线性代数第八章习题解

线性代数第八章习题解线性代数第八章习题解 习题八习题八 1 验证 1 全体级的实矩阵的集合关于矩阵的加法和 实 数乘矩阵构成一线性空mn RM mn 间 2 给定实数轴上一闭区间 a b a b 取 C a b 为 a b 上的全体连续函数的集合 则 C a b 关 于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间 证 1 任给三级矩阵 任给二实数 因有mn RMCBA mn Rlk A B B A A B C A B C O A A A A O k A B kA kB k l A kA lA kl A k lA 1A A 因此 关于矩阵的加法和 实 数乘矩阵构成一线性空间 RM mn 2 任给三个在闭区间 a b 上的连续函数 任给二实数 baCxhxgxf Rlk 并用 O x 在此闭区间上的函数值总取 0 值的函数 即 O x 0 a x b f x 的负函数则为 f x 因有 f x g x g x f x f x g x h x f x g x h x O x f x f x f x f x O x k f x g x kf x kg x k l f x kf x lf x kl f x k lf x 1f x f x 因此 C a b 关于函数的相加和实数乘函数松成一线性空间 2 取上一题中的 n m 个元素 Eij为 i j 位元素为 1 其它全为零的矩阵 i 1 2 n RM mn j 1 2 m 验证这 n m 个元素为 Mn m R 的一个基 从而 Mn m R 的维数为 n m 证 首先验证 n m 个元素线性无关 考察关于 kij i 1 2 n j 1 2 m 的齐次方程 这 n m 个相加的矩阵中的每一个 kijEij都是只有一个第 i 行第 j 列的元素OEk m j n i ijij 11 为 kij 其余元素为 0 这样就有 只有当 kij 0 i 1 2 n j 1 2 m 时才有 kij m n Om n 因此知这 nmij m j n i ijij kEk 11 n m 个元素 Eij线性无关 此外 任何 都有 RMa mnmnij m j n i ijijmnij Eaa 11 从而这 n m 个元素为 Mn m R 的一个基 从而 Mn m R 的维数为 n m 3 判断下述变换中哪些是线性变换 1 线性空间 V 中 是一固定向量 V A 2 线性空间 V 中 是一固定向量 V A 3 R3中 A x1 x2 x3 2x1 x2 x3 x2 x1 4 R3中 A x1 x2 x3 x12 x1 x2 x3 5 全体实系数多项式构成的线性空间 R x 中 A f x f x a a 是一固定的数 6 同上 R x 中 A f x f x2 解 1 如果 O 则不是线性变换 因 AO 并没有将零向量映射为零向量 2 如果 O 则不是线性变换 同样因为 AO 3 任给 R3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 k 为任意实数 则 A A a1 b1 a2 b2 a3 b3 2 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a2 b2 a1 b1 2a1 a2 a3 a2 a1 2a1 a2 a3 a2 a1 A A A k A ka1 ka2 ka3 2ka1 ka2 ka3 ka2 ka1 k 2a1 a2 a3 a2 a1 kA 因此 A 为线性变换 4 不是线性变换 第一个分量产生平方项 x12是非线性的原因 因此找任何一个第一个分量 不为零的向量作反例即可 因此令 1 0 0 并给出实数 2 则 A A 1 0 0 1 1 0 而 A 2 A 2 0 0 4 2 0 2 2 0 2A 5 任给实系数多项式 f x g x R x 任给实数 k R A f x f x a A g x g x a A f x g x f x a g x a A f x A g x A kf x kf x a kA f x 因此 A 是线性变换 6 任给实系数多项式 f x g x R x 任给实数 k R A f x f x2 A g x g x2 A f x g x f x2 g x2 A f x A g x A kf x kf x2 kA f x 因此 A 是线性变换 4 在 R x 中 验证 A B 均是线性变换 且 xxfxfxfxf BA AB BA E 其中 E 是指恒等变换 证 xf xxfxxfxxfxf AAB xf xxfxf BBA 因此有 xfxf xxf xxfxfxfxf BAABBAAB 即 AB BA E 5 设矩阵 131 122 101 A 定义 R3上的一个线性变换 A 使得 A 在基 1 1 1 0 T 2 2 1 1 T 3 0 2 1 T下的矩阵为 A 解 设 R3中的任意一向量 在 1 2 3 下的坐标向量为 b1 b2 b3 T 即 则有 3 2 1 321 b b b 1 321321 3 2 1 321 A b b b AA 现求 1 2 3 1如下 100110 011230 001021 100110 010211 001021 21 rr 311500 100110 201201 3 2 011230 100110 001021 32 12 32 rr rr rr 311500 5 25 15 1010 5 45 25 3001 5 2 5 1 13 23 rr rr 5 35 15 1100 5 25 15 1010 5 45 25 3001 5 1 1 3 1 r r 即有 5 35 15 1 5 25 15 1 5 45 25 3 321 T 311 211 423 131 122 101 110 211 021 5 1 1 321321 A 432 42169 11132 5 1 1341 973 714 110 211 021 5 1 最后得 432 42169 11132 5 1 A 6 设 A B 为 R3中如下定义的线性变换 A x1 x2 x3 2x1 x2 x1 x2 x3 x2 x3 B x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 x2 分别求 A B 和 AB 在基 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T下的矩阵 解 3 2 1 3 2 1 32 321 21 321 110 111 0122 x x x A x x x xx xxx xx xxxA 其中就是 A 在基 1 2 3下的矩阵 110 111 012 A 3 2 1 3 2 1 21 31 32 321 011 101 110 x x x B x x x xx xx xx xxxB 其中就是 B 在基 1 2 3下的矩阵 011 101 110 B 3 2 1 3 2 1 3 2 1 321 110 222 121 011 101 110 110 111 012 x x x x x x x x x ABxxxAB 因此 就是 AB 在基 1 2 3下的矩阵 110 222 121 AB 7 设 R3中一线性变换 A 在基 1 1 2 1 T 2 0 2 1 T 3 1 0 3 T下的矩阵为 121 101 120 A 求 A 在基 1 1 1 1 T 2 1 1 0 T 3 1 0 0 T下的矩阵 解 设由基 1 2 3 到基 1 2 3下的过渡矩阵为 T 则 1 2 3 T 1 2 3 因此 对分块矩阵 1 2 3 1 2 3 作行初等变换使左边一半变换为单位矩阵时 右边的一 半的内容即为 T 110410 233220 111101 1 2 001311 011022 111101 31 21 rr rr 013600 110410 111101 1 2 233220 110410 111101 2 32 32 r rr rr 06 12 1100 110410 111101 6 1 3 r 06 12 1100 13 52010 16 72 3001 4 23 13 rr rr 因此 06 12 1 13 52 16 72 3 T 再求过渡矩阵的逆 T 1 因为 1 2 3 T 1 1 2 3 因此对分块矩阵 1 2 3 1 2 3 作行 初等变换使左边成为单位矩阵 则右边即为 T 1 410110 123100 101111 1 1 311001 022011 101111 31 21 rr rr 123100 410110 311001 1 123100 410110 101111 2 12 32 r rr rr 123100 333010 311001 1 3 23 r rr 因此 123 333 311 1 T 任给 R3 设其在基 1 2 3下的坐标向量为 x1 x2 x3 T 即 1 2 3 x1 x2 x3 T 1 2 3 T 1 x1 x2 x3 T 1 2 3 c1 c2 c3 T 其中 c1 c2 c3 T为 在基 1 2 3下的坐标向量 满足 c1 c2 c3 T T 1 x1 x2 x3 T 或 x1 x2 x3 T T c1 c2 c3 T 有 A 1 2 3 A x1 x2 x3 T 1 2 3 T 1AT c1 c2 c3 T 其中 06 12 1 13 52 16 72 3 121 101 120 123 333 311 1AT T 32 112 13 62 272 33 46 552 23 06 12 1 13 52 16 72 3 041 3126 384 即 A 在基 1 2 3下的矩阵为 32 112 13 62 272 33 46 552 23 1AT TB 8 设 A 为 7 题中的线性变换 并设向量 2 3 1 T 求 和 A 在基 1 2 3下的坐标 解 设 在在基 1 2 3下的坐标为 x1 x2 x3 则解非齐次方程 x1 1 x2 2 x3 3 写成齐次方 程组的标准形式 1 3 2 1 21 321 x xx xxx 由下面的方程往上面的方程依次解可得 x1 1 x2 3 1 4 x3 2 1 4 5 即 在基 1 2 3下 的坐标为 1 4 5 1 4 2 5 3 而上题已经求得 A 在基 1 2 3下的矩阵 B 为 32 112 13 62 272 33 46 552 23 B 因此 A 在基 1 2 3下的坐标为 2 1 2 15 6 31 5 4 1 32 112 13 62 272 33 46 552 23 9 求 6 题中线性变换 B 的逆变换 解 6 题已经解出 B 的在基 1 1 0 0 T 2 0 1 0 T 3 0 0 1 T下的矩阵 B 为 011 101 110 B 因此 B 的逆变换在同样基下的矩阵为 B 1 下面求 B 1 对分块矩阵 B I 作行初等变换 100011 001110 010101 100011 010101 001110 21 rr IB 111200 001110 010101 1 110110 001110 010101 1 3231 rrrr 2 12 12 1100 2 12 12 1010 2 12 12 1001 2 1 2 1 2 1 3 23 13 r rr rr 因此 111 111 111 2 1 1 B 因 321 321 321 3 2 1 1 2 1 111 111 111 2 1 xxx xxx xxx x x x B 即 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 321321321321 1 xxxxxxxxxxxx B 10 设 R4中线性变换 A 在一基 1 2 3 4下的矩阵为 2313 1310 0112 1201 A 1 分别求 A 的值域和核的一个基 2 A 可逆吗 解 任给 R4中的一向量 设其在基 1 2 3 4下的坐标向量为 X x1 x2 x3 x4 T 则 A 在同 样基下的坐标向量为 Y AX 为研究 A 的值域 可先上式中 Y 的值域 将 E1 1 0 0 0 T E2 0 1 0 0 T E3 0 0 1 0 T E4 0 0 0 1 T 这四个线性无关的向量代入上式 得到的四个向量 1 2 3 4正好是 A 的各个 列向量 即 1 AE1 2 AE2 3 AE3 1 AE3 A 1 2 3 4 下面对 A 做行初等变换来研究它 的各个列向量间的线性关系 1310 1310 2310 1201 3 2 2313 1310 0112 1201 31 21 rr rr A 0000 2 1100 2 1010 0001 6 1 2 1 3 1 0000 3600 2310 1201 1 3 23 13 1 32 43 r rr rr r rr rr 可见向量组 1 2 3为 A 的各个列向量的极大无关组 而 324 2 1 2 1 因此 矩阵相乘 Y AX 中当 X 取 R4中的一切值时 Y 的值域为 span 1 2 3 相对应地 A 的 值域就是 span 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 span 1 2 2 3 4 2 3 4 2 1 2 3 3 3 4 现在求 A 的核 则考察齐次方程 AX O 按上面的变换有一个自由变元 x4 t 为任意常数时 x1 0 x2 t 2 x3 t 2 写成向量形式有 1 2 1 2 1 0 2 2 0 t t t t X 这是 A 的核的所有向量的坐标向量的形式 因此 A 的核为 2 1 2 1 432 span 2 因为 A 在基 1 2 3 4下矩阵 A 不可逆 所以 A 也不可逆 11 证明 非零向量是一线性变换 A 的核中元素当且仅当它是 A 的属于零特征值的特征向 量 证 假设向量 Ker A 即有 A O 0 即 为 A 的关于特征值 0 的特征向量 此外 假 设 为 A 的关于特征值 0 的特征向量 即 A 0 O 则 Ker A 证毕 12 证明 如果向量 1 2 r是 n 维线性空间 V 上的线性变换 A 的属于特征值 0 的线性无 关的特征向量 r 1 n是 A 的非零特征值的线性无关的特征向量 即 A 可对角化 则 Ker A Span 1 2 r A V Span r 1 r 1 n 证 因为 A 的不同特征值间的特征向量间线性无关 因此有 1 2 n是 n 维线性空间 V 上 的 n 个线性无关的向量 自然可以做 V 上的一个基 则任给 V 其在这组基上的坐标为 x1 x2 xn 即 x1 1 x2 2 xn n 则 A A x1 1 x2 2 xn n x1A 1 x2A 2 xrA r xr 1A r 1 xnA n O xr 1 r 1 r 1 xn n n Span r 1 r 1 n 1 其中 r 1 n为对应特征向量 r 1 r 1 n的特征值 根据假设它们都不为零 反过来 任给 Span r 1 r 1 n 即 yr 1 r 1 yn n 则有 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 Vyy yy yyyy nnrrnn n n rr r r n n n r r r n n n r r r A AAA 这就证明了 A V Span r 1 r 1 n 现证明 Ker A Span 1 2 r 假设 x1 1 x2 2 xn n Ker A 即 A O 按 1 式有 xr 1 r 1 r 1 xn n n O 因 r 1 r 1 n线性无关 且 r 1 n都不为 0 则必有 xr 1 xr 2 xn 0 则 x1 1 x2 2 xr r Span 1 2 r 反过来 假设有 Span 1 2 r 即 y1 1 y2 2 yr r 必有 A A y1 1 y2 2 yn n y1A 1 y2A 2 yrA r O 即 Ker A 因此有 Ker A Span 1 2 r 证毕 13 求 R3上的线性变换 A 的特征值和特征向量 这里 A 在基 1 2 3下矩阵为 1 2 284 014 013 A 112 202 213 A 解 1 先求 A 的特征值和特征向量 A 的特征多项式为 14 13 2 284 014 013 det IA 22 2 1 2 12 2 423 2 4 1 3 2 因此 A 有两个特征值 1 2 2 3 1 对于 1 2 解齐次方程 A 2I X O 对系数矩阵 A 2I 作行初等变换 000 010 015 44 5 6 5 05 440 05 60 015 5 4 5 4 084 014 015 32 3 2 31 21 rr r r rr rr 000 010 001 5 1 1 1 12 r rr 有一个自由变元 x3 t 为任意常数 x1 x2 0 写成向量形式 1 0 0 0 0 3 2 1 t tx x x 因此对应于 1 2 的特征向量为 t 0 0 1 T 对于 2 3 1 解齐次方程 A I X O 对系数矩阵 A I 作行初等变换 000 3100 10 302 10 1 3100 000 012 2 2 384 024 012 32 12 31 21 rr rr rr rr 000 10 310 20 301 10 1 2 1 2 1 r r 方程有一个自由变元 x3 t 为任意常数 x1 3 20 t x2 3 10 t 写成向量形式 1 10 3 20 3 10 3 20 3 3 2 1 t t t t x x x 因此 2 3 1 的特征向量为 t 3 20 3 10 1 T 综上所述 A 的特征值为 1 2 2 3 1 其中 1