量零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的 0 3 单位向量单位向量 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与共线的单位向量是AB AB AB 4 相等向量相等向量 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 平行向量 也叫共线向量 方向相同或相反的非零向量 叫做平行向量 记作 ab 规定零向量和任何向量平行规定零向量和任何向量平行 ab 提醒提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 ABC AB AC 6 相反向量相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是 如如aa 下列命题 1 若 则 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同 ab ab 终点相同 3 若 则是平行四边形 4 若是平行四边形 则ABDC ABCDABCD 5 若 则 6 若 则 其中正确的是 ABDC ab bc ac ab bc ac 答 4 5 二 向量的表示方法二 向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 AB 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 abc 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 xyi 为基底 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的坐标 ja axiy jx y x ya 叫做向量的坐标表示 如果向量的起点在原点向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终a x ya 点坐标相同 三 平面向量的基本定理三 平面向量的基本定理 如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内 的任一向量 a 有且只有一对实数 使 a e1 e2 如如 1 2 1 2 1 1 若 则 1 1 ab 1 1 1 2 c c 答 13 22 ab 2 2 下列向量组中 能作为平面内所有向量基底的是 A B 12 0 0 1 2 ee 12 1 2 5 7 ee C D 12 3 5 6 10 ee 12 13 2 3 24 ee 答 B 3 3 已知分别是的边上的中线 且 则可用向量 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC 表示为 a b 答 24 33 ab 4 4 已知中 点在边上 且 则的值ABC DBC DBCD2 ACsABrCDsr 是 答 0 四 实数与向量的积四 实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如 a a 下 当 0 时 的方向与的方向相同 当0 当 P 点在 12 线段 P P 的延长线上时0 或向右 0 平移个单位得的图象 sinyx 函数图象的纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到函数的 sinyx 1 sinyx 图象 函数图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到函数 sinyx 的图象 函数图象的横坐标不变 纵坐标向上 sin yAx sin yAx 0k 或向下 得到的图象 要特别注意特别注意 若由得到0k sinyAxk sinyx 的图象 则向左或向右平移应平移个单位 如如 sinyx 1 1 函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象 2sin 2 1 4 yx sinyx 答 向上平移 1 个单位得的图象 再向左平移2sin 2 1 4 yx 2sin 2 4 yx 个单位得的图象 横坐标扩大到原来的 2 倍得的图象 最后将纵坐 8 2sin2yx 2sinyx 标缩小到原来的即得的图象 1 2 sinyx 2 2 要得到函数的图象 只需把函数的图象向 平移 个单cos 24 x y sin 2 x y 位 2 23 3题题图图 2 2 9 9 Y Y X X 2 2 3 答 左 2 3 3 将函数图像 按向量平移后得到的函数图像关于原点对称 7 2sin 2 1 3 yx a 这样的向量是否唯一 若唯一 求出 若不唯一 求出模最小的向量a 答 存在但不唯一 模最小的向量 1 6 a 4 4 若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交 cossin0 2f xxx x yk 点 则的取值范围是k 答 1 2 5 5 研究函数 研究函数性质的方法 类比于研究性质的方法 类比于研究的性质的性质 只需将sin yAx sinyx 中的看成中的 但在求求的单调区间时 要的单调区间时 要sin yAx x sinyx xsin yAx 特别注意特别注意 A A 和和的符号 通过诱导公式先将的符号 通过诱导公式先将化正 如化正 如 1 1 函数的递减区间是 2 3 ysin x 答 5 1212 k k kZ 2 2 的递减区间是 1 2 34 x ylog cos 答 33 66 44 k k kZ 3 3 设函数的图象关于直线对称 它的 22 0 0 sin AxAxf 3 2 x 周期是 则 A 2 1 0 的图象过点xf B 在区间上是减函数 f x 52 123 C 0 12 5 是的图象的一个对称中心xf D 的最大值是 A f x 答 C 4 4 对于函数给出下列结论 2sin 2 3 f xx 图象关于原点成中心对称 图象关于直线成轴对称 12 x 图象可由函数的图像向左平移个单位得到2sin2yx 3 图像向左平移个单位 即得到函数的图像 12 2cos2yx 其中正确结论是 答 5 5 已知函数图象与直线的交点中 距离最近两点间的距 2sin f xx 1y 离为 那么此函数的周期是 3 答 1717 正切函数 正切函数的图象和性质的图象和性质 tanyx 1 定义域 遇到有关正切函数问题时 你注意到正切函数的 2 x xkkZ 定义域了吗 2 值域是 R 在上面定义域上无最大值也无最小值 3 周期性 是周期函数且周期是 它与直线的两个相邻交点之间的距离是一 ya 个周期 绝对值或平方对三角函数周期性的影响绝对值或平方对三角函数周期性的影响 一般说来 某一周期函数解析式加绝对 值或平方 其周期性是 弦减半 切不变弦减半 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值 其周期性不变 其它不定 如的周期都是 但xyxysin sin2 sinyx 的周期为 而 的周期不变 cosx 2 1 2sin 3 2sin 3 2 626 yxyx tan yx 4 奇偶性与对称性 是奇函数 对称中心是 特别提醒特别提醒 正 余 切型 0 2 k kZ 函数的对称中心有两类 一类是图象与轴的交点 另一类是渐近线与轴的交点 但无对xx 称轴 这是与正弦 余弦函数的不同之处 5 单调性 正切函数在开区间内都是增函数 但要注意在要注意在 22 kkkZ 整个定义域上不具有单调性整个定义域上不具有单调性 如下图 18 18 三角形中的有关公式三角形中的有关公式 1 内角和定理内角和定理 三角形三角和为 这是三角形中三角函数问题的特殊性 解题可不 能忘记 任意两角和任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角锐角三角 形形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和 大于第三边的平方 2 正弦定理正弦定理 R 为三角形外接圆的半径 注意注意 正弦定理2 sinsinsin abc R ABC 的一些变式 sinsinsini a b cABC sin sin sin 22 ab iiABC RR 已知三角形两边一对角 求解三角形时 2 c R 2 sin 2 sin 2 siniii aRA bRB bRC 若运用正弦定理 则务必注意可能有两解 3 余弦定理余弦定理 等 常选用余弦定理鉴定三角 222 222 2cos cos 2 bca abcbcAA bc 三角函数图象几何性质 xO y x x1 x x2 x4 邻中心 x3 x4 T 2 邻渐近线 x1 x2 T 无穷对称中心 由y 0或 y无意义确定 y Atan x x3 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交 且相邻两 交点的距离为一个周期 tan yAx 三角函数图象几何性质 xO y x x1 x x2 x4 邻中心 x3 x4 T 2 邻轴 x1 x2 T 2 无穷对称中心 由y 0确确定定 无穷对称轴 由y A或或 A确确定定 y Asin x x